編者按：本欄目特邀教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會成員、普通高中信息技術(shù)課標(biāo)修訂核心組成員、四川省教育科學(xué)研究所技術(shù)教育研究室主任、正高級教師、特級教師李維明主持，望大家踴躍參與研究與討論（聯(lián)系郵箱：358211798@qq.com）。

主題闡釋

算法是普通高中信息技術(shù)內(nèi)容體系中重要的大概念，它是一個有窮規(guī)則的集合，其中之規(guī)則規(guī)定了解決某一特定類型問題的一個運算系列；而計算是指數(shù)據(jù)在運算符的操作下，按規(guī)則進行的數(shù)據(jù)變換。這里無論是算法還是計算都提到了“規(guī)則”，可以理解為算法規(guī)定了任務(wù)執(zhí)行或問題求解的一系列步驟，而計算是這些任務(wù)執(zhí)行或問題求解的具體實現(xiàn)。

在教學(xué)中我們不必為算法、計算的概念去繞口地解釋，而應(yīng)當(dāng)領(lǐng)會其實質(zhì)，利用計算機的優(yōu)勢特點去設(shè)計解決問題的規(guī)則和實現(xiàn)的方法。例如，累加器S=S+X，就利用了變量賦值的特點實現(xiàn)了迭代的方法；斐波那契數(shù)列問題，使用了遞歸的思路；等等。這些都需要教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生思考：如何建立模型，實現(xiàn)有效的自動計算？如何方便、高效地實現(xiàn)自動計算？編程是解決具體問題的途徑之一。

本期提供的三個案例，分別用不同的應(yīng)用實例，讓學(xué)生體驗編程計算，初步了解算法。

教學(xué)案例

案例1：用“割圓術(shù)”計算圓周率

學(xué)業(yè)要求：能提取割圓術(shù)問題的基本特征，進行抽象處理，并用形式化的方法表述問題，運用算法設(shè)計解決問題的方案，能使用編程語言實現(xiàn)這一方案，把利用信息技術(shù)解決問題的過程遷移到其他相關(guān)問題中，并能采用恰當(dāng)?shù)姆椒▋?yōu)化解決方案。

知識要點：割圓術(shù)，迭代算法，近似值，精度。

教學(xué)方法：通過自主學(xué)習(xí)、推導(dǎo)分析、歸納總結(jié)，了解用“割圓術(shù)”計算圓周率的思想與方法；并通過運行觀察程序，感知計算機近似運算的高效。

活動步驟：

①教師展示從古至今，不同的人對π的推導(dǎo)和計算到的數(shù)字。②給學(xué)生閱讀材料，自主學(xué)習(xí)“割圓術(shù)”的思想方法。③請學(xué)生計算半徑為1的圓的內(nèi)接三角形的面積。④請學(xué)生計算半徑為1的圓的內(nèi)接六邊形的面積。 ⑤請學(xué)生繼續(xù)嘗試計算半徑為1的圓的內(nèi)接十二邊形的面積，并歸納計算規(guī)律。⑥教師引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)計算半徑為1的圓的內(nèi)接二十四邊形的面積，并總結(jié)計算規(guī)律，用自然語言描述此算法。⑦將“割圓術(shù)”程序的可執(zhí)行文件發(fā)給學(xué)生，學(xué)生運行程序，觀察結(jié)果，感知計算機近似運算。⑧請學(xué)生利用“割圓術(shù)”，通過分析初始狀態(tài)為正方形的正多邊形嘗試近似計算圓周率，并編寫程序。⑨學(xué)生程序展示，相互評價討論，提出優(yōu)化或改進意見。

教學(xué)思路：

（1）按照新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，本課的學(xué)習(xí)目標(biāo)是：針對給定的問題進行分析，明確割圓術(shù)的思想方法；能提取割圓術(shù)問題的基本特征，進行抽象處理，并用形式化的方法表述問題；運用算法設(shè)計解決問題的方案，能使用編程語言實現(xiàn)這一方案；把利用信息技術(shù)解決問題的過程遷移到其他相關(guān)問題中，并能采用恰當(dāng)?shù)姆椒▋?yōu)化解決方案。具體的知識要點包括割圓術(shù)、迭代算法，近似值及精度。在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)把“能提取割圓術(shù)問題的基本特征，進行抽象處理，并用形式化的方法表述問題；運用算法設(shè)計解決問題的方案，能使用編程語言實現(xiàn)這一方案”作為教學(xué)重點，而“把利用信息技術(shù)解決問題的過程遷移到其他相關(guān)問題中，并能采用恰當(dāng)?shù)姆椒▋?yōu)化解決方案”是教學(xué)的難點。

