袁國清+俞瑜+王宗龍+李寧+蔡佑林+孫馳

摘要： 為研究船舶開孔板和加強板結構的振動特性，用1階剪切變形板理論描述各向同性板的位移場，并采用修正變分原理和區(qū)域分解方法建立板的離散動力學模型.每一塊子域板的位移和轉角分量通過第一類切比雪夫正交多項式展開.針對加強板模型，將該方法獲得的結果與已經發(fā)表的文獻和有限元商用軟件計算結果進行對比，驗證該方法的收斂性和正確性.基于修正變分法探討多種開孔和加強板模型的自由振動特性，充分說明該數理模型和半解析方法是一種適合處理復雜板結構問題的數值工具.

關鍵詞： 船舶； 開孔板； 加強板； 自由振動； 修正變分法； 1階剪切變形板理論； 區(qū)域分解方法； 第一類切比雪夫正交多項式

中圖分類號： TB123文獻標志碼： B

Abstract： To study the vibration characteristics of structures of plates with hole and reinforcement plates in ships， the firstorder shear deformable plate theory is used to describe the displacement fields of isotropic plates， and a discretized dynamics model is built for a plate by a modified variational principle combined with multisegment partitioning procedure. The displacement and rotation components of each plate segment are expanded by Chebyshev orthogonal polynomials of first kind. As to the reinforcement plate model， the results obtained by the method are compared with the data in published references and the results calculated by commercial finite element software， and the convergence and accuracy of this method are validated. Based on the modified variational method， the free vibration characteristics of various plate with holes and reinforcement plates are discussed. The results indicate that the mathematical model and the semianalytical method may be used as appropriate numerical tools in the analysis and design of complicated plate structures.

Key words： ship； plate with hole； reinforcement plate； free vibration； modified variational method； firstorder shear deformable plate theory； multisegment partitioning procedure； Chebyshev orthogonal polynomials of first kind

0引言

在船體結構設計中，開孔和加強筋對板結構振動特性的影響是經常遇到的關鍵問題.根據船體總裝的需求，開孔板主要有矩形、圓形和橢圓形開孔板，加強板有加筋板、T型板和交叉板等.雖然可以采用許多不同的數值方法建立板結構動力學模型，比如有限差分法、有限元法和邊界元法等，但是尋找一種解析方法更有利于參數化研究、靈敏度分析和優(yōu)化設計，比如線纜和管道布置需要的開孔位置發(fā)生變化通常會導致板振動特性發(fā)生顯著變化.解析方法能通過位置參數的優(yōu)化方便地獲得合適的開孔位置，而數值算法需要一系列反復的重新建模、網格劃分和計算.

LEE等[1]基于應力變形板理論和Timoshenko梁理論，采用有限元法研究各向異性板考慮偏心加筋的振動特征問題.LIEW等[2]采用RayleighRitz法建立矩形Mindlin加筋板的動力方程，并研究筋的剪切變形、轉動慣量和扭轉剛度的影響.WANG等[3]為獲得開孔板最大基本振動頻率，采用Ritz法對開孔位置進行優(yōu)化.PEDERSEN[4]利用解析的方式描述橢圓開孔，并使用有限元分析和靈敏度分析對孔口形狀和位置進行優(yōu)化.QU等[5]為分析圓錐圓柱組合殼加環(huán)筋的振動特性，最早提出一種修正變分方法.YUAN等[6]通過分區(qū)廣義變分原理，放松多板之間的界面以及幾何邊界的位移協調關系，處理多個加筋板組合的振動問題.本文基于1階剪切變形板理論，將修正變分法進行拓展，推導開孔板和加強板結構二維區(qū)域劃分的動力學公式，并將分析結果與已發(fā)表的實驗結果和通過有限元軟件計算的數值結果進行比較驗證.板結構的動力學方程計算通過MATLAB編程實現.

