導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用問題例析

■河北省衡水市鄭口中學(xué) 張志勇

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用十分廣泛,如求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值,求曲線的切線以及解決某些實(shí)際問題等。利用導(dǎo)數(shù)可使復(fù)雜問題變得簡單,導(dǎo)數(shù)為研究函數(shù)的單調(diào)性以及極值問題等提供了解題思路和方法,因而成為新高考的一個熱點(diǎn)。高考對導(dǎo)數(shù)的要求主要表現(xiàn)在三個方面：①考查導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則;②導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用,包括求函數(shù)的極值,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,證明函數(shù)的增減性等;③綜合考查,常以應(yīng)用問題或有關(guān)導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的綜合問題出現(xiàn)。

一、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是函數(shù)值相對于自變量的變化率,體現(xiàn)在幾何意義上就是切線的斜率。利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,研究曲線的切線的斜率是導(dǎo)數(shù)的一個重要內(nèi)容。求切線的方程可通過求導(dǎo)數(shù)先得到斜率,再由切點(diǎn)利用點(diǎn)斜式方程得到,求過點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程時,一要注意P(x0,y0)是否在曲線上,二要注意該點(diǎn)可能是切點(diǎn),也可能不是切點(diǎn),因而所求的切線方程可能不止1條。已知曲線C：y=x3-3x2+2x,直線l：y=k x,并且l與C切于點(diǎn)(x0,y0) (x0≠0),求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)。解析：直線l過原點(diǎn),知點(diǎn)(x0,y0)在曲線C上

則過點(diǎn)P(1,m)的切線斜率為k=f'(1)= -1-4a。

又切線方程為3x-y+b=0,故-1-4a= 3,即a=-1。

二、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)有關(guān)知識研究函數(shù)的單調(diào)性和最值(極值)問題

1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟為：①確定函數(shù)的定義域;②求導(dǎo)函數(shù)f'(x);③解不等式f'(x)＞0,得f(x)的遞增區(qū)間;解不等式f'(x)＜0,得f(x)的遞減區(qū)間,即函數(shù)的增區(qū)間是f'(x)≥0恒成立的區(qū)間,函數(shù)的減區(qū)間是f'(x)≤0恒成立的區(qū)間(導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)為有限個)。

利用求導(dǎo)方法討論函數(shù)的單調(diào)性,要注意以下幾方面：①在某個區(qū)間上f'(x)＞0是f(x)在該區(qū)間上遞增的充分條件而非必要條件(f'(x)＜0亦是如此);②求單調(diào)區(qū)間時,首先要確定函數(shù)的定義域,然后再根據(jù)f'(x)＞0或f'(x)＜0,解出在定義域內(nèi)相應(yīng)的x的取值范圍。設(shè)a∈R,已知函數(shù)(a x2+a+1)(e為自然對數(shù)的底數(shù))。

令g(x)=-a x2+2a x-a-1。

①當(dāng)a=0時,g(x)=-1＜0,f'(x)＜0,f(x)在R上為減函數(shù)。

②當(dāng)a＞0時,方程g(x)=0的判別式Δ=4a2-4(a2+a)=-4a＜0,g(x)＜0,即f'(x)＜0,f(x)在R上為減函數(shù)。

③當(dāng)a＜0時,由-a x2+2a x-a-1＞ 0,得

由-a x2+2a x-a-1＜0,得：

解析：f'(x)=x2-a x+(a-1)。當(dāng)f'(x)=0,解得x1=1或x2=a-1。

當(dāng)a-1≤1,即a≤2時,x∈(1,+∞)時,f'(x)＞0,所以f(x)在(1,+∞)內(nèi)遞增,不符合題意。

當(dāng)a-1＞1,即a＞2時,x∈(1,a-1)時,f'(x)＜0;x∈(a-1,+∞)時,f'(x)＞0。

所以f(x)在(1,a-1)上遞減;在(a-1,+∞)上遞增。

又由已知得x∈(1,4)時,f'(x)＜0, x∈(6,+∞)時f'(x)＞0。

故4≤a-1≤6,即5≤a≤7。

2.求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟為：

①求導(dǎo)函數(shù)f'(x)。

②求方程f'(x)=0的根。

③檢查f'(x)在方程根左、右的符號,如果左正右負(fù),那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個根處取得極小值,如果左右不改變符號即都為正或都為負(fù),那么f(x)在這個根處無極值。

設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)= al nx+b x2+x的兩個極值點(diǎn)。

(1)試確定常數(shù)a和b的值;

(2)試分別判斷x=1,x=2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn),并說明理由。

(1)由極值點(diǎn)的必要條件可知：f'(1)= f'(2)=0,即a0。解方程組可得

變式3：已知函數(shù)f(x)=a x3+b x2+ c x,取得極小值-4,并且使其導(dǎo)數(shù)f'(x)＞0的x的取值范圍為(1,3),求f(x)的解析式。

解析：由題意得f'(x)=3a x2+2b x+ c=3a(x-1)(x-3),a＜0。

故在(-∞,1)上,f'(x)＜0;在(1,3)上, f'(x)＞0;在(3,+∞)上,f'(x)＜0。

因此,f(x)在x0=1處取得極小值-4。

故f(x)=-x3+6x2-9x。

3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值時,首先求f(x)在[a,b]內(nèi)的極值,然后將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較得出函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值。具體可分為以下幾步：①求f'(x)=0的解x0;②用極值的方法確定極值;③將[a,b]內(nèi)的極值與f(a),f(b)比較,其中最大的為最大值,最小的為最小值。

(1)當(dāng)a=2時,求f(x)的極值;