（2）古今中外，許多人致力于圓周率的研究與計算。為了計算出圓周率的越來越好的近似值，一代代的數(shù)學(xué)家為這個神秘的數(shù)貢獻了無數(shù)的時間與心血。古人計算圓周率，一般是用割圓術(shù)。

（3）所謂“割圓術(shù)”，就是用單位半徑圓內(nèi)接正多邊形的面積去無限逼近圓面積并以此求取圓周率的方法。學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)這一思想方法，嘗試手工計算單位半徑圓內(nèi)接三角形、六邊形、十二邊形的面積，在其中體會這種基于幾何的算法計算量大，速度慢。在計算機程序中，成倍地增加正多邊形的邊數(shù)n，讓所求得的π逐漸接近真實的π值，讓學(xué)生感受計算機在近似計算中的高效。

（4）在此基礎(chǔ)上，兩人一組，利用“割圓術(shù)”，通過分析初始狀態(tài)為正方形的正多邊形嘗試近似計算圓周率，并編寫程序。學(xué)生程序展示，相互評價討論，提出優(yōu)化或改進意見。

（5）本活動設(shè)計課時為1課時。

案例2：遞歸算法的教學(xué)

學(xué)業(yè)要求：掌握遞歸算法的基本特征，能夠用遞歸算法解決相關(guān)問題，了解遞歸算法的執(zhí)行過程。

知識要點：遞推算法，遞歸算法，遞歸的結(jié)束條件、條件語句、循環(huán)語句。

教學(xué)方法：講授法，任務(wù)驅(qū)動法，小組活動法。

活動步驟：

①教師通過講授法，復(fù)習(xí)前面的知識——遞推算法的編程思路，引出本課實例——斐波那契數(shù)列問題。②請學(xué)生分組討論斐波那契數(shù)列問題的編程解題思路，總結(jié)出解決這一問題的關(guān)鍵條件，得出遞推關(guān)系式：F[1]=1，F(xiàn)[2]=1，F(xiàn)[N]=F[N-1]+F[N-2]（N>=3），并獨立編制出遞推算法的相關(guān)程序。③教師展示學(xué)生的編程結(jié)果，讓大家總結(jié)、提煉出遞推的條件及循環(huán)語句的組成，分析遞推程序的執(zhí)行過程：從小到大，直到目標(biāo)實現(xiàn)。④教師總結(jié)另一種編寫程序的方法：從大到小，引出遞歸算法。⑤請學(xué)生自學(xué)教材內(nèi)容，分組討論、總結(jié)出遞歸算法的定義、思路以及使用遞歸算法的注意事項，并獨立編制出遞歸算法的相關(guān)程序。⑥教師展示遞歸程序執(zhí)行過程，歸納總結(jié)出編寫遞歸程序的一般思路：用過程或函數(shù)方式實現(xiàn)遞歸程序；從底到頂分析，從頂?shù)降浊蠼?；先判斷遞歸條件再遞歸，否則容易出現(xiàn)死循環(huán)。⑦請學(xué)生分組或獨立完成以下程序（任選一題完成）：分解質(zhì)因數(shù)（任給一正整數(shù)，將其分解成質(zhì)因數(shù)并輸出）；上樓梯問題（有一十級的樓梯，上樓時可以一步一級，也可以一步兩級，求出共有多少種上樓梯的方法）；漢諾塔問題。⑧同學(xué)間成果展示，相互評價，討論，提出改進方案。

教學(xué)思路：

（1）按照新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，本單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)是：熟練掌握遞推算法的應(yīng)用，掌握遞歸算法的特點，能利用遞歸算法編制程序解決常見問題，樹立遞推、遞歸算法解決問題的基本計算思維。本課時的重點內(nèi)容是遞歸算法。具體知識點是：遞推算法、遞歸算法、遞歸算法的特點，遞推、遞歸算法的結(jié)束條件，用遞歸算法編制程序解決相關(guān)問題。本課時的教學(xué)難點是：遞歸算法的執(zhí)行過程和遞歸的結(jié)束條件。

（2）遞推算法是按照從小到大的思維方式依次求出各級問題，思維較清楚，程序執(zhí)行過程符合人的求解過程，比較好理解，但在有些較大問題上，程序的編制過程比較難。而遞歸算法是在遞推算法的基礎(chǔ)上，采用從小到大的分析方式。從大到小的求解過程，編制程序比較容易，但程序的執(zhí)行過程比較難理解，因為要用到堆棧的理解方式，堆棧的概念在以后的學(xué)習(xí)過程中會詳細介紹，這里只是打下伏筆。