1理論方法

1.1模型描述

為不失一般性，選取幾種加強和開孔板模型，見圖1和2.加強板模型選取四邊部分邊界加強和筋條加強的模型；開孔模型選取矩形開孔，開孔邊界分為自由和固定2種情形，自由邊界是考慮通孔走線，固定邊界是考慮在開孔處固定管道的情形.另外，開孔邊界固定模型還能表征在平板表面局部加強的情形.

為簡化計算，板和筋條的尺寸分別設置為固定值.笛卡爾系坐標（x，y，z）位于平板左下角.板的幾何尺寸為長l，寬b和厚h.部分邊界固支位置為平板4個角，長邊上為lc，寬邊上為bc.所有的筋條橫截面尺寸保持一致，即寬bb和厚度hb；矩形開孔的左下角位于（x0，y0），開孔為長l0和寬b0.假設所有的結構材料都是各向同性的，彈性模量E=2.1×1011 Pa，密度ρ=7 800 kg/m3和泊松比ν=0.3.平板模型振動分析考慮結構阻尼的影響，結構阻尼通過修改彈性模量來實現，即E=E0（1+iη），其中材料損失因子取η=0.006.

1.2修正變分方法

1.3動力學方程求解

從式（8）可以看出，通過修改變分原理和最小二乘加權余量法，分區(qū)界面連續(xù)性邊界和幾何邊界條件得到釋放和補償.這就使得選取的位移函數不需要顯性滿足單個平板或者多板結構模型的原始邊界條件.于是，各個平板子域的位移和轉角函數只需要選取線性獨立、完備的基函數就能獲得數值準確解，這樣可大大簡化求解過程.在本章中，各個平板子域的位移和轉角函數采用二維的第一類切比雪夫正交多項式展開[10]，表達式為

2仿真結果討論

2.1加強板模型自由振動分析

在船舶設計中，一些板材需要調整結構來滿足振動和應力方面的要求.加筋是最常見的增強板動力性能的方式，見圖1b）加強板模型.為驗證修正變分方法的可靠性和有效性，選取多種不同邊界條件和多種加筋方式的加筋板自由振動數值仿真算例進行分析說明.在單個平板中定義其邊界條件，例如用符號FSCF表示在平板的x=0，y=0，x=l和y=b邊上分別是自由（F）、簡支（S）、固定（C）和自由（F）邊界條件.加筋板的幾何尺寸為b=l=1 m，厚寬比為h/b=0.01，筋條寬、厚與平板厚度比值分別為bb/h=1和hb/h=1.5.加筋板的固有頻率采用無量綱表示形式Ω=（ωb2/π2）ρh/D，其中D=Eh3/（12×（1-ν2））表示平板的彎曲剛度.基于前文中的公式推導，采用MATLAB編寫程序并實現數值計算.計算獲得的收斂解與采用RayleighRitz法計算的結果[2]進行對比.5種不同邊界條件不同加筋方式的加筋板模型前6階固有頻率結果見表2.從表2中可以看出，本文方法與參考文獻中的方法吻合很好.對于這5個算例，前6階固有頻率的最大相對誤差小于2%，從而驗證本文方法的精確性和有效性.

為進一步體現修正變分法的優(yōu)越性，對局部邊界加強板進行研究，模型見圖1a）.定義邊界條件lc=bc=l/5為固定，其余邊界自由，可以發(fā)現這一模型可拓展到任意邊界分布情形.基于本文方法和有限元軟件ANSYS的計算結果見表3.對四邊固支和局部固支模型的前6階固有頻率進行對比分析.為更好地理解加筋板的振動特性，給出局部邊界固支板的前6階固有頻率結果和振型圖見圖3.表3中2個數值算例及2種方法計算結果吻合良好，最大相對誤差為1.1%.

