秦婧

摘要：作為一名從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作的教師，很清楚學(xué)生對《高等數(shù)學(xué)》課程所持的消極態(tài)度。造成這種態(tài)度的原因是多方面的，但有一點(diǎn)可以確定，那就是我們所呈現(xiàn)給學(xué)生的數(shù)學(xué)太深?yuàn)W、太枯燥。我們總是向?qū)W生灌輸各種公式、定義、定理和證明，卻很少提及這些內(nèi)容的歷史背景和發(fā)展過程。HPM為我們解決相關(guān)問題提供了一個(gè)理想的解決途徑。

關(guān)鍵詞：HPM；數(shù)學(xué)史；復(fù)利

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）20-0185-02

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們一直在思考“到底如何激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還給學(xué)生一個(gè)真實(shí)美麗的數(shù)學(xué)”，我覺得這本書中處處體現(xiàn)出的HPM視角為上述問題提供了一個(gè)有效的解決途徑。

所謂HPM，是指數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系，它作為一個(gè)學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域出現(xiàn)于1972年。這一年，在英國Exeter召開的第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會上，成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM），1976年開始隸屬于國際數(shù)學(xué)教育委員會。自此，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系（通常我們也稱之為HPM）成了數(shù)學(xué)教育的重要學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域之一。[1]近年來，隨著HPM研究的深入，越來越多的研究開始關(guān)注數(shù)學(xué)史在課堂教學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用，這也是第一線的廣大數(shù)學(xué)教師比較關(guān)心的問題。目前在我國，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系HPM研究團(tuán)隊(duì)在這一方面無疑走在了最前沿，但他們的研究工作更側(cè)重于中小學(xué)的HPM問題，我希望從HPM視角出發(fā)，在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域做一些有益的探索。

一、我們需要明確為何要在《高等數(shù)學(xué)》這門課程中融入數(shù)學(xué)史

1.《高等數(shù)學(xué)》課程的絕大部分知識內(nèi)容在19世紀(jì)以前就已經(jīng)建立起來，因此它的歷史文化內(nèi)涵是極為豐富的。而我們的教材，往往比較重視知識的邏輯結(jié)構(gòu)，很少呈現(xiàn)出知識的形成過程和文化背景，這使得學(xué)生在考試、考研的壓力之下，雖然對《高等數(shù)學(xué)》非常重視，但學(xué)習(xí)興趣低下，學(xué)習(xí)動機(jī)單一，學(xué)習(xí)過程比較痛苦。數(shù)學(xué)史的融入，可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)豐富的文化內(nèi)涵，改變學(xué)生對數(shù)學(xué)固有的偏見，提高對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

2.《高等數(shù)學(xué)》課程是工科院校大一新生的必修課，同時(shí)它也是其他大學(xué)數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)，比如《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》、《復(fù)變函數(shù)》、《積分變換》等課程都與它密切相關(guān)。如果我們在大一基礎(chǔ)階段將HPM的思想方法融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，幫助學(xué)生樹立起正確的數(shù)學(xué)觀，多元的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)，讓他們意識到數(shù)學(xué)史中蘊(yùn)藏著豐富的文化養(yǎng)料，不但可以提升他們的文化修養(yǎng)，也可以解決自己在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的理解和認(rèn)知障礙，必將對其今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極的影響，將有助于改善我們整個(gè)大學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)的效果。

二、我們要著重考慮如何在《高等數(shù)學(xué)》中融入數(shù)學(xué)史

一方面要選擇適合融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)內(nèi)容，另一方面要根據(jù)不同的內(nèi)容，采取恰當(dāng)合理的融入方法。《高等數(shù)學(xué)》課程的內(nèi)容是比較多的，我們不可能也沒有必要對所有的內(nèi)容都考慮其背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)史，畢竟我們的主要目的不是讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，而是讓數(shù)學(xué)史服務(wù)于數(shù)學(xué)教學(xué)，因此我們要在教材內(nèi)容中加以選擇。我們選擇的主要依據(jù)是：（1）有豐富歷史背景的重要概念、定理；（2）學(xué)生在學(xué)習(xí)和理解上容易產(chǎn)生困難的重要知識點(diǎn)；（3）蘊(yùn)含重要數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)容。

針對不同的教學(xué)內(nèi)容，我們應(yīng)該采取怎樣的方式融入數(shù)學(xué)史呢？對此，我們查閱了一些文獻(xiàn)資料，發(fā)現(xiàn)華東師范大學(xué)HPM研究團(tuán)隊(duì)將國內(nèi)外各種分類方法進(jìn)行了整合，結(jié)合我國教學(xué)特點(diǎn)加以改進(jìn)，得到了四種形式：附加式——展示數(shù)學(xué)家的圖片，講述數(shù)學(xué)家的故事，介紹數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)術(shù)語、數(shù)學(xué)符號等的來源；復(fù)制式——直接采用歷史上的數(shù)學(xué)問題、問題解決方法或定理證明方法等；順應(yīng)式——對歷史上的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行改編或根據(jù)歷史資料編制數(shù)學(xué)問題；重構(gòu)式——借鑒或重構(gòu)知識的發(fā)生、發(fā)展歷史，采用發(fā)生法進(jìn)行教學(xué)。[2]

