王宏甲，趙慶志，楊召彬

(山東理工大學 機械工程學院，山東 淄博 255000)

基于差分插補原理的圓柱插補模式研究

王宏甲，趙慶志，楊召彬

(山東理工大學 機械工程學院，山東 淄博 255000)

為了實現(xiàn)圓柱表面二次曲線的直接插補，通過對車銑復合加工中心的圓柱插補模式進行分析，提出將差分插補原理應用到圓柱插補模式中。為了得到圓柱表面插補與平面插補之間的關系，實現(xiàn)圓柱面二次曲線的差分插補，對圓柱面的展開進行了數(shù)學分析。通過引進圓柱插補模式縮放比例因子，實現(xiàn)了圓柱插補與平面插補的統(tǒng)一，提高了數(shù)控程序的編制與加工效率。經(jīng)過分析二次曲線差分插補代碼，定義了圓柱插補模式的命令格式，并進行了相關的實驗驗證。實驗結(jié)果表明，基于差分插補原理的圓柱插補模式實現(xiàn)了圓柱表面二次曲線的直接插補，并且易于理解與編程。

差分插補原理；圓柱插補模式；旋轉(zhuǎn)軸；二次曲線

0 引言

圓柱零件是各種機械中常見的重要零件之一。隨著機械設計與數(shù)控技術的快速發(fā)展，對于圓柱面輪廓曲線加工的需求也日益強烈[1]。比如，圓柱槽凸輪的加工以及圓柱面的漢字雕刻等。因此對圓柱插補模式的研究具有重要的應用價值[2]。

實現(xiàn)圓柱面上輪廓曲線的銑削加工方法主要有CAD/CAM軟件自動編程[3]、編制宏程序指令[4-6]以及圓柱插補指令[7-9]。其中CAD/CAM自動編程采用微小直線或圓弧對非圓二次曲線進行擬合，程序極為復雜，加工效率比較低[10]。編制宏程序指令需要進行復雜的數(shù)學運算，對于非圓二次曲線的加工沒有統(tǒng)一的編程標準，降低了生產(chǎn)效率和加工精度。圓柱插補指令主要是在圓柱面展開的狀態(tài)下進行程序編寫，編程方便，易于掌握。但是，圓柱插補指令同樣無法對非圓二次曲線進行直接插補，并且該功能主要應用在比較高檔的車銑復合加工中心，普通的經(jīng)濟型數(shù)控機床一般無此功能。

針對上述情況，本文通過對車銑復合加工中心的圓柱插補模式進行分析與參考，提出采用差分插補原理[11]在第四軸上實現(xiàn)圓柱面輪廓曲線的插補，以期在普通的經(jīng)濟型數(shù)控機床上實現(xiàn)易于編程且能夠直接插補二次曲線的圓柱插補模式。

1 車銑加工中心的圓柱插補模式分析

1.1 圓柱插補模式的定義

通過文獻[7-9]可知，車銑復合加工中心的圓柱插補模式是指將以角度指定的旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動量，先根據(jù)圓柱的直徑變換成相應圓周上直線軸的移動量，用該移動量與其他軸進行直線或者圓弧插補。插補后再逆變成旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動量，控制旋轉(zhuǎn)軸進行插補運動。

1.2 圓柱插補模式的插補精度

圓柱插補模式對旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)量進行內(nèi)部換算成移動量后，由插補結(jié)果再逆變?yōu)樾D(zhuǎn)量。在這一轉(zhuǎn)換過程中，移動量的舍入為一個最小輸入增量單位。實際轉(zhuǎn)動量的計算公式，如下式所示。

其中：

MOTION REV：回轉(zhuǎn)軸每轉(zhuǎn)的移動量

R：工件半徑

[]：舍入至最小輸入增量單位

由上式可知，在執(zhí)行轉(zhuǎn)換時，轉(zhuǎn)動量按照輸入的最小增值進行。當圓柱體半徑比較小時，實際的轉(zhuǎn)動量與指定的轉(zhuǎn)動量不等。不過，這一誤差不會積累[7]。