(2)若不等式f(x)+3≥0對所有的實(shí)a數(shù)R恒成立,求a的取值范圍。

由f'(x)=0得x=±1,當(dāng)x變化時f'(x)及f(x)的變化情況如表1：對所有的實(shí)數(shù)R均成立,即

表1

令g'(x)=(x-1)(a x+2)eax=0,則時,g(x)取極大值x=1時,g(x)取極小值0,因而g(x)的最小值為

當(dāng)

解得0＜a≤l n3。

變式4：已知函數(shù)f(x)=x3-a x2+3x。

(1)若f(x)在x∈[1,+∞)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)若x=3是f(x)的極值點(diǎn),求f(x)在x∈[1,a]上的最小值和最大值。

解析：(1)f'(x)=3x2-2a x+3,要使f(x)在x∈[1,+∞)上是增函數(shù),則有3x2-2a x+3≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,即a內(nèi)恒成立。

(2)由題意知f'(x)=3x2-2a x+3=0的一個根為x=3,可得a=5。

所以f'(x)=3x2-1 0x+3=0的根為

又f(1)=-1,f(3)=-9,f(5)=1 5,故f(x)在x∈[1,5]上的最小值是f(3)= -9,最大值是f(5)=1 5。

三、利用導(dǎo)數(shù)證明等式或不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明等式或不等式為高中數(shù)學(xué)引進(jìn)了新的思路和方法,在證明不等式或等式成立時,先要構(gòu)造函數(shù)和確定其定義域,再運(yùn)用求導(dǎo)的方法來證明。已知函數(shù)f(x)=al nx-a x-3,a∈R。

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)y=f(x)的圖像在點(diǎn)(2, f(2))處的切線的傾斜角為4 5°,對于任意的t∈[1,2],若函數(shù)g(x)=x3+x2·在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(3)求證：l n(22+1)+l n(32+1)+ l n(42+1)+…+l n(n2+1)＜1+2 l nn!(n≥2,n∈N*)。

g'(x)=3x2+(m+4)x-2。

g'(0)=-2。

由題意知,對于任意的t∈[1,2],g'(t)

(3)令a=-1,此時f(x)=-l nx+x-3,所以f(1)=-2。

由(1)可知f(x)=-l nx+x-3在(1,+∞)上單調(diào)遞增,故當(dāng)x∈(1,+∞)時f(x)＞f(1),即-l nx+x-1＞0,l nx＜x-1對一切x∈(1,+∞)成立。

若n≥2,n∈N*,則有

因l n(22+1)+l n(32+1)+l n(42+1)+…+l n(n2+1)＜1+2 l nn!(n≥2,n∈N*),可變形為l nN*),所以：

變式5：已知函數(shù)f(x)=ex-l n(x+1) -1(x≥0)。

(1)求函數(shù)f(x)的最小值;

(2)若0≤y＜x,求證：ex-y-1＞l n(x+1)-l n(y+1)。

則函數(shù)f(x)在0,+∞[)上單調(diào)遞增,函數(shù)f(x)的最小值為f(0)=0。

(2)由(1)知,當(dāng)x＞0時,f(x)＞0。

因?yàn)閤＞y,所以f(x-y)=ex-yl n(x-y+1)-1＞0。

由①②可得：

ex-y-1＞l n(x+1)-l n(y+1)。

四、導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的運(yùn)用

導(dǎo)數(shù)在自然科學(xué)、工程技術(shù)等方面都有廣泛的應(yīng)用,解決實(shí)際應(yīng)用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù),把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語言,找出問題的主要關(guān)系,并把問題的主要關(guān)系近似化、形式化,抽象成數(shù)學(xué)問題,再歸為常規(guī)問題,選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解。難點(diǎn)是如何把實(shí)際問題中所涉及的幾個變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系式。煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵而造成環(huán)境污染。已知A、B兩座煙囪相距3k m,其中A煙囪噴出的煙塵量是B煙囪的8倍,經(jīng)環(huán)境檢測表明：落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪距離的平方成反比,而與煙囪噴出的煙塵量成正比(比例系數(shù)為k)。若C是連接兩煙囪的線段A B上的點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),設(shè)A C=xk m,C點(diǎn)的煙塵濃度記為y。

(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式。

(2)是否存在這樣的點(diǎn)C,使該點(diǎn)的煙塵濃度最低?若存在,求出A C的距離;若不存在,請說明理由。

解析：(1)設(shè)B處煙塵量為1,則A處煙塵量為8,故有A煙囪在C處的煙塵濃度為,B煙囪在C處的煙塵濃度為中0＜x＜3。

從而C處總的煙塵濃度為：

故當(dāng)0＜x＜2時,y'＜0;當(dāng)2＜x＜3時y'＞0?？梢姰?dāng)x=2時,y取得極小值,且是最小值。

故在連接兩座煙囪的線段A B上,距煙囪A處2k m處的煙塵濃度最低。

變式6：在甲、乙兩個工廠,甲廠位于一直線河岸的岸邊A處,乙廠與甲廠在河的同側(cè),乙廠位于離河岸4 0k m的B處,乙廠到河岸的垂足D與A相距5 0k m,兩廠要在此岸邊合建一個供水站C,從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元,問供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最省。

設(shè)總的水管費(fèi)用為f(θ),依題意有：

導(dǎo)數(shù)既是新課程的新增內(nèi)容,又是函數(shù)、解析幾何的交匯點(diǎn),是同學(xué)們今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),起著重要的工具作用,豐富了對函數(shù)研究的方法,現(xiàn)在已是新高考重點(diǎn)考查的基礎(chǔ)知識,成為高考數(shù)學(xué)的一大熱點(diǎn),相信在今后的高考中仍然會重點(diǎn)考查,所以同學(xué)們一定要給予高度重視。

(責(zé)任編輯 徐利杰)