（南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)與控制國家重點實驗室， 南京 210016）

形狀記憶合金是一種具有形狀記憶效應(yīng)（Shape Memory Effect，SME）的金屬材料，所謂的形狀記憶效應(yīng)是指形狀記憶合金（Shape Memory Alloy，SMA）在高溫定形后，冷卻到低溫施加變形，并使它存在殘余變形，然后對其加熱，當(dāng)溫度超過某個溫度后，殘余變形即可消失，材料回復(fù)到高溫時的固有形狀，就如同記住了高溫下的狀態(tài)。SMA在相變回復(fù)過程中會產(chǎn)生很大的回復(fù)應(yīng)力，因而可將其作為驅(qū)動器使用，而且還具有高驅(qū)動力、大位移行程、高能量密度和良好的環(huán)境適應(yīng)性等特性，其作為一種智能材料驅(qū)動器在實際中特別是航空智能領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用（圖1）[1]。

針對SMA材料的相變機(jī)理，國內(nèi)外的很多學(xué)者開展了廣泛的研究。Ko等[2]從分子動力學(xué)角度解釋了溫度和應(yīng)力誘導(dǎo)馬氏體相變的機(jī)理。Prasad等[3]通過向Ni49Ti36Hf15合金中加入Ta元素，改善了馬氏體的脆弱性和不連續(xù)性，提高了形狀記憶合金在高溫下的工作能力。Yazdandoost等[4]研究了晶格層錯能對奧氏體相力學(xué)參數(shù)的影響，為研究在具有晶格缺陷狀況下SMA的屬性提供了指導(dǎo)。

圖1 一種基于SMA的變厚度機(jī)翼模型Fig.1 A morphing wing with variable sectional thickness actuated by SMA

在SMA相變機(jī)理研究的基礎(chǔ)上，對其力學(xué)本構(gòu)模型的研究從20世紀(jì)80年代初就開始了，Tanaka[5]和Liang[6]根據(jù)自由能原理與熱力學(xué)平衡方程建立了SMA的本構(gòu)模型；Brinson[7]在Tanaka和Liang模型基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，得到了較為成熟的力學(xué)本構(gòu)模型；Kang等[8]提出了在循環(huán)載荷作用下，SMA本構(gòu)模型具有“棘輪效應(yīng)(Ratchetting)”的現(xiàn)象；Yu等[9]針對“棘輪效應(yīng)”現(xiàn)象改良了本構(gòu)模型。Mehrabi等[10]研究了不同加載路徑和加載歷史下SMA力學(xué)性能變化，建立并改良了三維本構(gòu)模型。

作為驅(qū)動器使用的SMA材料，其驅(qū)動力、驅(qū)動位移等參數(shù)與材料的溫度、應(yīng)力、應(yīng)變、馬氏體體積分?jǐn)?shù)等參數(shù)具有復(fù)雜的非線性關(guān)系，這是由于在不同狀態(tài)下的加熱將導(dǎo)致一個復(fù)雜的熱力學(xué)過程，變化的溫度、應(yīng)力等參數(shù)在誘發(fā)相變時會互相干涉[11]。Zheng等[12]對固定應(yīng)變狀態(tài)下回復(fù)應(yīng)力的研究，揭示了不同預(yù)拉伸應(yīng)變下SMA回復(fù)應(yīng)力的區(qū)別。Sittner[13]研究了固定應(yīng)變狀態(tài)下多次加熱冷卻循環(huán)回復(fù)應(yīng)力和溫度的關(guān)系，提出了RLOOP算法程序，可以較好地計算固定應(yīng)變下的回復(fù)應(yīng)力。這些研究闡述了固定應(yīng)變狀態(tài)下SMA的熱力學(xué)屬性，并從微觀上解釋了回復(fù)應(yīng)力產(chǎn)生的機(jī)理，但試驗過程中加熱速度非常緩慢，未考慮到加熱速率改變對回復(fù)力（驅(qū)動力）的影響。

SMA作為驅(qū)動器中的驅(qū)動元件，經(jīng)常面臨動態(tài)加熱的工況。本文將通過試驗的方法，研究SMA驅(qū)動器在實際應(yīng)用中不同加熱速度時的回復(fù)力（驅(qū)動力）特性，并提出SMA驅(qū)動動態(tài)性能的數(shù)值計算方法，為SMA驅(qū)動器驅(qū)動力和位移的精確控制提供參考和依據(jù)。