1.3 圓柱插補模式的優(yōu)缺點

在車銑復合加工中心的圓柱插補模式下，圓柱凸輪槽這一類型零件的加工程序能夠非常容易地編制，實用價值非常高[2]。但是，隨著工程應用對機械產(chǎn)品性能以及外觀要求的不斷提高，在圓柱外表面加工的曲線輪廓出現(xiàn)了更高的要求，比如雕刻漢字以及加工常見的二次曲線等。如若在車銑復合加工中心的圓柱插補模式下進行上述加工，需對大量的坐標點進行計算，二次曲線的加工一般只能采取曲線擬合的方式進行，工作量很大，加工效率比較低[3,7]。

2 旋轉(zhuǎn)軸插補編程的數(shù)學理論基礎

本文采用車銑復合加工中心圓柱插補模式的基本思路，在三坐標數(shù)控雕刻機中，增加第四軸(旋轉(zhuǎn)軸)來實現(xiàn)基于差分插補原理的圓柱插補模式。在加工的過程中，將原來的移動軸用旋轉(zhuǎn)軸替代，用旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動將所加工的輪廓曲線纏繞到圓柱外表面。

經(jīng)上述分析可知，旋轉(zhuǎn)軸與原直線軸之間的數(shù)學關系，是聯(lián)系圓柱面插補與平面插補的重要紐帶[4]。本文以加工圓柱面上的圓弧為例，進行數(shù)學關系的分析。圓柱面加工圓弧及其展開圖，如圖1所示。

圖1 圓柱外表面加工圓弧及其展開圖

分析：由數(shù)控系統(tǒng)的插補原理可知，X、Z軸不動時，Y軸每走一個脈沖當量ΔY,B軸如果也聯(lián)動一脈沖當量ΔB，只需要給定ΔY與ΔB的函數(shù)關系ΔY=f(ΔB)，則刀具在圓柱表面的運動軌跡就是一確定的軌跡。在對該函數(shù)關系式表達的輪廓曲線插補之前，還必須找到ΔB與ΔX的關系，才能實現(xiàn)從直線軸到旋轉(zhuǎn)軸的變換，為實現(xiàn)基于差分插補原理的圓柱插補模式做好數(shù)據(jù)準備工作。

圖2 旋轉(zhuǎn)軸與直線軸的數(shù)學關系圖

如圖2所示，在圓柱展開圖中，設圓弧半徑為R，x軸的增量為Δx，y軸的增量為Δy，圓弧起點為Ps(xs,ys)，圓弧終點坐標為Pe(xe,ye)，圓弧中心為坐標原點O(0,0)，在直徑為D的圓柱工件表面上，Δx對應的圓心角為Δb。則Δx、Δb以及工件直徑D之間有如下的數(shù)學關系：

(2)

由式(2)可得，ΔX、ΔB以及工件直徑D之間有如下的數(shù)學關系：

(3)

至此，ΔY=f(ΔB)的函數(shù)關系已經(jīng)確定。接下來，下文將把這些函數(shù)關系應用到差分插補原理中，實現(xiàn)圓柱面上二次曲線的直接插補。

3 基于差分插補原理的圓柱插補模式

3.1 差分插補原理中的相關概念與定義

3.1.1 差分插補原理的依據(jù)與各坐標系的定義

從相關文獻[11-12]中分析可得，差分插補原理的依據(jù)是從原點開始，依據(jù)函數(shù)遞增的趨勢進行推導。在插補的過程中，為滿足該插補方法的理論依據(jù)，建立了一系列的坐標系。各坐標系的論述如下。

