胡笳， 谷君， 奚林根， 呂克啟

(1.中國電力國際有限公司，北京 100080；2.國家電網(wǎng)北京市電力科學(xué)研究院，北京 100075)

自起動永磁同步電機轉(zhuǎn)子銅耗分析的時步有限元優(yōu)化離散策略

胡笳1， 谷君2， 奚林根1， 呂克啟1

(1.中國電力國際有限公司，北京 100080；2.國家電網(wǎng)北京市電力科學(xué)研究院，北京 100075)

利用時步有限元方法對永磁同步電機進行轉(zhuǎn)子銅耗分析計算時，由于空間中高次諧波磁場的作用，使得導(dǎo)條中的電流與損耗在集膚效應(yīng)的影響下呈非均勻分布，于是有限元模性的空間離散方案將直接對計算精度產(chǎn)生影響。首先通過理論推導(dǎo)得出導(dǎo)條電流密度的解析表達式；在此基礎(chǔ)上，通過建立不同形式的目標函數(shù)，研究等間距與不等間距條件下離散密度對于損耗計算精度的影響，及其所對應(yīng)的最優(yōu)離散方案；最后，針對轉(zhuǎn)子實際槽形結(jié)構(gòu)，在考慮交界面處強制引入節(jié)點的約束條件下，提出了采用分區(qū)域循環(huán)引用最優(yōu)離散點的方法，求解全局優(yōu)化離散策略。通過與時步有限元計算結(jié)果進行對比，驗證了方法的合理性。

時步有限元；同步電動機；損耗分析；空間離散；諧波

0 引 言

永磁式同步電動機以其高效率、高功率因數(shù)等優(yōu)勢逐漸成為高效節(jié)能電機的重要發(fā)展方向。該類電機在穩(wěn)態(tài)運行過程中，由于空間中存在的高次諧波磁場，使得即使轉(zhuǎn)子以同步速旋轉(zhuǎn)，導(dǎo)條上亦會產(chǎn)生感應(yīng)電流與損耗，并且在集膚效應(yīng)的作用下呈非均勻分布[1-4]。

場路耦合時步有限元方法能夠適用于磁場飽和、畸變，以及渦流集膚效應(yīng)等多種因素的情況，實現(xiàn)電機轉(zhuǎn)子諧波銅耗的精確分析計算。該方法計算結(jié)果的準確度與模型的空間離散密度有直接關(guān)系，過于稀疏的離散將導(dǎo)致計算結(jié)果與實際損耗產(chǎn)生嚴重的偏差；然而一味的細化剖分，會使得計算量與仿真時間大幅增長，并且在一定的剖分密度下，進一步增加離散密度，將不再對計算精度產(chǎn)生貢獻。

本文在參考文獻[5-7]的基礎(chǔ)上，通過理論推導(dǎo)得出導(dǎo)條中電流密度的解析表達式，并與時步有限元計算結(jié)果進行對比，結(jié)果顯示兩者具有很強的一致性，證明了方法的合理性以及時步有限元計算的準確性。在此基礎(chǔ)上，分別構(gòu)造不同形式的目標函數(shù)，并通過求解隱函數(shù)所對應(yīng)的非線性方程組，得出導(dǎo)條諧波損耗的計算精度與空間離散密度之間的關(guān)系，以及在不等間距離散情況下的最優(yōu)離散策略。最后，針對轉(zhuǎn)子實際槽形結(jié)構(gòu)，考慮交界面處強制引入節(jié)點的約束條件，提出了采用分區(qū)域循環(huán)引用最優(yōu)離散點的方法，求解全局的優(yōu)化離散策略。

1 場路耦合時步有限元

以一臺55 kW永磁同步電動機作為分析算例，模型如圖1所示。在基本假設(shè)條件下[8-10]，通過麥克斯韋方程組得到求解區(qū)域的電磁場基本方程[11-12]如下：

(1)

式中：Ω、Γ1、Γ2分別為電機求解區(qū)域、定子外圓邊界、以及永磁體邊界；A為矢量磁位軸向分量；J為總電流密度；Js為永磁體邊界等效面電流密度[13-14]。式(1)經(jīng)有限元離散，并耦合定、轉(zhuǎn)子電路方程可得場路耦合時步有限元方程如下：

(2)