2.2開孔板模型自由振動分析

在船體管路和線纜分布設計中，通常需要在板材結構中打通孔，有時也會在開孔位置固定管材.為研究開孔對板結構振動特性的影響，研究矩形自由邊界開孔和固定邊界開孔2種情形，模型見圖2.定義開孔尺寸和位置為b=l=1 m，h/b=0.01，x0/l=1/2，y0/b=1/2，l0/l=1/4，b0/b=1/4，平板四邊為固支.自由邊界開孔和固定邊界開孔2種模型的前6階固有頻率見表5.將修正變分法和有限元法計算結果進行對比，2種方法計算結果最大誤差為1.2%.固定邊界開孔板的第1階固有頻率是自由開孔板的2倍多.對比表3中四邊固定的平板結構前6階固有頻率，固定邊界開孔比自由邊界開孔對平板固有頻率的影響更顯著.自由邊界開孔和固定邊界開孔板的前6階固有頻率結果和振型圖分別見圖4和5.比較這2種開孔模型以及不開孔板模型的振型，同樣是固定邊界開孔板模型對振型的影響最顯著.

基于開孔板模型的程序，多孔結構動力學方程只需將多個孔考慮成虛子域（即對應的子域質量矩陣和剛度為0）和開孔邊界的組合，對于同樣開孔尺寸的多孔板結構采用修正變分法進行振動分析非常方便快捷.另外，如果固定邊界開孔的尺寸足夠小，動力學方程就能仿真螺栓固定和點焊的情形.受限于篇幅，這樣的模型不再一一列舉.

3結論

基于1階剪切變形板理論，采用修正變分法建立開孔和加強板結構的動力學模型.通過修改變分原理和最小二乘加權余量法，分區(qū)界面連續(xù)性邊界和幾何邊界條件得到釋放和補償.這使得選取的位移函數不需要顯性地滿足單個平板或者多板結構模型的原始邊界條件.局部邊界加強模型仿真算例可推廣到任意邊界分布板問題.在處理離散加筋問題時，通過變分方法將筋條的動能和勢能加載到動力方程中，加筋的位置參數用函數表示.開孔模型動力學方程將孔考慮成虛子域與開孔邊界的組合，可應用于工程中常見的多孔板、螺栓固定和點焊等模型.基于修正變分法，各個平板子域的位移和轉角函數采用切比雪夫多項式展開，可降低動力系統(tǒng)自由度，提高計算效率.通過與參考文獻和有限元軟件的仿真結果對比，驗證修改變分方法的正確性和有效性.對于常見的板結構振動問題，本文中提到的數理模型和方法方便可行.

參考文獻：

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[3]WANG C M， WU W Q. Optimal location of a cutout in rectangular Mindlin plates for maximum fundamental frequency of vibration[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2002， 24（5）： 400404. DOI： 10.1007/s0015800202529.

[4]PEDERSEN N L. Optmization of holes in plates for control of eigenfrequencies[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2004， 28： 110. DOI： 10.1007/s0015800404268.

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[7]QU Y G， YUAN G Q， WU S H， et al. Threedimensional elasticity solution for vibration analysis of composite rectangular parallelepipeds[J]. European Journal of Mechanics A/Solids， 2013， 42： 376394. DOI： 10.1016/j.euromechsol.2013.07.006.

[8]QU Y G， LONG X H， WU S H， et al. A unified formulation for vibration analysis of composite laminated shells of revolution including shear deformation and rotary inertia[J]. Composite Structures， 2013， 98： 169191. DOI： 10.1016/j.compstruct.2012.11.001.

[9]QU Y G， CHEN Y， LONG X H， et al. Free and forced vibration analysis of uniform and stepped circular cylindrical shells using a domain decomposition method[J]. Applied Acoustics， 2013， 74（3）： 425439. DOI： 10.1016/j.apacoust.2012.09.002.

[10]JEFFERY A， DAI H H. Handbook of mathematical formulas and integrals[M]. 4th ed. San Francisco： Academic Press， 2008.（編輯武曉英）