SMA靜力學(xué)本構(gòu)模型

Tanaka[5]根據(jù)自由能原理與熱力學(xué)平衡方程建立了SMA的本構(gòu)模型，通過本構(gòu)方程有效地描述相變過程中SMA的形狀記憶效應(yīng)和偽彈性。能量平衡方程和Clausius-Duhem不等式可表達(dá)為：

式中，為內(nèi)能密度；為Cauchy應(yīng)力；L為速率梯度；qsur為熱流；q為熱源密度；為嫡密度；ρ為當(dāng)前構(gòu)型密度；T為溫度；x為材料坐標(biāo)。

Tanaka通過應(yīng)變ε、馬氏體體積分?jǐn)?shù)ξ和溫度T3個狀態(tài)變量來描述形狀記憶合金的狀態(tài)，即：

根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的熱動力學(xué)理論，其增量式的本構(gòu)方程為：

式中，D為形狀記憶合金的彈性模量；Ω為相變張量；Θ為形狀記憶合金熱膨脹系數(shù)。

在Tanaka模型研究的基礎(chǔ)上，Liang[6]以余弦函數(shù)表示馬氏體體積分?jǐn)?shù)，根據(jù)動力學(xué)模型進(jìn)行了修正，對公式（4）進(jìn)行積分，得到全量型的本構(gòu)方程：

式中，σ0、ε0、ξ0、T0為施力前的初始狀態(tài)。

Tanaka模型與Liang模型雖然形狀簡單，但在實際應(yīng)用中存在缺陷。Brinson[7]在Tanaka和Liang模型基礎(chǔ)上，提出馬氏體體積分?jǐn)?shù)既可以通過應(yīng)力誘發(fā)也可以通過溫度誘發(fā),即：

式中，ξT、ξs分別為溫度和應(yīng)力誘發(fā)的馬氏體體積分?jǐn)?shù)。

Brinson還考慮了彈性模量與馬氏體體積分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，認(rèn)為材料的彈性模量與馬氏體體積分?jǐn)?shù)為近似線性關(guān)系。通常情況下，SMA的彈性模量為材料馬氏體體積百分?jǐn)?shù)的函數(shù),于是可將材料的楊氏模量簡化為馬氏體百分?jǐn)?shù)的線性函數(shù)：

式中，DA、DM分別為形狀記憶合金完全奧氏體和完全馬氏體狀態(tài)時的彈性模量。

此外，Brinson還引入了形狀記憶合金的最大殘余應(yīng)變的概念，并認(rèn)為材料的相變模量與馬氏體體積分?jǐn)?shù)呈線性關(guān)系，即：

圖2 利用DSC測量相變溫度Fig.2 Measurements of phase transformation temperature by DSC method

式中，εL為形狀記憶合金的最大殘余應(yīng)變。

因此將式（7）和式（8）帶入到式（5）中得到修改后的本構(gòu)方程為：

Tanaka-Liang-Brinson模型的發(fā)展經(jīng)歷了一個從一維模型到三維模型，從增量式的表達(dá)方式到全量式的表達(dá)方式。Brinson 模型的特點是將馬氏體體積分?jǐn)?shù)分為溫度誘發(fā)和應(yīng)力誘發(fā)兩部分，有效描述了馬氏體的重定向過程，本文以該力學(xué)模型作為主要計算依據(jù)。

以上模型適用于準(zhǔn)靜態(tài)加熱狀態(tài)下SMA力學(xué)特性的計算，考慮到相變過程的復(fù)雜性以及非線性特性，SMA加熱速率的變化會對其力學(xué)性能產(chǎn)生非常大的影響。

SMA力學(xué)本構(gòu)模型的試驗測試和分析

基于前述力學(xué)本構(gòu)模型，對直徑為1mm的形狀記憶合金絲本構(gòu)模型的各項參數(shù)進(jìn)行了試驗測試。首先，利用示差掃描熱量計（Differential Scanning Calorimeter，DSC）測試SMA的相變點溫度（圖2），從圖2中可以得到其各個相變溫度分別為：奧氏體到馬氏體轉(zhuǎn)變起始溫度Ms=35.1℃，轉(zhuǎn)變結(jié)束溫度Mf=25.1℃；馬氏體到奧氏體轉(zhuǎn)換起始溫度As=40.3℃，轉(zhuǎn)變結(jié)束溫度Af=52.3℃。