其中各狀態(tài)變量A、Is、Ur、Ir、P1、P2，以及系數(shù)矩陣C11…D44的具體表達式參見文獻[15]。采用后差分歐拉法對式(2)進行離散[16-17]，并通過求解非線性代數(shù)方程組，可得各時刻磁場與電流結(jié)果。在此基礎(chǔ)上，由式(3)得到轉(zhuǎn)子導(dǎo)條電流密度為

(3)

及損耗密度[18-19]pcu=ρJ2。

圖1 永磁同步電機時步有限元計算模型Fig.1 T-S FEM model of PMSM

2 解析分析

在理想假設(shè)條件下μfe=∞，根據(jù)磁場分界面條件[5-6]，磁力線將水平地穿過轉(zhuǎn)子槽，而在實際的電機運行過程中，由于受到磁場飽和等因素的影響，磁力線在穿越轉(zhuǎn)子導(dǎo)體時，將可能在局部出現(xiàn)不平行的現(xiàn)象；但通過大量的計算發(fā)現(xiàn)，該現(xiàn)象的程度往往很小。如圖2所示為電機穩(wěn)態(tài)運行一個周期過程中，轉(zhuǎn)子導(dǎo)條內(nèi)磁位的分布及變化情況?？梢?，轉(zhuǎn)子導(dǎo)條各個時刻的磁場均近似呈水平分布特性，僅在最上層槽口部位有很小的畸變(磁位相差約0.3%)，從而在對轉(zhuǎn)子導(dǎo)條電流密度及磁場進行解析分析時，可認為磁場強度H僅為y的函數(shù)，即H=Hx(y)(通過2.2節(jié)的解析解與時步有限元計算結(jié)果對比，可進一步證明該假設(shè)合理性)。

同步電動機轉(zhuǎn)子槽形的結(jié)構(gòu)復(fù)雜多樣，以圖3所示3類比較典型的結(jié)構(gòu)進行研究，其中圖3(a)所示為理想的矩形槽形，圖3(b)為所采用的計算模型結(jié)構(gòu)，圖3(c)所示為在交界面處截面積發(fā)生突變的情況(文獻[5]還針對空心槽以及半閉口槽中的磁場解析表達式進行了推導(dǎo))。

圖2 穩(wěn)態(tài)運行過程中轉(zhuǎn)子導(dǎo)條磁位分布Fig.2 Magnetic potential distribution in rotor bar undering steady-state operation

圖3 轉(zhuǎn)子導(dǎo)條模型Fig.3 Model of rotor bar

2.1 理想槽形

在圖3(a)所示轉(zhuǎn)子導(dǎo)條為矩形的情況下，對于正弦電磁場情況，由麥克斯韋方程組可得：

(4)

聯(lián)立該方程組得到

?2Hx/?y2=jωγμ0Hx。

(5)

式(5)的解為

Hx=W1ch(py)+W2sh(py)。

(6)

(7)

將W1=0，W2=Im/bsh(ph)代入式(6)，最終得到：

(8)

利用式(8)求得導(dǎo)條電流密度分布如圖4所示，其中Im=1 A，ω=3 600π rad/s，h=0.031 75 m，b=6×10-3m。

圖4 導(dǎo)條電流密度分布Fig.4 Current density distribution in rotor bar

|Jz|、Real(Jz)、Imag(Jz)分別表示Jz的模、實部與虛部。其中|Jz|在y=0～h范圍內(nèi)具有單調(diào)恒正且為凹函數(shù)的特性，而Real(Jz)與Imag(Jz)不具備該特點。

2.2 實際槽形

實際運行的同步電動機，轉(zhuǎn)子導(dǎo)條結(jié)構(gòu)往往如圖3(b)所示，對于該結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)子導(dǎo)條，根據(jù)電磁場基本方程組[5]可以得到

(9)

聯(lián)立該方程組可得：

(10)

其中bt(y)在不同區(qū)域分別為：

(11)

將式(11)代入式(10)，并令hΩ1=b1h1/(b2-b1)，hΩ2=b2h2/(b3-b2)-h1，可得：

(12)

式(12)的解為：

(13)

(14)

最終可得：

(15)

式中J1與H1分別為一階貝塞爾函數(shù)與一階漢克爾函數(shù)，求解方程組(15)可得待定系數(shù)W1～W6。將W1～W6代入方程(13)，最終得到該槽形結(jié)構(gòu)下電流密度解析表達式。

