管明貴

[摘 要] 用教材教是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本準(zhǔn)則，但如何教卻因人而異. 不少教師在常態(tài)課教學(xué)中并沒有真正領(lǐng)會(huì)用教材教的含義，使得學(xué)生陷入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種惡性循環(huán)之中. 筆者結(jié)合自己的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)以為，腳踏實(shí)地地研究教材，思考為什么這么教，理解教材選擇例題的重要性，才是一個(gè)教師真正成長(zhǎng)的標(biāo)記.

[關(guān)鍵詞] 教材教學(xué)；數(shù)學(xué)；函數(shù)；素養(yǎng)；建模；圖像

從小學(xué)數(shù)學(xué)到初中數(shù)學(xué)，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣驟然下降. 這是由很多原因造成的，比如：初中數(shù)學(xué)需要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)屬性更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，這勢(shì)必導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得相對(duì)枯燥；種種升學(xué)應(yīng)試造成的壓力，讓教師在教學(xué)中不敢放手讓學(xué)生還原知識(shí)來源的過程，建構(gòu)新知的形成途徑，要讓學(xué)生短時(shí)間內(nèi)快速理解知識(shí)、掌握知識(shí)，還不如通過大量的試題訓(xùn)練來得高效.

這些因素造成初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)出現(xiàn)了下列問題：其一，對(duì)新知一知半解，通過大量訓(xùn)練來理解新知、運(yùn)用新知，離開了這種訓(xùn)練模式，學(xué)生就不會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、不會(huì)思考問題；其二，這種訓(xùn)練模式下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)讓學(xué)生接觸的是機(jī)械化的操作，對(duì)于熟練的問題模型尚等得到分?jǐn)?shù)，但面對(duì)以靈活考查能力為主的試題則無(wú)從下手；再者，最關(guān)鍵的是學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣已經(jīng)完全被扼殺了，如今初中生喜歡數(shù)學(xué)的愈來愈少. 中科大研究所調(diào)查顯示，若數(shù)學(xué)競(jìng)賽對(duì)升學(xué)不具備加分作用，百分之九十九的學(xué)生都是不喜歡數(shù)學(xué)競(jìng)賽的.

這也從一個(gè)側(cè)面反映了初中數(shù)學(xué)教學(xué)陷入了模式化過渡的教學(xué)之中. 西南師大陳重穆教授說：形式化是數(shù)學(xué)的特征之一，模式是數(shù)學(xué)問題的經(jīng)典總結(jié)，在恰當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)運(yùn)用非形式化手段以及模式識(shí)別，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是高效的途徑. 但是，現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)陷入了一種模式化過渡的誤區(qū)，即合理的新知教學(xué)也演變成三分之一的新知教學(xué)，三分之二的知識(shí)訓(xùn)練，這種做法對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和創(chuàng)新性是無(wú)益的.

課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出：數(shù)學(xué)教學(xué)旨在培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力、運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)，通過數(shù)學(xué)知識(shí)理解其運(yùn)用于生活、作用于生活的目的. 如何將教材中的知識(shí)做合適于學(xué)情的開發(fā)，并在教學(xué)中進(jìn)行演繹才是用教材教最好的反饋.

本文以八年級(jí)函數(shù)一節(jié)中一個(gè)問題為例，通過教材設(shè)計(jì)思路研究、教材知識(shí)結(jié)構(gòu)研究、教材教學(xué)價(jià)值研究、學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)分析等方面來談?wù)勅绾斡媒滩慕?

問題情境

蘇教版八年級(jí)“5.1 函數(shù)”一節(jié)中的問題：小麗、小明、小亮乘車去旅游.

如圖1，汽車在公路上勻速行駛，用t來表示汽車行駛的時(shí)間，s表示汽車行駛的路程. 怎樣表示s與t的關(guān)系？

可以列表表示（如表1）：

可以在坐標(biāo)系中畫圖表示（如圖2）：

可以列式表示：因?yàn)槠噭蛩傩旭偟乃俣葹?00 km/h，所以s=100t.

