王春霞

[摘 要]培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。在“立體圖形的體積”教學(xué)中，教師要挖掘教材內(nèi)涵，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，從源頭上下功夫，滲透“數(shù)形結(jié)合”“轉(zhuǎn)化”等數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在多種感官協(xié)同下積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)本質(zhì)；空間觀念；立體圖形；體積

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）14-0017-02

“空間觀念”是課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出的十大核心詞之一?！傲Ⅲw圖形的體積”屬于“圖形與幾何”的范疇，其核心價(jià)值在于發(fā)展學(xué)生的空間觀念。那么，教師在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)如何正確把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念呢？下面筆者以“立體圖形的體積”教學(xué)為例，談?wù)勛约旱囊恍┧伎寂c實(shí)踐。

一、由易錯(cuò)題引發(fā)的思考

【例題】一根圓柱形鋼筋，底面直徑為2厘米，長1米，把它截成5段，表面積增加了多少？

對(duì)于這一道練習(xí)題，一部分學(xué)生由于缺乏相應(yīng)的空間觀念，誤認(rèn)為截成5段就需切5刀，從而錯(cuò)誤地列式為3.14×（2÷2）2×5。究其原因有：（1）通過計(jì)算立體圖形的體積，體積計(jì)算公式已深深地根植于學(xué)生的頭腦中，但是，以體積為主的頻繁計(jì)算練習(xí)，使得學(xué)生對(duì)體積公式的理解及推導(dǎo)的意義逐漸淡化。（2）教師的教學(xué)策略與方法相對(duì)單調(diào)。教師雖然提供了觀察和操作的材料，但是學(xué)生觀察不充分，實(shí)驗(yàn)不到位；教師對(duì)學(xué)生的操作過程安排和干預(yù)太多，導(dǎo)致學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的內(nèi)化過程相對(duì)貧乏，缺少有效的“體驗(yàn)”。（3）沒有把立體圖形體積的特征與計(jì)算建立起內(nèi)在的聯(lián)系，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)算理的認(rèn)識(shí)模糊不清以及對(duì)算法一知半解。反思案例中出現(xiàn)的問題，最根本的原因是學(xué)生對(duì)基本的直接問題與發(fā)展后的間接問題不能進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)換，空間想象力比較弱。

二、對(duì)教學(xué)內(nèi)容的再認(rèn)識(shí)

立體圖形的體積包括長方體和正方體的體積、圓柱和圓錐的體積。新課程為了把學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)落到實(shí)處，增加了平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、物體的相對(duì)位置等與現(xiàn)實(shí)生活密切聯(lián)系的內(nèi)容，但仍然保留了傳統(tǒng)教材中“積的計(jì)算”的教學(xué)內(nèi)容，與以往不同的是，明顯削弱了單純的求積計(jì)算，減少計(jì)算的量，控制計(jì)算的數(shù)，把重心放在學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)上。

在小學(xué)階段，空間觀念以空間表象為主要表征形態(tài)，涉及初步的空間想象。培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，在小學(xué)的不同學(xué)段有不同的目標(biāo)和側(cè)重點(diǎn)。教學(xué)“立體圖形的體積”之前，學(xué)生已經(jīng)獲得了空間與圖形的基礎(chǔ)知識(shí)，初步形成了空間觀念，因此教學(xué)“立體圖形的體積”時(shí)，教師既不能原地踏步，也不能揠苗助長，要根據(jù)學(xué)生的年齡和思維特征，挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)涵，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

學(xué)生的研究由平面圖形的面積擴(kuò)展到立體圖形的體積，是空間觀念發(fā)展中的一次飛躍?！傲Ⅲw圖形的體積”的教學(xué)，無論是體積公式的推導(dǎo)，還是拓展練習(xí)中的問題解決，均要重視“數(shù)形結(jié)合”“轉(zhuǎn)化”等數(shù)學(xué)思想的滲透，從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)入手，借助觀察和動(dòng)手操作，采取對(duì)比、推理、想象、交流等手段，適時(shí)進(jìn)行抽象概括，使學(xué)生的空間觀念在多種感官協(xié)同下得到更深層次的發(fā)展。

三、教學(xué)的實(shí)踐與對(duì)策

1.數(shù)形結(jié)合，在探究中形成空間表象

“數(shù)形結(jié)合”是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)換來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要數(shù)學(xué)思想。由于小學(xué)生以具體形象思維為主，因此在立體圖形的體積公式推導(dǎo)中，需要從形的方面入手，通過動(dòng)手操作、觀察聯(lián)想、比較分析等途徑，將圖形的特征與計(jì)算相結(jié)合，理清知識(shí)的來龍去脈，豐富學(xué)生的空間表象。

