【摘 要】本文簡(jiǎn)要闡述邏輯學(xué)中的幾個(gè)重要概念，并運(yùn)用例子來(lái)解析這些概念，為更好地理解和運(yùn)用這些概念提供參考。指出邏輯學(xué)是人們?cè)谏詈凸ぷ髦斜夭豢缮俣曳浅Ｖ匾膶W(xué)科，研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，很多思維活動(dòng)和知識(shí)領(lǐng)域都要應(yīng)用邏輯知識(shí)，邏輯學(xué)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和研究數(shù)學(xué)等活動(dòng)中有著舉足輕重的作用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) 邏輯 聯(lián)結(jié)詞 內(nèi)涵 探討

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）01B-0090-02

思維科學(xué)是一個(gè)學(xué)科群體，思維科學(xué)主要揭示思維的本質(zhì)屬性和各種規(guī)律。邏輯學(xué)屬于思維科學(xué)的范疇，它是人們?cè)谏詈凸ぷ髦斜夭豢缮俣曳浅Ｖ匾膶W(xué)科。生活和工作中的很多事件都能通過(guò)邏輯的推理得以弄清來(lái)龍去脈，而且用邏輯學(xué)的方法能夠解決很多生活和工作中的問(wèn)題。因此，在生活和工作中邏輯學(xué)起到了不可忽視的作用。研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，很多思維活動(dòng)和知識(shí)領(lǐng)域都要應(yīng)用邏輯知識(shí)，邏輯學(xué)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和研究數(shù)學(xué)等活動(dòng)中有著舉足輕重的作用。

一、知識(shí)點(diǎn)分析

（一）命題

命題，判斷一件事情真假的語(yǔ)句叫命題。

一條語(yǔ)句是否為命題，關(guān)鍵在于該語(yǔ)句能不能判斷該事情的真假，若一語(yǔ)句不能判斷真假，那么該語(yǔ)句就不是命題。應(yīng)該注意，命題和開(kāi)語(yǔ)句（無(wú)法確定其是真是假的語(yǔ)句）的區(qū)別。如“y>3”就是開(kāi)語(yǔ)句，因?yàn)闆](méi)有給出 y 的確定的值時(shí)，無(wú)法判斷“y>3”的真假。再如“求證方程 a2+a+1=0 無(wú)實(shí)根”是祈使句，無(wú)法判斷它的真假，所以不是命題；“向英雄學(xué)習(xí)”是感嘆句，而無(wú)需判斷真假，因此它也不是命題。

（二）邏輯聯(lián)結(jié)詞

1.“或”“且”“非”這些聯(lián)結(jié)語(yǔ)句的詞語(yǔ)叫邏輯聯(lián)結(jié)詞。

2.數(shù)學(xué)中“或”這個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞和日常生活用語(yǔ)中的“或”的意義是不同的：日常生活的“或”用語(yǔ)帶有“不可兼有”（即不能同時(shí)具備）的意思，例如吃飯或上街；而數(shù)學(xué)中的這一邏輯聯(lián)結(jié)詞卻含有“同時(shí)兼有”的意思，如 a>5 或 0≤a<10。

3.“或”字與集合的“并”字密切相關(guān)。

（1）在集合的運(yùn)算中，并集是用“或”來(lái)定義的：

M∪N={x|x|，x∈M 或 x∈N}。

（2）它們兩者的外形相似：“p 或 q”的含義存在三種情形：

情形一，只有 p 成立；情形二，只有 q 成立；情形三，p和 q 同時(shí)成立。這三種情形依次對(duì)應(yīng)于集合并集中的情形一（CUN）∩M；情形二（CUM）∩N；情形三 M∩N。

（3）兩者之間的區(qū)別：集合的運(yùn)算中的并集強(qiáng)調(diào)的是一個(gè)“整體”，這個(gè)整體可以看做是由三個(gè)部分組成的；而邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”字則是用來(lái)聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題，把它們組成一個(gè)復(fù)合命題，當(dāng)復(fù)合命題成立時(shí)，也有三種情況。

二、應(yīng)用剖析

（一）怎樣判斷一個(gè)命題是復(fù)合命題

用邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)的命題就是復(fù)合命題，而不用邏輯聯(lián)結(jié)的命題則是簡(jiǎn)單命題。要判斷一個(gè)命題屬于簡(jiǎn)單命題或者屬于復(fù)合命題，不能僅從字面上看它是否含有“或”“且”“非”等這些邏輯聯(lián)結(jié)詞，而應(yīng)該從命題的結(jié)構(gòu)來(lái)看是否可以用邏輯聯(lián)結(jié)詞來(lái)聯(lián)結(jié)這兩個(gè)命題。有些命題表面上沒(méi)有這些詞，但它是復(fù)合命題。如“能被 5 整除的數(shù)個(gè)位不是 0 就是 5”是復(fù)合命題，它的意思和“能被 5 整除的數(shù)個(gè)位是 0 或 5”一樣；而“對(duì)角線垂直且相等的四邊形是正方形”這個(gè)命題，雖然含有“且”，但它卻不是一個(gè)復(fù)合命題，而是一個(gè)有復(fù)合命題條件的簡(jiǎn)單命題。