提出問題：變量s是變量t的函數(shù)嗎？為什么？

通常，表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以用3種方法：表格、圖形和數(shù)學(xué)式子. 表示兩個(gè)變量之間的式子通常稱為函數(shù)關(guān)系式，例如s=100t就稱為s與t的函數(shù)關(guān)系式.

教材知識(shí)結(jié)構(gòu)分析

教材中對(duì)于函數(shù)的學(xué)習(xí)采用了以生活情境為載體的設(shè)計(jì)，首先讓學(xué)生明白要學(xué)習(xí)的函數(shù)來源生活，是對(duì)生活問題的抽象、是對(duì)生活問題本質(zhì)屬性的研究；其次，教材給出了函數(shù)表示的三種方法（即列表法、圖像法、解析式法，這是函數(shù)表示的核心知識(shí)），并從函數(shù)圖像和函數(shù)關(guān)系式中理解函數(shù)是一種變量與變量之間的關(guān)系，多維度、多層次、多方面地接觸函數(shù)概念以及函數(shù)的意義和本質(zhì)屬性. 讓學(xué)生從本情境中感知事物變化的過程以及變量主導(dǎo)的相互關(guān)系式，并引導(dǎo)學(xué)生思考生活中還有很多問題都具備類似的變量性，因此變量研究是普適性的，成為后續(xù)學(xué)習(xí)的核心. 要將這些變量關(guān)系表述出來，該如何利用情境問題中的三種表示方法進(jìn)行滲透，這成為后續(xù)揭示事物變量關(guān)系規(guī)律的核心手段.

教材設(shè)計(jì)思路分析

對(duì)于用教材教，教師還需要深刻理解教材為什么這樣設(shè)計(jì). 可以從三個(gè)方面分析：

（1）我們回到問題情境，學(xué)生從問題中比較容易理解：在速度為定值的情況下，路程和時(shí)間成一定的變量關(guān)系，這是啟發(fā)變量思維形成函數(shù)概念的一個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn).

（2）表格的作用在于將這種變量關(guān)系的展示直觀化、具象化，使學(xué)生明確這種變量關(guān)系的直觀性. 同時(shí)表格還可以清晰地展示變量之間的聯(lián)系，即速度是定值，這種以圖表形式表達(dá)變量關(guān)系的方式是函數(shù)表達(dá)的重要手段，但是時(shí)間t的選擇往往以整數(shù)形式較為方便，暗示了以表格方式表達(dá)變量關(guān)系的局限性.

（3）圖像是變量關(guān)系最直觀的體現(xiàn)，教材以圖形展示位移和時(shí)間的關(guān)系，其設(shè)計(jì)明顯有兩個(gè)用意：其一是了解圖像是表示變量關(guān)系的主要手段，從圖像變換中理解不同變量模型具備不同的圖像變換；其二是圖形化讓變量關(guān)系的研究成為一種直覺，即數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)學(xué)習(xí)中的不斷滲透.

從教材給出的問題，我們清晰地掌握了其基本教學(xué)意圖：掌握變量關(guān)系的三種表示方法，即列表法、圖像法、解析法，這是函數(shù)表示的基本構(gòu)成；從情境問題中理解特殊到一般研究方法的重要性，數(shù)形結(jié)合思想貫穿始終.

教材的教學(xué)價(jià)值分析

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要、最核心的數(shù)學(xué)概念，教材的問題設(shè)計(jì)正是基于這樣的考慮. 教師要學(xué)會(huì)理解和體會(huì)教材中問題的價(jià)值，才能理解為什么要用教材教.

1. 引入問題的主要目的是向?qū)W生滲透變量間關(guān)系的三種表示方法，這為學(xué)生后續(xù)研究類似問題、理解生活中普遍存在的函數(shù)關(guān)系奠定了研究基調(diào)，即圖像法和列表法可以直觀地研究變量關(guān)系，解析式法可以將這種關(guān)系數(shù)學(xué)化，這是教學(xué)價(jià)值一.