SMA模型其他參數(shù)的測定是在圖3所示的試驗平臺上完成的，其中S型力傳感器（QL-TSC）右側(cè)通過環(huán)氧樹脂的絕緣塊固定在鋁合金型材底座，左側(cè)固定SMA絲試件的一端；SMA絲的另一端固定于滑臺上的絕緣塊，滑臺在步進(jìn)電機(jī)和絲杠的帶動下可以精確的左右移動，實現(xiàn)對SMA絲長度的精確控制。

試驗中SMA絲初始長度為500mm，采用電流加熱的方式使其升溫，溫度選用了K型熱電偶傳感器進(jìn)行測試；PXI數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)完成溫度和拉力數(shù)據(jù)的采集和處理，試驗過程中采樣頻率均設(shè)定為100Hz。

考慮到SMA絲剛出廠時的力學(xué)性能不穩(wěn)定，試樣在試驗前首先通過訓(xùn)練消除其生產(chǎn)過程中的內(nèi)應(yīng)力，具體過程為：第1步，將絲加熱，使其溫度保持在Af以上，然后進(jìn)行拉伸，拉伸應(yīng)變?yōu)?%，拉伸后保持10s以上，卸載并冷卻至Mf溫度以下；第2步，在未受力的自由狀態(tài)下將SMA絲加熱到Af以上使其產(chǎn)生相變，然后將其冷卻至Mf以下，測試其殘余應(yīng)變；第3步，重復(fù)以上步驟，直到殘余應(yīng)變不再變化為止。

圖3 SMA性能測試試驗平臺Fig.3 SMA performance experiment platform

在試驗平臺上測得SMA本構(gòu)模型中各參數(shù)如表1所示。

為了對SMA的力學(xué)特性進(jìn)行研究，采用表1中試驗得到的本構(gòu)模型的各項參數(shù)，對SMA相變過程中溫度和回復(fù)應(yīng)力之間的關(guān)系進(jìn)行試驗測試和數(shù)值計算分析。首先對SMA試件進(jìn)行預(yù)拉伸，拉伸量為6.3%；然后對其緩慢加熱至相變結(jié)束（80℃），加熱溫度從40℃開始每次增加2℃，加熱速率2℃/min，停留一段時間（至少1min），直到SMA的溫度到80℃，測得每次的溫度和回復(fù)應(yīng)力數(shù)據(jù)。

本構(gòu)模型數(shù)值計算中考慮到SMA力學(xué)特性受加載歷史的影響，采用Kang[8]提出的“棘輪效應(yīng)”，Brison模型的迭代公式為：

式中，Ti、σi和ζi表示形狀記憶合金的當(dāng)前溫度、應(yīng)力和馬氏體體積分?jǐn)?shù)，前一時刻σi-1、Ti-1和ζi-1為計算ζi和σi的初始條件。

試驗測試結(jié)果和理論計算結(jié)果如圖4所示， 可以看出SMA的力學(xué)本構(gòu)模型在加熱速度很慢（準(zhǔn)靜態(tài)）的情況下，試驗測試結(jié)果與理論計算結(jié)果吻合較好，最大相對誤差10.8%，可以根據(jù)當(dāng)前的溫度值較好地預(yù)測SMA絲的回復(fù)應(yīng)力。

SMA動態(tài)力學(xué)特性試驗和分析

SMA絲試驗件保持相同的預(yù)拉伸量以及其他試驗條件（外部環(huán)境溫度等）不變的情況下，改變加熱速度，加熱速率依次?。?.8℃ /s、2.3℃ /s和3.3℃/s，并在每次試驗中保持加熱速度不變。試驗結(jié)果如圖5所示，相同溫度下試件的回復(fù)應(yīng)力差別很大，隨著加熱速度的提高，相同溫度下的回復(fù)應(yīng)力也隨之增加。

為進(jìn)一步研究加熱速度對回復(fù)應(yīng)力的影響，在試驗過程中改變加熱速度。在一次連續(xù)加熱過程中，以恒定速率將試件加熱到50℃（相變進(jìn)行中），然后切換為另一個加熱速度，對回復(fù)應(yīng)力進(jìn)行測試，共進(jìn)行了4組試驗：第1組，初始加熱速率為1.8℃/s，50℃后加熱速率切換為2.3℃/s；第2組，初始加熱速率為2.3℃/s，50℃后加熱速率切換為3.3℃/s；第3組，初始加熱速率為3.3℃/s，50℃后加熱速率切換為1.8℃/s；第4組，初始加熱速率為3.3℃/s，50℃后加熱速率切換為2.3℃/s。轉(zhuǎn)變溫度設(shè)置在50℃是考慮到此時溫度在As和Af之間，試樣在之前已發(fā)生相變并且之后能繼續(xù)相變。

