吳方躍

摘 要：本文介紹了歸納法及數(shù)學(xué)歸納法的定義，并舉例說(shuō)明了我們?cè)谑褂脷w納法及數(shù)學(xué)歸納法時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題，告戒我們不能盲目的歸納，避免得出錯(cuò)誤的結(jié)論，本文還重點(diǎn)介紹了我們?cè)谑褂脭?shù)學(xué)歸納法解題時(shí)應(yīng)注意的步驟，并且比較了歸納法與數(shù)學(xué)歸納法之間的差異，還介紹了歸納法及其數(shù)學(xué)歸納法推理的常用技巧。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法；歸納假設(shè)；歸納推理

歸納法與數(shù)學(xué)歸納法，在初等數(shù)學(xué)及高等數(shù)學(xué)中都要著廣泛的應(yīng)用，特別是在定理證明中占非常重要的地位，所以我們必須引起注意，下面我主要從三個(gè)方面來(lái)闡述歸納法及數(shù)學(xué)歸納法。

1歸納法

1.1歸納法的定義

由一系列有限的特殊事例得出結(jié)論的推理方法叫歸納法。

歸納法包含不完全歸納法和完全歸納法兩類。

1.1.1不完全歸納法：根據(jù)事物的部分（而不是全部）特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法。

1.1.2完全歸納法：根據(jù)事物的所有特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法.

注意：不完全歸納法是從特殊出發(fā)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)、觀察、分析、綜合、抽象概括出一般性結(jié)論的一種重要方法，運(yùn)用不完全歸納法可通過(guò)對(duì)數(shù)列前n項(xiàng)的計(jì)算.觀察、分析、推理出它的通項(xiàng)公式，或推測(cè)出這個(gè)數(shù)列的有關(guān)性質(zhì).應(yīng)注意用不完全歸納法探索發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，必須用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)結(jié)論的正確性予以證明。

1.2使用歸納法要謹(jǐn)慎

我們?cè)谑褂脷w納法時(shí)，經(jīng)常盲目歸納，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論，所以我們應(yīng)該引起注意，下面我們通過(guò)幾個(gè)例子看看。

例、求前n個(gè)奇數(shù)的和 [1+3+5+……+（2n-1）]

解：用S（n）表示這個(gè)和，令n=1，2，3，4，5，則有

S（1）=1

S（2）=1+3=4

S（3）=1+3+5=9

S（4）=1+3+5+7=16

S（5）=1+3+5+7+9=25

可見(jiàn)，對(duì)n=1，2，3，4，5，前n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和等于[n2]，但是，我們不能由此馬上斷定，對(duì)任意的n，都有S（n）=[n2]，因?yàn)椋伞邦惐取倍玫降慕Y(jié)論有時(shí)是錯(cuò)誤的.我們用幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)。

考慮形如[22n+1]的數(shù).當(dāng)n=0，1，2，3，4，時(shí)，這些數(shù)[220]+1=3，[221]+1=5，[222]+1=17，[223]+1=257，[224]+1=65537都是素?cái)?shù).十七世紀(jì)一位著名的法國(guó)數(shù)學(xué)家P.費(fèi)爾馬由此猜想，凡是這種形式的數(shù)都是素?cái)?shù).然而，在十八世紀(jì)，另一位偉大的數(shù)學(xué)家，彼得堡科學(xué)院院士，L.歐拉發(fā)現(xiàn)[225]+1=4294967297=[641×6700417]是一個(gè)合數(shù)。

這里還有一個(gè)例子，十七世紀(jì)著名的德國(guó)數(shù)學(xué)家，高等數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人之一G.W萊布尼茲證明了，對(duì)任意的正整數(shù)n，[n3-n]能被3整除，[n5-n]能被5整除，[n7-n]能備整除，據(jù)此，他差一點(diǎn)猜想：對(duì)任意奇數(shù)k和自然數(shù)n，[nk-n]能被k整除，幸虧他自己很快發(fā)現(xiàn)[29-2]=510不能被9整除。

現(xiàn)在我們回到求前n個(gè)基數(shù)的和的問(wèn)題.從上述可知，不管驗(yàn)證了多少個(gè)n ，公式

S（n）=[n2] [……]（1）

總不能認(rèn)為已證明了，因?yàn)榭傆幸环N可能性，對(duì)某個(gè)未檢驗(yàn)過(guò)的n，公式（1）不再成立.為了確信公式（1）對(duì)所有n正確，我們必須證明：無(wú)論在自然數(shù)列中走到多遠(yuǎn)，我們決不能從使公式（1）成立的n值走到使（1）不再成立的數(shù)值。