2. 在以往中學(xué)數(shù)學(xué)雙基的基礎(chǔ)上，初中數(shù)學(xué)又強(qiáng)調(diào)了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基本數(shù)學(xué)思想，教材問題的教學(xué)價(jià)值二恰好在此處體現(xiàn)出來. 基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)體現(xiàn)了本問題的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)之用，基本數(shù)學(xué)思想可以從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合思想上得到體現(xiàn).

3. 價(jià)值三也是教材最想告誡教師在教學(xué)中應(yīng)該關(guān)注的一點(diǎn)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最主要的目的是什么？是為生活、生產(chǎn)實(shí)際服務(wù). 在看不到數(shù)學(xué)的地方，找到數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用和價(jià)值，是教師需要向?qū)W生進(jìn)行滲透的. 這種在建模中不斷“思考——抽象——再思考”的過程，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式.

學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)分析

1. 常量思維動(dòng)態(tài)化

勒溫認(rèn)為“學(xué)習(xí)即認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變化”. 可以這么說，學(xué)生對(duì)于路程和時(shí)間的關(guān)系，并不是老師想象的那樣屬于變量認(rèn)知，勒溫研究表明學(xué)生只認(rèn)識(shí)這是一種常量之間的聯(lián)系. 函數(shù)是研究變量與變量之間的關(guān)系，如何讓這樣的觀念在教學(xué)中滲透？這就需要考慮時(shí)間的任意性問題，當(dāng)在任意時(shí)刻計(jì)算路程，這種動(dòng)態(tài)的關(guān)系自然而然地滲透到學(xué)生的頭腦中，變量關(guān)系的建立初具雛形.

2. 變量關(guān)系代數(shù)化本質(zhì)即方程

在“s=100t”中，速度100是已知的，S與t是未知的，這是一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù)的等式，也就是為了尋求未知數(shù)，在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立的一種等式關(guān)系. 在兩個(gè)未知數(shù)中，給出一個(gè)未知數(shù)的值，就可以求出另一個(gè)未知數(shù)的值，并且有無(wú)數(shù)組解，s與t的值是不可數(shù)的. s與t是在變化著的變量，一個(gè)變化能引起另一個(gè)變化，此時(shí)只是認(rèn)識(shí)到有兩個(gè)變量，但對(duì)兩個(gè)變量有聯(lián)系以及聯(lián)系的程度認(rèn)識(shí)還比較模糊.

3. 變量和變量之間的關(guān)系即核心——函數(shù)

“s=100t”，這不僅是路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系，這是同一運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中兩個(gè)變量之間有相互制約、相互協(xié)調(diào)的關(guān)系. 第一，發(fā)生變化的量稱為“變量”；第二，不發(fā)生變化的量稱為“常量”；第三，對(duì)于變量t的每一個(gè)值，s都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，則稱t為自變量，s為t的函數(shù)；第四，如果當(dāng)t=a時(shí)，s=b，那么稱b為t=a時(shí)的函數(shù)值. 至此，學(xué)生才對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)比較清楚的認(rèn)識(shí).

到這里，對(duì)本問題的剖析已經(jīng)全面到位. 通過深刻的理解和認(rèn)知，教師認(rèn)識(shí)到教材中的例題是精挑細(xì)選的，經(jīng)典的緣由是如何形成的. 作為教師，也進(jìn)一步理解了用教材教學(xué)和用教輔教學(xué)的天壤之別. 教教材是課程標(biāo)準(zhǔn)積極提倡的，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、思維能力、綜合素養(yǎng)的根本，更是教師自身專業(yè)化成長(zhǎng)的訴求. 筆者以為，腳踏實(shí)地地研究教材，思考為什么這么教，理解教材選擇例題的重要性，才是一個(gè)教師真正成長(zhǎng)的標(biāo)記. 張奠宙先生所說的“用心體會(huì)教教材，合理思考用教材教”正是這個(gè)含義吧！