圖5所示為永磁同步電機轉(zhuǎn)子導(dǎo)條中電流密度幅值的解析解與時步有限元計算的對比結(jié)果，其中h1=0.029 31 m，h2=0.001 44 m，h3=0.001 m，b1=4.3×10-3m，b2=6×10-3m，b3=1×10-3m。由圖可見，2種方法所得結(jié)果具有很高的一致性(為實現(xiàn)相同條件下的對比，解析結(jié)果中的Im取自時步有限元計算值)。另外，雖然導(dǎo)條頂部截面積很小，但由于此處集膚效應(yīng)十分明顯，使得該部分對導(dǎo)條中總電流的作用不可忽略。

圖5 導(dǎo)條電流密度幅值的解析解與時步有限元對比Fig.5 Comparison between analytical and T-S FEM calculating

圖6所示為時步有限元計算所得的，同步電機穩(wěn)態(tài)運行過程中，轉(zhuǎn)子導(dǎo)條6次諧波電流密度的分布情況。

圖6 導(dǎo)條中6次諧波電流密度分布特性Fig.6 Current density distribution of 6th harmonic content by using T-S FEM

對于圖3(c)所示，分界面處導(dǎo)條截面積不連續(xù)的槽形情況，分界面處有的邊界條件應(yīng)滿足：

(16)

其他分析步驟同上。

3 離散策略

在得到轉(zhuǎn)子導(dǎo)條電流密度分布的基礎(chǔ)上，令Jm(y)=|Jz|，導(dǎo)條內(nèi)損耗可由式(17)表示，其中i表示導(dǎo)條不同區(qū)域部分。

(17)

分別取F=PΩ作為目標函數(shù)，F(xiàn)*表示采用離散數(shù)值積分方法所得F的近似解。從而空間離散密度對于計算精度的影響可轉(zhuǎn)化為對于目標函數(shù)F的誤差分析問題[20-21]，如下式所示：

(18)

3.1 等間距離散

(19)

針對圖3(a)所示矩形槽結(jié)構(gòu)有：

(20)

圖3(b)所示轉(zhuǎn)子槽形結(jié)構(gòu)可由下式表示：

(21)

其中Jm1(y)、Jm2(y)、Jm3(y)、bt1(y)、bt2(y)、bt3(y)分別可由式(13)與式(11)得到。

將式(20)代入式(18)，得到不同諧波情況下轉(zhuǎn)子導(dǎo)條損耗的計算誤差隨空間離散密度變化的規(guī)律曲線族(針對圖3(a)結(jié)構(gòu))，如圖7所示。

圖7 損耗計算精度隨離散點變化規(guī)律曲線族Fig.7 Variation between loss computation accuracy and discrete points

可見，計算誤差隨離散點數(shù)的增加而減少，且隨著諧波次數(shù)的增高，達到相同的誤差水平所需的離散點數(shù)也逐漸增多。例如，若要將轉(zhuǎn)子導(dǎo)條中36次諧波損耗的計算誤差控制在10%以內(nèi)，沿導(dǎo)條徑向至少需要20個等距的離散點。

3.2 不等間距優(yōu)化離散

等間距離散的優(yōu)點在于其方法簡單，對函數(shù)性質(zhì)的依賴性不強，大多數(shù)的目標函數(shù)均可十分方便的實現(xiàn)。然而，其顯然不是最優(yōu)的離散策略，即對于相同的離散點數(shù)其計算精度不是最佳的，下面針對不等間距的離散策略進行研究。

假設(shè)求解區(qū)間y=0～h分為N份，由于Jm(y)在求解區(qū)域單調(diào)恒正且為凹函數(shù)，所以F*>F，利用該性質(zhì)構(gòu)造目標函數(shù)G=F*-F，如下式所示：

(22)

于是最優(yōu)離散策略的研究等價于求取函數(shù)G最小值的問題。

將式(22)分別對yj|j=1…N求偏導(dǎo)并令其等于0，將得到1個N階非線性方程組如下：

(23)

該方程組的解y1,…,yN即為采用不等間距方式離散所得的最優(yōu)離散點。將式(23)進行如下變換：

(24)

使其顯性化，并以矩陣形式表示為H(Y)·Y=0。

利用牛頓-拉夫遜方法對該方程組進行求解：

Y(n+1)=Y(n)-Joc(Y(n))-1·H(Y(n))·Y(n)。

(25)

最終可得到各優(yōu)化后的離散點yj|j=1…N(Joc為方程所對應(yīng)的雅各比矩陣)。圖8所示為轉(zhuǎn)子矩形槽結(jié)構(gòu)下，針對不同次數(shù)諧波損耗的優(yōu)化離散方案結(jié)果。