(1)定義用絕對坐標系：該坐標系與通常定義的平面直角坐標系相同，主要用于定義曲線，為數(shù)控編程的ISO代碼提供與曲線函數(shù)相關的加工信息。

(2)相對坐標系：為了保證曲線在加工過程中滿足差分插補的理論依據(jù)，曲線方程要經(jīng)過坐標系平移和變向化為可分離變量的正高次曲線。此時會建立相對坐標系，保證曲線起點為坐標原點，起點處的切線在相對坐標系的第一象限。根據(jù)可分離變量的正高次曲線，求出x、y的各階差分。

(3)加工用絕對坐標系：在初始化插補參數(shù)時，L為曲線起點的切線方向所在的絕對象限號，象限的定義為L41，L42，L43以及L44。在此絕對坐標系中，x′軸與y′軸的正方向是根據(jù)機床進給的正方向選取的。故將其命名為加工用絕對坐標系，為機床各軸進給方向提供基準。在本文中，取x′軸水平向右，y′軸垂直向上為正方向，選取曲線加工起點為坐標原點來建立加工用絕對坐標系。

3.1.2 二次曲線差分插補代碼的初始化

將在定義用絕對坐標系中的二次多項式曲線方程Pn(x)=Qm(y)，按照坐標平移和坐標軸變向化為相對坐標系中的正二次曲線方程，其形式為：

a2x2+a1x=b2y2+b1y

(4)

則其差分插補代碼為：

jx1，jx2，jy1，jy2，F(xiàn)，G，jj，L

jx1：x的一階差分；jx2：x的二階差分；

jy1：y的一階差分；jy2：y的二階差分；

F：插補偏差；G：計數(shù)方向；

jj：曲線在x軸(或者y軸)上的投影長度；

L：加工用絕對坐標象限。

其中，jx1=a2+a1，jx2=2a2，jy1=b2+b1，jy2=2b2。在插補的過程中，必須保證jx1>0，jy1>0，其具體差分計算見相關參考文獻[11]。F為插補偏差，F(xiàn)=Pn(x)-Qm(y)或者F=Qm(y)-Pn(x)，在插補初始化時，F(xiàn)=0。G為計數(shù)方向，用來判斷投影方向。若曲線終點的切線斜率絕對值K大于1時，G=Gy，曲線的投影方向為y軸，否則G=Gx，曲線的投影方向為x軸。jj為曲線在計數(shù)方向上的計數(shù)長度。L為曲線加工起始段所在的加工用絕對坐標系象限號。在曲線的插補過程中，當二階差分值為負值時，有可能出現(xiàn)一階差分值為負值的情況。為使插補運算正常進行，必須改變坐標軸的進給方向，保證各一階差分值為正，所以要調(diào)整L所在的加工用絕對坐標系的象限。正二次曲線差分插補的基本原理，如圖3所示。

圖3 正二次曲線差分插補基本原理圖

3.2 差分插補原理在圓柱插補模式中的應用

3.2.1 由平面插補向圓柱插補的過渡

將上文中有關旋轉(zhuǎn)軸與原直線軸的關系進行整理，并帶入式(4)，得到：

(5)

由式(5)可知，經(jīng)變換后的方程依然為正二次曲線方程，符合差分插補原理的基本要求。

由以上分析可知，基于差分插補原理的圓柱插補模式的各個參數(shù)與平面插補參數(shù)在形式上具有一致性。為了實現(xiàn)了平面插補與圓柱插補程序的統(tǒng)一，簡化插補程序的編寫，提高插補效率，并且易于編寫數(shù)控程序，對于圓柱插補模式依然可以采用式(4)的插補代碼形式。

在實際插補過程中，需要將輸入的坐標等參數(shù)轉(zhuǎn)換為以脈沖當量為單位的數(shù)值。在這一轉(zhuǎn)換過程中，需要特別注意圓柱直徑這一變量數(shù)值。由于旋轉(zhuǎn)軸的角度脈動當量是固定不變的，而工件直徑不同時，數(shù)控系統(tǒng)發(fā)出一次脈沖，轉(zhuǎn)換到工件圓柱面上的直線距離也是不同的。即旋轉(zhuǎn)軸的直線脈沖當量隨著工件直徑的不同而發(fā)生變化。