例如，教學(xué)“長方體的體積”時(shí)，學(xué)生雖然有了推導(dǎo)長方形面積公式的經(jīng)驗(yàn)，但要學(xué)生從經(jīng)驗(yàn)順利地過渡到長方體的體積公式推導(dǎo)，理解公式的本質(zhì)含義，仍是一次“跨越”。因此在探究長方體的體積公式時(shí)，可以讓學(xué)生經(jīng)歷以下活動(dòng)過程。

（1）數(shù)一數(shù)。課件出示由1立方厘米正方體拼成的長方體（長4厘米，寬3厘米，高2厘米），讓學(xué)生數(shù)一數(shù)長方體體積單位的個(gè)數(shù)。由學(xué)生介紹數(shù)法，教師借助課件直觀演示，幫助學(xué)生理解各種數(shù)法，并從中得出既準(zhǔn)確又快捷的數(shù)法：先數(shù)每行個(gè)數(shù)，再乘以行數(shù)，得到每層個(gè)數(shù)，再乘層數(shù)，即長方體含體積單位的個(gè)數(shù)。

（2）擺一擺。給每個(gè)4人小組預(yù)先準(zhǔn)備40個(gè)邊長為1厘米的小正方體，要求各小組擺出3種不同的長方體，并把所得數(shù)據(jù)記錄到學(xué)習(xí)卡上。

學(xué)生通過擺一擺、數(shù)一數(shù)、算一算，完成上述表格數(shù)據(jù)填寫后，交流不同的擺法和想法。

（3）想一想。根據(jù)表格中收集到的數(shù)據(jù)，先讓學(xué)生想象長方體的具體形狀，及思考每行擺幾個(gè)、擺幾行及每層擺幾個(gè)、擺幾層，再向?qū)W生呈現(xiàn)長方體的立體圖形，讓學(xué)生想象用小正方體擺成的長方體的實(shí)物圖，從而在數(shù)與形之間建立起應(yīng)有的聯(lián)系。

（4）說一說。讓學(xué)生回想操作過程，觀察表中的數(shù)據(jù)，說說有什么發(fā)現(xiàn)。學(xué)生在交流中體會(huì)長、寬、高和體積的關(guān)系，明白長方體的體積就是若干個(gè)體積單位的疊加，“計(jì)算”只是疊加方法的優(yōu)化。

上述過程，學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想，通過“動(dòng)手操作—形成表象—想象描述—抽象概括”，對(duì)立體圖形的體積計(jì)算公式的本質(zhì)意義有了深刻的理解。

2.等積變換，在辨析中提升空間思維

“圓柱和圓錐的體積”這部分內(nèi)容抽象性和邏輯性較強(qiáng)，而小學(xué)生的認(rèn)知水平又存在局限性，因此教學(xué)難度大，教師處理不好，就有可能制約學(xué)生空間觀念的發(fā)展。滲透轉(zhuǎn)化思想可有效突破此教學(xué)難點(diǎn)。下面筆者以“圓柱的體積”教學(xué)為例，談?wù)勗诓煌膶W(xué)習(xí)階段如何滲透轉(zhuǎn)化思想。

（1）推導(dǎo)中理解。在新授課中，教師可設(shè)計(jì)三個(gè)問題作為探究活動(dòng)的主線，如你會(huì)怎樣去研究圓柱的體積計(jì)算公式？圓柱能不能轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的立體圖形？如何轉(zhuǎn)化？比較圓柱與拼成的長方體，你有什么發(fā)現(xiàn)？如何“轉(zhuǎn)化”是教學(xué)難點(diǎn)，教師可借助多媒體的演示，讓學(xué)生清晰感知“轉(zhuǎn)化”過程：將圓柱底面分成許多相等的扇形，再把圓柱切開后重新拼起來，得到一個(gè)近似的長方體，分成的扇形越多，拼成的立體圖形越接近長方體。如何辨析“圓柱與長方體的關(guān)系”是教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)。學(xué)生通過對(duì)比，發(fā)現(xiàn)圓柱的底面積和高分別等于長方體的底面積和高，從而順利得出了圓柱的體積計(jì)算公式。

（2）練習(xí)中強(qiáng)化。要使學(xué)生理解圓柱體變換成長方體的轉(zhuǎn)化過程，光靠新授課是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要在練習(xí)課中引導(dǎo)學(xué)生溫故知新，不斷強(qiáng)化。

【習(xí)題】把底面半徑為5厘米的圓柱切成若干等份，拼成一個(gè)近似的長方體后，表面積比原來增加了60平方厘米。圓柱的高是多少厘米？體積是多少立方厘米？

教學(xué)時(shí)，先讓學(xué)生回憶圓柱體積公式的推導(dǎo)過程，再讓學(xué)生辨析，得出增加的60平方厘米就是拼成的長方體（豎放）左右兩個(gè)相等長方形的面積和，該長方形的寬相當(dāng)于圓柱的底面半徑5厘米，因此圓柱的高是60÷2÷5=6（厘米），圓柱的體積就是3.14×52×6=471（立方厘米）。