（3）遞推、遞歸兩者的共同點是：一要找到遞推的關(guān)系式；二要找到結(jié)束條件（初始化條件）。不同點是：求解過程的順序不同，遞推在編制程序時采用的是從小依次向大逐步求解的方式，而遞歸在編制程序時采用的是降低問題規(guī)模的思維方式。

（4）基于上述認識，這一節(jié)課中設(shè)計了兩個活動。

這兩個活動，重點是要讓學(xué)生理解兩個程序的執(zhí)行過程（求解過程），理解遞推、遞歸算法各自的特點，培養(yǎng)學(xué)生的遞推、遞歸算法思想，并能根據(jù)問題的實際情況，選擇用不同的算法編程實現(xiàn)。

（5）在上述這兩個活動的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生有選擇地完成相關(guān)問題，既能達到分層教學(xué)的目的，又能加深學(xué)生對本節(jié)課內(nèi)容的理解。

（6）本活動可用兩2節(jié)課完成。

案例3：計算朋友圈人數(shù)

學(xué)業(yè)要求：能夠針對限定條件的實際問題進行數(shù)據(jù)抽象，運用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)合理組織、存儲數(shù)據(jù)，選擇合適的算法（排序、查找、迭代、遞歸）編程實現(xiàn)、解決問題。

情境設(shè)置：小明所在學(xué)校有N個學(xué)生，形成M個俱樂部。每個俱樂部的學(xué)生都有著相似的愛好，形成一個朋友圈。一個學(xué)生可以同時屬于若干個不同的俱樂部。根據(jù)“我的朋友的朋友也是我的朋友”這個推論可以得出，如果A和B是朋友，且B和C是朋友，則A和C也是朋友。小明想知道，在這些朋友圈中最大的有多少人。

研究題目：根據(jù)情境分析題意，確定數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，建立數(shù)學(xué)模型，探索解題思路，編程為小明同學(xué)找到答案。

項目活動：

①（或選修課）的情況，假設(shè)一個組（或一門課）為一個朋友圈，試試能否找出最大朋友圈；記下尋找過程數(shù)據(jù)，分析結(jié)構(gòu)，探索計算模型、方法。②設(shè)N=7，M=4。且第一俱樂部有3人，學(xué)號為1、2、3；第二俱樂部有2人，學(xué)號為1、4；第三俱樂部有3人，學(xué)號為5、6、7；第四俱樂部有1人，學(xué)號為6。模擬計算機解決此問題。③根據(jù)前述思路，編程計算最大的朋友圈中有多少人。

教學(xué)說明：

①確定總的學(xué)生學(xué)號Total，即Total=[1、2、3、4、5、6、7]。②將4個俱樂部分為4個數(shù)組：N1=1、2、3，N2=1、4，N3=5、6、7，N4=6。③以學(xué)號1為例，尋找能與學(xué)號1成朋友關(guān)系的學(xué)號，將含有學(xué)號1的俱樂部合并在一起，即M1=N1 U N2=1、2、3、4。學(xué)號2、3、4現(xiàn)在都是學(xué)號1的朋友，根據(jù)朋友的朋友也是我的朋友，因此學(xué)號2、3、4的朋友也是學(xué)號1的朋友，因此學(xué)號1的朋友圈M1還有可能擴大，依次查詢包含學(xué)號2、3、4的俱樂部并與原本M1朋友圈進行合并，即M2=M1 U N1 U N2=1、2、3、4。據(jù)此，得出第一個朋友圈為1、2、3、4。④同理，現(xiàn)在只剩下學(xué)號5、6、7沒有劃分朋友圈，以學(xué)號5為例，按照上述步驟依次查詢得出M3朋友圈5、6、7。⑤所有學(xué)號分圈完畢，得出兩個朋友圈：M2=1、2、3、4，M3=5、6、7。⑥比較兩個朋友圈數(shù)量大小，最大的即為最大朋友圈，數(shù)組長度即為最大朋友圈中人的個數(shù)，數(shù)組內(nèi)容即為朋友圈的具體人員。⑦如果學(xué)生人數(shù)和俱樂部的組成發(fā)生變化，只需要相應(yīng)的在矩形數(shù)組里修改對應(yīng)參數(shù)。

