函數(shù)的性質(zhì) 導(dǎo)參的法寶

■湖北省巴東縣第三高級(jí)中學(xué) 廖慶偉

函數(shù)問(wèn)題中求參數(shù)的值或參數(shù)范圍在高考試題中經(jīng)常出現(xiàn),也是同學(xué)們學(xué)習(xí)的難點(diǎn),解這類題時(shí)常常用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值、函數(shù)圖像的對(duì)稱性、函數(shù)的零點(diǎn)導(dǎo)出參數(shù)的值或范圍。

一、用導(dǎo)數(shù)的幾何意義“導(dǎo)”參數(shù)

(2 0 1 6年高考新課標(biāo)Ⅱ卷理數(shù))若直線y=k x+b是曲線y=l nx+2的切線,也是曲線y=l n(x+1)的切線,則實(shí)數(shù)b =_____。

設(shè)直線y=k x+b與函數(shù)y=l nx+2的圖像相切于點(diǎn)P1(x1,y1),與函數(shù)y=l n(x+1)的圖像相切于點(diǎn)P2(x2,y2),故

又y1=l nx1+2,y2=l n(x2+1),所以

設(shè)直線y=k x+b與函數(shù)y=l nx+2的圖像相切于點(diǎn)P1(x1,y1),與函數(shù)y=l n(x+1)的圖像相切于點(diǎn)P2(x2,y2)。

故y1=l nx1+2,y2=l n(x2+1)。

因?yàn)辄c(diǎn)P1(x1,y1)在切線y=k x+b上,所以

由P2(x2,y2)在切線上得y-l n(x2+1),這兩條直線表示同一條直線,故：

所以b=l nx1+2-1=1-l n2。

點(diǎn)評(píng)：解法1是分別求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),設(shè)出兩個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)得到兩個(gè)切點(diǎn)之間的關(guān)系,進(jìn)而求出切線斜率,求出b的值。解法2是分別求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),設(shè)出兩個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo),由點(diǎn)P1、P2都在切線上,得出關(guān)于x1、x2的方程組,解出x1,求得k的值,從而求出b的值。

二、用函數(shù)的奇偶性“導(dǎo)”參數(shù)

設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=ex-ae-x的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且f'(x)是奇函數(shù),則a=( )。

A.0 B.1 C.2 D.-1

解法1：因?yàn)閒(x)=ex-ae-x,所以f'(x)=ex+ae-x。由于f'(x)是奇函數(shù),所以ex+ae-x+e-x+aex=0恒成立,即(a+ 1)(ex+e-x)=0恒成立。

解得a=-1,故選D。

解法2：因?yàn)閒(x)=ex-ae-x(x∈R),所以f'(x)=ex+ae-x(x∈R)。

由于f'(x)是奇函數(shù),故f'(0)=0,解得e0+ae-0=0。

解得a=-1,故選D。

點(diǎn)評(píng)：由于f'(x)是奇函數(shù),可利用f'(x)+f'(-x)=0求參數(shù)a的值。若奇函數(shù)f(x)的定義域包含0,則f(0)=0。

三、用函數(shù)的單調(diào)性“導(dǎo)”參數(shù)

(河南鄭州一中2 0 1 6屆高三文科考前沖刺)已知函數(shù)∈R,在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______。

由f'x()＞0解得e2x＞a,即x＞此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增;

由f'x()＜0解得e2x＜a,即x＜此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減。

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1,1[]。

點(diǎn)評(píng)：若函數(shù)在已知區(qū)域單調(diào),求參數(shù)的范圍,常常轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)恒成立問(wèn)題來(lái)求解。求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解,注意要對(duì)a進(jìn)行討論,把a(bǔ)分為a＞0,a=0,a＜0三種情形,當(dāng)a＞0時(shí),注意所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與所給區(qū)間之間的關(guān)系,當(dāng)a＜0時(shí),注意函數(shù)值的符號(hào)。

四、用函數(shù)的極值“導(dǎo)”參數(shù)

(陜西省黃陵中學(xué)2 0 1 6屆高三模擬)若函數(shù)f x()=xl nx-a x2有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )。

C.(1,2) D.(2,e)

解析：由題意得f'x()=l nx+1-2a x =0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故f″x()=必有解,則a＞0,并且0。解得選A。

點(diǎn)評(píng)：已知極值求參數(shù),若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處取得極值,則f'(x0)=0,且在該點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)相反。使f'(x) =0的點(diǎn)未必是極值點(diǎn),但是可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)必為0。

五、用函數(shù)的對(duì)稱性“導(dǎo)”參數(shù)

設(shè)f(x)=2x3+a x2+b x+1的導(dǎo)數(shù)為f'(x),若函數(shù)f'(x)的圖像關(guān)于直線x=稱,且f'(1)=0,求實(shí)數(shù)a、b的值。

解析：依題意得f'(x)=6x2+2a x+b。又函數(shù)f'(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱, 2所以,解得a=-3。

由f'(1)=0,得b=0。

點(diǎn)評(píng)：三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恰為二次函數(shù),利用二次函數(shù)a x2+b x+c=0(a≠0)的對(duì)稱軸為可求解。

練一練：

(2 0 1 6年高考新課標(biāo)Ⅰ卷改編)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____。

參考答案：(0,+∞)。

(責(zé)任編輯 徐利杰)