（3）復(fù)習(xí)中提升。在復(fù)習(xí)課中可再現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生回憶圓柱體積計(jì)算的推導(dǎo)過程。在解題時(shí)，可將圓柱切成的長方體由豎放變成橫放，通過變換方位尋求解題方法，使學(xué)生理解和掌握轉(zhuǎn)化思想，提升空間思維能力。

【習(xí)題】一個(gè)圓柱與一個(gè)長方體的體積相等，圓柱的底面半徑與長方體的高相等，都是4厘米，圓柱的高等于長方體的寬。求長方體的長。

由于題中缺少套公式所需的直接條件，學(xué)生解題的常規(guī)思路受阻。此時(shí)若將長方體由豎放變成橫放，根據(jù)題中兩個(gè)條件，就能清楚地辨析出長方體的長就是圓柱底面周長的一半，即4π厘米。

“等積變換”在體積計(jì)算教學(xué)中應(yīng)用比較廣泛，且滲透著轉(zhuǎn)化思想，其實(shí)質(zhì)是“變中有不變”。教學(xué)時(shí)，教師只要把握其實(shí)質(zhì)，就能提高學(xué)生解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

3.面體轉(zhuǎn)換，在變式中拓展空間想象

為了突出平面圖形與立體圖形之間的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的空間想象力，教材設(shè)置了一些“面體轉(zhuǎn)換”的習(xí)題?；诖?，教師要選擇合適的素材，讓學(xué)生通過卷一卷、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、想一想、移一移等豐富多彩的活動(dòng)，體驗(yàn)平面圖形與立體圖形之間的聯(lián)系，促使學(xué)生思維轉(zhuǎn)換，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

（1）卷一卷。預(yù)先準(zhǔn)備一張長1厘米、寬5厘米的長方形紙，讓學(xué)生卷一卷，看看可以卷成什么形狀，有幾種卷法。（把紙卷起來，沿著長邊對(duì)接和沿著寬邊對(duì)接，可以分別圍成兩個(gè)不同形狀的圓柱體。沿著長邊對(duì)接，圓柱的底面周長就是長方形的長，圓柱的高就是長方形的寬；沿著寬邊對(duì)接，圓柱的底面周長就是長方形的寬，圓柱的高就是長方形的長。）

（2）轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)。如果將長方形紙轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)可以得到什么樣的圓柱體呢？

將帶柄的長方形小旗快速地旋轉(zhuǎn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)同樣能生成圓柱體。經(jīng)過小組合作討論，得出三種旋轉(zhuǎn)方法：沿著長邊旋轉(zhuǎn)；沿著寬邊旋轉(zhuǎn)；沿著中軸旋轉(zhuǎn)。教師引導(dǎo)學(xué)生說出圓柱體的底面半徑和高分別是什么，使學(xué)生建立起圓柱的底面半徑、高與長方形的長、寬之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

（3）想一想。有了“面體轉(zhuǎn)換”的基礎(chǔ)，教師可引導(dǎo)學(xué)生直接想象圓錐可以用什么圖形旋轉(zhuǎn)而成。

以直角三角形的兩條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，可以得到不同大小和形狀的圓錐體。直角三角形的兩條直角邊分別是圓錐的底面半徑和高。

（4）移一移。利用多媒體的動(dòng)態(tài)演示，使學(xué)生理解圓柱可以看成由圓平移一定的距離形成的運(yùn)動(dòng)軌跡，圓就是圓柱的底面積，平移的距離就是圓柱的高。同樣，長方形（或正方形）經(jīng)過平移也能成為長方體（或正方體）。

從“面”到“體”的空間轉(zhuǎn)換，滲透著平面圖形經(jīng)過運(yùn)動(dòng)形成立體圖形的模型思想。教學(xué)時(shí)，教師要通過多角度、多途徑讓學(xué)生感知從“面”到“體”的形成過程，比較二維面積與三維體積之間的差異，尋找?guī)缀误w各部分之間的聯(lián)系，拓展學(xué)生的空間想象。

總之，發(fā)展學(xué)生的空間觀念不是一蹴而就的，需以學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，以教材內(nèi)容為核心，把握數(shù)學(xué)的內(nèi)在本質(zhì)，讓學(xué)生在活動(dòng)中體會(huì)重要的數(shù)學(xué)思想，并積極動(dòng)手、動(dòng)眼、動(dòng)腦，從而促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

（責(zé)編 黃春香）