這些理論成果對教學(xué)實(shí)踐具有很大的啟發(fā)和指導(dǎo)作用。我們在講“微分中值定理”一節(jié)課時(shí)，里面涉及到一個(gè)費(fèi)馬引理，三個(gè)中值定理（分別是羅爾、拉格朗日和柯西中值定理），它們在邏輯上一環(huán)套一環(huán)，但內(nèi)容比較枯燥，所以以前上這堂課的時(shí)候，講課的教師神采奕奕，聽課的學(xué)生哈欠連天。在HPM的視角下重新準(zhǔn)備這堂課時(shí)，我們搜集了相關(guān)的背景資料后，做了如下的設(shè)計(jì)：在講每個(gè)引理、定理之前先講一個(gè)這位數(shù)學(xué)家的小故事，要求短小精悍、有亮點(diǎn)，調(diào)動一下學(xué)生的積極性，活躍一下課堂氣氛，然后教師扮演數(shù)學(xué)家，將定理的提出和證明想法向?qū)W生娓娓道來。通過這種方式，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和效率，也加深了其對中值定理的理解。

在具體教學(xué)的過程中，我們感覺附加式和復(fù)制式屬于提供直接的歷史信息，雖然運(yùn)用起來比較靈活方便，但是也要注意“度”的把握，過分使用反而會適得其反。順應(yīng)式和重構(gòu)式難度要更大一些，需要授課教師對教學(xué)內(nèi)容及其背后的數(shù)學(xué)史料有更深入的理解和把握，也需要花費(fèi)更多的時(shí)間精力去設(shè)計(jì)教學(xué)過程。但是這些融入方式，往往針對的是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，使用得當(dāng)，將會對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供更大的支持和幫助。

首先，我們從現(xiàn)存于羅浮宮的一張約公元前1700年的美索不達(dá)米亞泥板上描述的一個(gè)問題“要多久才能使年復(fù)利為20%的本金翻倍呢？”[3]入手，解釋一下“復(fù)利”的含義，就是本金獲得的利息也會產(chǎn)生利息，因此叫做“復(fù)合型利息”，簡稱“復(fù)利”。這個(gè)問題中復(fù)利的周期為一年，若假設(shè)本金為1，則每年的本息之和依次是1.2，1.22，1.23，…。將此題延伸，提出新問題：“假設(shè)現(xiàn)在你有1元錢，年利率100%，也就是1，一年結(jié)束時(shí)你有多少錢？”如果現(xiàn)在復(fù)利周期變成半年，每半年結(jié)一次利息，一年結(jié)束時(shí)你有多少錢？如果復(fù)利周期依次為一個(gè)季度、一月、一周、一天呢？結(jié)果有什么規(guī)律嗎？在學(xué)生充分討論后，教師和學(xué)生一起將上述問題用表列出，如下。

從上表中，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)年率一定，分期復(fù)利，復(fù)利周期越短，復(fù)利期數(shù)越多，本息和越高。但是這種增加是一種緩慢增加，而且隨著期數(shù)越來越大，增加的速度越來越慢。如果期數(shù)無限增大下去，這個(gè)問題就是我們本節(jié)所要討論的重要極限■1+■■。歷史上，直到1683年，瑞士著名的數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利在研究連續(xù)復(fù)利時(shí)，才意識到這個(gè)問題應(yīng)該歸結(jié)為上述極限加以解決，但當(dāng)時(shí)他只估計(jì)這個(gè)極限在2和3之間。后來歐拉利用無窮級數(shù)計(jì)算了這個(gè)極限小數(shù)點(diǎn)之后18位的近似值。之后歐拉還證明了這個(gè)極限是一個(gè)無理數(shù)，至于為什么用“e”來表示，目前還沒有定論。

新的設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)史經(jīng)過加工融入教學(xué)內(nèi)容中，學(xué)生們似乎真正經(jīng)歷了一次數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，這不但提高了他們的學(xué)習(xí)興趣，加強(qiáng)了對知識的理解，更使學(xué)生了解到數(shù)學(xué)家和他們一樣也會犯錯(cuò)、也會困惑，今天書本上呈現(xiàn)出來的如此嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)都是經(jīng)過數(shù)學(xué)家們一次次不懈的努力才變得如此“美麗”。

在HPM視角下，我們的《高等數(shù)學(xué)》課程不再是一個(gè)抽象的、枯燥的、高冷的“存在”，它與我們豐富的數(shù)學(xué)史寶庫有了千絲萬縷的聯(lián)系，變得生動、有趣、直觀、有血有肉。這使得高等數(shù)學(xué)的教學(xué)在提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、提升教學(xué)質(zhì)量的同時(shí)，更有了人文教育的價(jià)值。最后需要指出的是，數(shù)學(xué)的歷史是一個(gè)巨大的寶藏，從事數(shù)學(xué)教育研究的人們總是可以從中汲取有益的文化養(yǎng)料，希望有更多的大學(xué)數(shù)學(xué)教師參與進(jìn)來，做進(jìn)一步的思考和實(shí)踐。

參考文獻(xiàn)：

[1]汪曉勤.HPM視角下的高等數(shù)學(xué)教學(xué)[J].高等理科教育，2003，（5）：10-12.

[2]彭剛，汪曉勤，程靖.數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)：意義與方式[J].成都師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，（1）：115-119.

[3]Eli Maor.（周昌智，毛兆榮譯）e的故事——一個(gè)常數(shù)的傳奇[M].北京：人民郵電出版社，2010.