表1 試樣屬性參數(shù)列表

圖4 準(zhǔn)靜態(tài)加熱實際回復(fù)應(yīng)力和計算數(shù)據(jù)對比Fig.4 Recovery stress by calculation and experiment in static heating condition

圖5 不同加熱速率下回復(fù)應(yīng)力溫度曲線Fig.5 Recovery stress-temperature curve in different heating conditions

圖6 變加熱速率下回復(fù)應(yīng)力溫度曲線Fig.6 Recovery stress-temperature curve in dynamic heating condition

從圖6中可以看出，改變加熱速度，SMA絲的回復(fù)應(yīng)力有顯著的變化，與本構(gòu)模型的計算值差別很大，利用已有的本構(gòu)模型預(yù)測其回復(fù)應(yīng)力顯然已不可能。

SMA絲作為驅(qū)動器時，其驅(qū)動力的大小是驅(qū)動器的關(guān)鍵參數(shù)，從上述的試驗結(jié)果可知：驅(qū)動力（回復(fù)應(yīng)力）的大小與加熱速度和溫度有關(guān)。為了對SMA驅(qū)動力進(jìn)行實時控制和預(yù)測，本文提出了一種平均速率插值計算方法，用于解決加熱速率變化時SMA回復(fù)應(yīng)力（驅(qū)動器的驅(qū)動力）的預(yù)測問題，即SMA的動態(tài)力學(xué)性能模型。

以試驗測定的不同加熱速度下的溫度-回復(fù)應(yīng)力曲線為基礎(chǔ)，假設(shè)加熱速率在相鄰兩條參考線之間切換時，回復(fù)應(yīng)力的增量與平均加熱速率的增量成正比。用S（t）表示某時刻的加熱速率，表示一段時間內(nèi)的平均加熱速率，平均加熱速率為：

用S0、S1分別表示初始加熱速率和調(diào)整后加熱速率；σ0、σ1表示對應(yīng)參考曲線上的回復(fù)應(yīng)力，則有：

因此：

利用上述平均速率插值的計算方法，可以較好地預(yù)測加熱速率增大或減小情況下的回復(fù)應(yīng)力變化情況，如圖7所示。

圖7中4組試驗計算結(jié)果與試驗結(jié)果的誤差如表2所示，其中：平均誤差是指誤差的平均值；最大相對誤差er是指誤差的最大值與量程之比；誤差的標(biāo)準(zhǔn)差S表示誤差的穩(wěn)定程度。

從試驗測試和理論計算的結(jié)果可以看出，本文提出的SMA動態(tài)力學(xué)特性計算和分析方法能夠較好預(yù)測SMA在不同加熱速度和溫度下的回復(fù)應(yīng)力，平均預(yù)測誤差小于13%，最大相對誤差小于10%?？紤]到SMA本身力學(xué)特性具有很強(qiáng)的非線性特性，而且與自身金屬成分的含量、制造工藝、熱處理方法等都有很大關(guān)系，通過試驗測試數(shù)據(jù)，并結(jié)合理論模型對其力學(xué)特性進(jìn)行預(yù)測和分析是目前較為可行的一種方法，對提高SMA智能驅(qū)動器的控制精度有一定的幫助。

表2 計算數(shù)值和試驗數(shù)據(jù)的誤差

圖7 變加熱速率下計算回復(fù)應(yīng)力與實際結(jié)果比較Fig.7 Recovery stress by calculation and experiment in dynamic heating condition

結(jié)論

本文對SMA絲驅(qū)動器在不同加熱速率下的驅(qū)動性能進(jìn)行了理論和試驗分析，提出了不同加熱速率下SMA絲驅(qū)動力的預(yù)測方法，研究表明：

（1）加熱速率很慢的準(zhǔn)靜態(tài)加熱條件下，基于迭代形式的Brison本構(gòu)模型可以較好反映SMA材料的力學(xué)性能；

（2）恒定加熱速率（一定范圍內(nèi)）條件下，隨著加熱速率的提高，同樣溫度下SMA絲的回復(fù)應(yīng)力越大；

（3）改變加熱速率條件下，利用平均速率插值法可以較好預(yù)測加熱過程中SMA的回復(fù)應(yīng)力，誤差小于10%。

參 考 文 獻(xiàn)

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