針對上述問題，本文引入圓柱插補模式縮放比例因子n，通過該比例因子來使插補程序適應由于工件直徑的不同而導致旋轉(zhuǎn)軸直線脈沖當量發(fā)生的變化，其表達式如下所示：

n=δ′/δ

(6)

其中：δ為原直線軸的直線脈沖當量，

δ′為旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)換到圓柱型工件表面的直線脈沖當量。

3.2.2 圓柱插補模式的命令格式

通過以上分析，基于差分插補原理的圓柱插補模式可以直接采用平面內(nèi)的差分插補方法。所以，在進入圓柱插補模式后，只需要編程人員提供圓柱工件的直徑，其余參數(shù)按照圓柱展開后的平面計算即可。

圓柱插補模式的命令格式定義如下：

G11 參數(shù)① 參數(shù)②

其中：

參數(shù)①為旋轉(zhuǎn)軸的代號，如A，B，C等。

參數(shù)②為圓柱工件的直徑。當直徑不為零時，開啟圓柱插補模式；當直徑為0時，取消圓柱插補模式。

4 基于差分插補原理的圓柱插補實驗

通過參考有關差分插補的文獻[11-15]，在VC++6.0的開發(fā)環(huán)境下，對基于差分插補原理的圓柱插補模式進行開發(fā)。在三坐標數(shù)控雕刻機設備上，采用上述插補模式，對圓柱表面進行圓與橢圓的雕刻實驗。其實驗結(jié)果，如圖4所示。

圖4 圓柱面雕刻實驗

5 結(jié)論

通過研究差分插補原理在圓柱插補模式上的應用，拓展了基于差分插補原理數(shù)控系統(tǒng)的應用范圍，為在經(jīng)濟性數(shù)控系統(tǒng)上實現(xiàn)圓柱表面的插補提供了重要的支持。在三坐標數(shù)控雕刻機上進行的實驗，其結(jié)果表明基于差分插補原理的圓柱插補模式易于編程，能夠?qū)崿F(xiàn)二次曲線在圓柱表面的直接雕刻。為后期進一步研究回轉(zhuǎn)體零件(如錐臺等)表面復雜輪廓曲線的插補，打下了良好的基礎。

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(編輯 李秀敏)

Research on Cylindrical Interpolation Model Based on Differential Interpolation

WANG Hong-jia， ZHAO Qing-zhi， YANG Zhao-bin

(School of Mechanical Engineering, Shandong University of Technology, Zibo Shandong 255000, China)

In order to realize the direct interpolation of the conic of the cylindrical surface, the difference interpolation principle is applied to the cylindrical interpolation mode by analysing the cylindrical interpolation mode of turning-milling machines.The mathematical analysis of the cylindrical surface is carried out for obtaining the relationship between the cylindrical surface interpolation and the plane interpolation in order to realize the interpolation of conic on the cylinder surface.By introducing the cylindrical interpolation mode scaling factor, the unification of cylindrical interpolation and plane interpolation is realized, and the efficiency of NC programming and machining is improved.After the analysis of the conic difference interpolation code,the command format about cylindrical interpolation modes are defined.At the same time, the relevant verification experiments are taken.The experimental results show that the cylindrical interpolation mode based on the differential interpolation principle can achieve the direct interpolation of the conic of the cylindrical surface, and it is easy to understand and program.

differential interpolation；cylindrical interpolation model；axis of rotation；conic

1001-2265(2017)05-0014-03

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.05.004

2016-11-11；

2016-12-08

王宏甲(1988—)，男，山東濰坊人，山東理工大學碩士研究生，研究方向為數(shù)控技術與裝備，計算機輔助設計與圖形學，(E-mail)whj1988928@163.com；通訊作者：趙慶志(1962—)，男，山東日照人，山東理工大學教授，博士，研究方向為數(shù)控技術與裝備、機電一體化技術，(E-mail)zhaoqzme@163.com。

TH162;TG659

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