運行結(jié)果如下圖所示。

專家點評

案例1

我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)明的割圓術(shù)，是以“圓內(nèi)接正多邊形的面積”來無限逼近“圓面積”，即割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣。這里應(yīng)用近似計算的方法，充分體現(xiàn)了我國古代數(shù)學(xué)家的智慧。該案例正是讓學(xué)生從計算半徑為1的圓的內(nèi)接三角形的面積出發(fā)，逐漸增加邊數(shù)，尋找其規(guī)律；同時，將“割圓術(shù)”程序的可執(zhí)行文件發(fā)給學(xué)生，學(xué)生運行程序，觀察結(jié)果，感知計算機近似運算；在此基礎(chǔ)上，再讓學(xué)生利用“割圓術(shù)”，通過分析初始狀態(tài)為正方形的正多邊形嘗試近似計算圓周率，并用計算機編程計算。這一思路既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的極限思想，又符合計算機解決問題所使用的近似方法，思路正確，方法得當(dāng)，值得肯定。

但從案例本身來看，對計算機解決問題使用的近似計算方法中的近似值及精度的要求體現(xiàn)不夠充分，學(xué)生探究的目的不太明確。新課標(biāo)要求學(xué)生依據(jù)解決問題的需要，設(shè)計和表示簡單算法。在本案例中，算法如何體現(xiàn)是引導(dǎo)學(xué)生解決問題的關(guān)鍵：需不需要使用通項式，什么地方使用迭代算法，怎么實現(xiàn)預(yù)定的精度等思想和方法，在案例中體現(xiàn)得不夠充分，不利于學(xué)生計算思維的形成，應(yīng)當(dāng)改進。

（案例1提供：成都石室中學(xué) 唐佩、杜妮香、曾貴勝；點評人：四川省教育科學(xué)研究所 李維明）

案例2

新課標(biāo)要求學(xué)生能夠針對限定條件的實際問題進行數(shù)據(jù)抽象，運用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)合理組織、存儲數(shù)據(jù)，選擇合適的算法（排序、查找、迭代、遞歸）編程實現(xiàn)、解決問題。而該案例正是從討論斐波那契數(shù)列問題的編程解題思路出發(fā)，讓學(xué)生總結(jié)出解決這一問題的關(guān)鍵條件，得出遞推關(guān)系式并引出遞推算法，并在此基礎(chǔ)上，采用從小到大的分析方式、從大到小的求解過程，引出實現(xiàn)遞歸的算法，教學(xué)思路清晰。在具體活動中讓學(xué)生解決諸如分解質(zhì)因數(shù)、上樓梯問題、漢諾塔問題等實例問題，由簡至繁，體驗遞歸思想，感受計算樂趣，處理得當(dāng)。如果在案例整體設(shè)計上，能以具體的實際問題解決的例子為項目活動的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生逐步分析，理解迭代、遞歸的含義，進而形成解決此類問題的思路，找到解決此類問題的方法，達到發(fā)展計算思維的目的，項目活動的效果就更好了。

（案例2提供：四川省教育廳教育物資裝備中心 李大國；點評人：四川省教育科學(xué)研究所 李維明）

案例3

新課標(biāo)要求學(xué)生能夠在掌握常用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的概念、特點、操作、編程實現(xiàn)方法等內(nèi)容的基礎(chǔ)上，對簡單的數(shù)據(jù)問題進行分析，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，用一種程序設(shè)計語言編程實現(xiàn)，在問題解決過程中對數(shù)據(jù)抽象、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的思想與方法有初步的認識。該案例在解決問題時，首先將4個俱樂部設(shè)為4個數(shù)組，然后查找數(shù)組中的等價元素，并將各數(shù)組等價集合并，通過比較等價集的規(guī)模，找出最大朋友圈，這一方法，正是課標(biāo)要求的具體呈現(xiàn)。

本案例是按選修I中模塊1“數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)”的要求設(shè)計的，其核心素養(yǎng)水平屬于水平2，是用計算機解決數(shù)學(xué)問題的案例。教學(xué)時要充分利用活動①、②的探索，明確其數(shù)學(xué)問題的歸屬。解決問題時需要用到集合、樹的概念和方法，也需要使用遞歸的思想和方法來提高其查詢效率，所以有一定的難度。教學(xué)時，可以引導(dǎo)學(xué)生分步實現(xiàn)，逐步形成正確的解題思路，提高數(shù)字化學(xué)習(xí)與創(chuàng)新能力，強化信息意識，提升計算思維水平。

（案例3提供：四川省教育廳教育科學(xué)研究所 張馨月；點評人：四川省教育科學(xué)研究所 李維明）