2 數(shù)學(xué)歸納法

2.1 數(shù)學(xué)歸納法的定義

n=1正確時(shí)，若在n=k正確的情況下，n=k+l也是正確的，便可遞推下去.雖然我們沒(méi)有對(duì)所有的自然數(shù)逐一的加以驗(yàn)證，但事實(shí)上，這種遞推就已經(jīng)把所有自然數(shù)都驗(yàn)證了，這種方法就是數(shù)學(xué)歸納法。

2.2 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟

（Ⅰ）驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，某命題是正確的。

（Ⅱ）假設(shè)n=k時(shí)，命題也是正確的，從而推出當(dāng)n=k+l時(shí)，命題也是正確的.因此，命題正確。

容易悟錯(cuò)的是：既然k是任意的自然數(shù)，n=k是正確的，那么k+l也是正確的.即k+l與k應(yīng)該表示同一個(gè)意思.何必還要證明呢？這很容易理解，k雖然是任意假設(shè)的自然數(shù)，但是，一旦假定了n=k時(shí)，k就是一個(gè)固定的自然數(shù)了，換句話說(shuō)，k就是一個(gè)有限的數(shù).因而，能否從n=k時(shí)命題正確，推出n=k+l時(shí)命題也是正確的，這就不一定.如在n=k時(shí)正確，推出了n=k+1也是正確的，這時(shí)，問(wèn)題就出現(xiàn)了一個(gè)跨越，發(fā)生了本質(zhì)的變化，從k到k+l，便是由有限變化到無(wú)限的過(guò)程，這正是數(shù)學(xué)歸納法之精髓。

在比較復(fù)雜的情況下，數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟都要有一些相應(yīng)的變化，下面有兩種變形.

形式1：證明中的第一步不一定從1開始，如果當(dāng)n=[k0]的時(shí)候，命題是正確的，又假設(shè)n=k（k≥[k0]）時(shí)，這個(gè)命題是正確的，可以推出當(dāng)n=k+l時(shí)，這個(gè)命題是正確的，那么這個(gè)命題當(dāng)n=k+l時(shí)都正確，從而得出命題正確。

例、當(dāng)n>1且n∈N時(shí)，求證：

[1n+1+1n+1+1n+3+…+13n>910]

證明： （1）n=2時(shí)，左邊[=13+14+15+16=1920>910]

左邊[>]右邊，所以不等式成立.

（2）假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，即

[1k+1+1k+1+1k+3+…+13k>910]

當(dāng)n=k+1時(shí)，

[1（k+1）+1+1（k+2）+2+…+13k+13k+1+13k+2+13k+3]

[=][（1k+1+1k+2+…+13k）+] [（13k+1+13k+2+13k+3-1k+1）]

[>910+（13k+3+13k+3+13k+3-1k+1）]

[=910]

即n=k+l時(shí)，不等式成立。

根據(jù)（1）與（2）得，對(duì)于n>1且n∈N，所證不等式成立。

形式2：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步不只驗(yàn)證第一個(gè)值，而是要驗(yàn)證從初始值始連續(xù)若干個(gè)值的特殊值時(shí)命題都是正確的，第二步假設(shè)n=k是正確的，推出n=k+l是正確的，那么這個(gè)命題就是正確的。

例、如果[r0]=2，[r1] =3，并且對(duì)所有自然數(shù)k有[rk+1=3rk-2rk-1]

試證：[rn=2n+1]

證明：由題意，需驗(yàn)證n=0，n=1兩值。

（1）當(dāng)n=0時(shí)，[r0]=2，另一方面[r0]=[20]+1=2命題是正確的；還有n=1時(shí)，[r1] =3，另一方面[r1=21+1=3]命題是正確的。

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題是正確的，當(dāng)然n=k-1也 是正確的。

即 [rk-1=2k-1+1]，[rk=2k+1]成立。

則 [rk+1+1=3（2k+1）-2（2k-1+1）=2k+1+1]故在n=k+l時(shí)，命題也成立，于是可以斷定原命題成立。

應(yīng)注意，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法論證某一問(wèn)題時(shí)，它的兩個(gè)步驟是缺一不可的.沒(méi)有第一步的證明就沒(méi)有基礎(chǔ)，而不做第二步的證明，就無(wú)法斷定命題在一般情況下是否成立.如果二者缺一，將可能會(huì)得出十分荒謬的結(jié)論。

參考文獻(xiàn)：

[1]（蘇）L.I格拉維娜 I.M雅格洛姆著 姚時(shí)宗、童增祥《數(shù)學(xué)歸納法在幾何中的應(yīng)用》，莫斯科米爾出版社，1979年

[2]華羅庚的主編《數(shù)學(xué)歸納法》上海教育出版社，1963年

[3]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編《高等代數(shù)》（第二版）

[4]周性偉著《實(shí)變函數(shù)》科學(xué)出版社出版，2000年