圖8 轉(zhuǎn)子導(dǎo)條最優(yōu)離散方案Fig.8 Optimal discretization method of rotor bar

圖9為在不等間距優(yōu)化離散方案下，不同次數(shù)的轉(zhuǎn)子諧波損耗誤差隨空間離散密度變化的規(guī)律曲線族。

可見采用不等間距的優(yōu)化離散方案進行計算時，所得到的精度較之等間距方法有大幅提高；而且，由于針對不同次數(shù)的諧波計算其離散策略不同，使得誤差曲線在不同諧波情況下逐漸趨于一致。

在實際的分析中，導(dǎo)條中電流的各次諧波分量是共同存在的，離散方案的選擇應(yīng)以其中主導(dǎo)因素來確定，或根據(jù)其各自所占的權(quán)重比例進行加權(quán)計算，得出全局最優(yōu)函數(shù)。另外，由于該方法的計算量相對較大，且受目標函數(shù)具體表達式的影響，若其形式過于復(fù)雜，在求解非線性方程組時，可能出現(xiàn)計算難以收斂或求解結(jié)果不唯一的情況。

圖9 最優(yōu)離散方案下計算精度隨離散點變化規(guī)律曲線族Fig.9 Variation between losses computational accuracy and discrete points by using optimal discretization method

3.3 考慮實際槽型結(jié)構(gòu)

圖8與圖9所示為優(yōu)化離散方案應(yīng)用在轉(zhuǎn)子矩形導(dǎo)條情況下的計算結(jié)果；而針對圖3(b)所示實際槽形結(jié)構(gòu)，基于研究所采用的規(guī)則性剖分，在不同形狀區(qū)域(如Ω1、Ω2、Ω3)的交界面處，需必然引入節(jié)點，從而3.2節(jié)的方法不能直接應(yīng)用于整個求解域Ω，需要對其進行適當?shù)淖儞Q及補充。

首先定義交界面處節(jié)點為yΩ1-0，yΩ2-0，yΩ3-0，并針對Ω1、Ω2、Ω3區(qū)域，分別采用3.2節(jié)所述方法求解一次最優(yōu)離散解yΩ1-1，yΩ2-1，yΩ3-1，之后以[yΩ1-0，yΩ1-1，yΩ2-0，yΩ3-0]，[yΩ1-0，yΩ2-0，yΩ2-1，yΩ3-0]，[yΩ1-0，yΩ2-0，yΩ3-0，yΩ3-1]作為區(qū)間計算3次數(shù)值積分解，并與解析解進行誤差對比EΩ1-1、EΩ2-1、EΩ3-1，取其最小誤差下的值作為“真解”(如yΩ1-1)，相當于在整個求解區(qū)域Ω中插入了1個最優(yōu)離散點。在此基礎(chǔ)上，循環(huán)采用該方法進行分析計算，并逐次增加離散點及離散區(qū)間，最終得到實際槽形的優(yōu)化離散方案，該方法的幾何表示如圖10所示。

圖11所示為針對實際槽形不同諧波情況，進行8點最優(yōu)離散的結(jié)果，其中數(shù)字“①～⑤”表示離散點插入的順序。由圖可見，雖然轉(zhuǎn)子導(dǎo)條電流密度大部分集中于表面位置(即Ω3區(qū)域?qū)τ趽p耗應(yīng)該起主導(dǎo)性作用)，但計算結(jié)果卻表明：針對本算例，對精度起主要作用的離散點往往在Ω1區(qū)域，這是由于Ω1區(qū)域電流密度的分布特性較之Ω3區(qū)域具有更強的非線性特征，從而使得該區(qū)域增加離散點對總體計算精度產(chǎn)生更大的貢獻。此外，針對不同的諧波次數(shù)，優(yōu)化離散的策略亦不相同。

圖10 實際槽形結(jié)構(gòu)優(yōu)化離散方法的幾何表示Fig.10 Geometric representation of optimal discretization method considering actual structure of rotor bar

圖11 實際槽形結(jié)構(gòu)下的優(yōu)化離散方案Fig.11 Optimal discretization method based on actual structure of rotor bar

圖12所示為針對實際槽形結(jié)構(gòu)的電機，在不等間距優(yōu)化離散方案下，不同次數(shù)的轉(zhuǎn)子諧波損耗誤差隨空間離散密度變化的規(guī)律曲線族。

綜上所述，對于不等間距的離散方案，不同次數(shù)的諧波損耗隨離散密度的變化具有很強的一致性，從而該特性可作為判斷轉(zhuǎn)子整體諧波損耗的依據(jù)。例如，對于圖12所示情況，當采用9點離散時，圖中所示各次諧波損耗誤差均約為5%，從而總體損耗誤差亦約為5%。

圖12 優(yōu)化離散方案下計算精度隨離散點變化規(guī)律曲線族(考慮實際槽形結(jié)構(gòu))Fig.12 Variation between losses computational accuracy and discrete points by using optimal discretization method (actual structure of rotor bar)

4 結(jié) 論

利用時步有限元方法研究同步電動機轉(zhuǎn)子銅耗時，由于所研究的對象包含大量高次諧波分量，為實現(xiàn)精確計算，需考慮離散密度對其計算精度的影響。為此針對轉(zhuǎn)子諧波損耗分析的時步有限元離散策略進行了研究，并得出如下結(jié)論：

1)結(jié)合理論分析及實際仿真計算結(jié)果對比，轉(zhuǎn)子導(dǎo)條沿橫向(切向)離散一般采用2～4等分即可滿足計算精度要求(參見第2節(jié)與表1結(jié)論)。

2)針對理想矩形槽結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)子，導(dǎo)條沿縱向(徑向)離散可采用等間距與不等間距兩種方式，離散密度對損耗計算的影響可由3.1與3.2部分的方法確定。其中不等間距離散通過構(gòu)造目標函數(shù)及求解非線性代數(shù)方程組所得到的狀態(tài)變量解，即為該情況下的最優(yōu)離散點。

3)針對實際槽形結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)子，由于受到交界面處強制節(jié)點條件的約束，可通過3.3節(jié)所提出的分段循環(huán)插入最優(yōu)離散點方法進行計算，最終得出全局優(yōu)化離散方案及其對于損耗計算的影響。

4)該方法可實現(xiàn)不同離散密度下的誤差計算預(yù)測，并在相同計算精度要求下能夠得出最優(yōu)的離散方案，使得計算量大幅減小。通過表1所示算例可見：離散過于稀疏，將使得損耗的計算精度產(chǎn)生較大的誤差，而一味的增加離散密度將導(dǎo)致計算時間大幅增長，而且當其到達一定程度后(Ny>11)，將對計算精度的提高貢獻很小(表中Nx、Ny、Nn分別為導(dǎo)條切向、徑向、及模型總體的離散點數(shù)，Tc為仿真計算總時間、Pcu為轉(zhuǎn)子銅耗)。

表1 不同離散密度下永磁電機轉(zhuǎn)子銅耗與仿真時間的時步有限元計算結(jié)果對比

5)該方法同樣適用于鼠籠式異步電動機的轉(zhuǎn)子銅耗分析，其中所研究的諧波次數(shù)根據(jù)具體計算情況確定。

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Optimization discrete strategy of time-stepping finite element for loss analysis in rotor bar of line-Start permanent magnet synchronous motor

HU Jia1， GU Jun2， XI Lin-gen1， Lü Ke-qi1

(1.China Power International Holding Ltd.,Beijing 100080,China;2.Beijing Electric Power Research Institute,Beijing 100075,China)

When calculating copper loss in the rotor bar of permanent synchronous motor (PMSM) using time-stepping finite element method (T-S FEM),there are lots of high frequencies harmonic magnetic fields in the space,the current and loss density distributes non-uniformity because of skin effect,so the method of spatial discretization affects the computational accuracy directly.The current density expression was presented by theoretical deduction firstly,then the object function in different forms was established to research the computational accuracy under the condition of uniform and ununiform discretization,and the optimal discretization strategy was obtained.Finally,considering the constraint condition of the forced node in the interface of rotor bar,the method of optimal discretization calculating loop quoted in different regions was proposed to solve the global optimization problem.The rationality of method was validated by comparing with calculation result of T-S FEM.

time-stepping finite element method; permanent magnet synchronous motors; loss analysis; spatial discretization; harmonic

2015-10-21

胡 笳(1982—)，男，博士，研究方向為電機電磁場數(shù)值計算等； 谷 君(1982—)，女，博士，研究方向為電力系統(tǒng)自動化技術(shù)及數(shù)值計算等； 奚林根(1968—)，男，學(xué)士，研究方向為電力系統(tǒng)自動化； 呂克啟(1970—)，男，學(xué)士，研究方向為電機與電器。

胡 笳

10.15938/j.emc.2017.05.011

TM 351

A

1007-449X(2017)05-0081-08