（二）如何判斷一個(gè)復(fù)合命題的真假

為了方便識(shí)記，上面的真值表可簡(jiǎn)單表述為：“p 或 q”一真必真，“p 且 q”一假必假，“非 p”真假相反。

三、思維遷移

（一）如何準(zhǔn)確寫出一個(gè)命題的否定命題

1.對(duì)“若 A 則 B”型命題的否定

雖然對(duì)一個(gè)命題的否定是對(duì)該命題的結(jié)論進(jìn)行否定，但必須保證與真值表相符合。

例如：寫出下列命題的否定形式。

（1）若張三是 A 學(xué)校的學(xué)生，那么張三就是 A 學(xué)校一年級(jí)（一）班的學(xué)生；

（2）如果 x+y=0，那么 x=0，y=0；

（3）如果 a 是有理數(shù)，那么 a 就是自然數(shù)。

分析解答：

（1）命題“若張三是 A 學(xué)校的學(xué)生，那么張三就是 A 學(xué)校一年級(jí)（一）班的學(xué)生”的否命題是：若張三是 A 學(xué)校的學(xué)生，那么張三就不是 A 學(xué)校一年級(jí)（一）班的學(xué)生；

（2）命題“如果 x+y=0，那么 x=0，y=0”的否命題是：如果 x+y=0，那么 x≠0，y≠0；

（3）命題“如果 a 是有理數(shù)，那么 a 就是自然數(shù)”的否命題是：如果 a 是有理數(shù)，那么 a 不是自然數(shù)。

2.全稱否定與特稱否定

非 p 叫做對(duì)命題的否定，但“非 p”絕不是“是”與“不是”的簡(jiǎn)單表述。一般地，命題是指對(duì)事物的性質(zhì)或事物的存在關(guān)系的判定，可以根據(jù)判斷對(duì)象的數(shù)量是個(gè)體或者是部分抑或是全體，把其分為單稱命題、特稱命題和全稱命題。但必須透徹理解：否定全稱得特稱、否定特稱得全稱、否定肯定是否定、否定否定得肯定。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意命題中是不是省略了表示全稱意義的詞語(yǔ)，如“全部”“一切”“所有”“任何”等詞語(yǔ)。

例：請(qǐng)指出下面的命題是全稱命題還是特稱命題，寫出這些命題的否定形式，并說(shuō)出這些否定形式的真假，不需要證明。

（1）一個(gè)數(shù)的最后一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的數(shù)能被 4 整除；

（2）對(duì)任意實(shí)數(shù) a，都有 a2-2a-3<0；

（3）方程 b2-5b-6=0 有一個(gè)根是奇數(shù)。

分析解答：

（1）這個(gè)命題是全稱命題。它的否定是：存在末尾數(shù)是偶數(shù)的數(shù)，不能被 4 整除；這個(gè)命題的否定是真命題。

（2）這個(gè)命題是全稱命題。它的否定是：存在實(shí)數(shù) a，使得 a2-2a≥0；這個(gè)命題的否定是真命題。

（3）這個(gè)命題是特稱命題。它的否定是：方程 b2-5b-6=0 的兩個(gè)根都不是奇數(shù)；這個(gè)命題的否定是假命題。

3.對(duì)“或”“且”命題的否定

由“或”“且”詞語(yǔ)聯(lián)結(jié)的命題的否定形式：“p 或 q”形式的命題的否定是“非p 且非 q”，“p 且 q”形式的命題的否定形式是“非 p 或 q”。它類似于集合運(yùn)算中的“C∪（A∪B）= （C∪A）∩（C∪B），C∪（A∩B）=（C∪A）∪（C∪B） ”。

4.常用正面敘述詞語(yǔ)及它的否定

（二）如何進(jìn)行復(fù)合命題的真值推理

首先求出復(fù)合命題的真值表，結(jié)合復(fù)合命題的構(gòu)成，仔細(xì)對(duì)照真值表，對(duì)每一個(gè)簡(jiǎn)單命題的真值情況予確定，再依此推理出新的復(fù)合命題的真值。

例：小 D 生病了，小 A、小 B、小 C 三個(gè)同學(xué)中有一個(gè)幫助小 D 完成了工作。當(dāng)小 D 問(wèn)起誰(shuí)做的好事時(shí)，小 A 說(shuō)：“小 B做的。”小 B 說(shuō)：“不是我做的。”小 C 說(shuō)：“也不是我做的?！奔僭O(shè)知道三個(gè)人中有兩個(gè)人說(shuō)的是假話，有一個(gè)人說(shuō)的是真話，能判斷是誰(shuí)做的好事嗎？

解析：結(jié)論有三種可能：（1）如果是小 A 做的，那么三人說(shuō)話中有二真一假，不合題意；（2）如果是小 B 做的，那么三人中有二真一假，不合題意；（3）如果是小 C 做的，那么三人說(shuō)話中二假一真，符合題意，所以得到結(jié)論是小 C 做的。

（三）邏輯聯(lián)結(jié)詞與集合運(yùn)算的對(duì)應(yīng)關(guān)系

設(shè)集合 M 和 N 的特征性質(zhì)分別是 p 和 q，即 M={x|p}，N={x|q}。在全集 U={x|u}的范圍內(nèi)，根據(jù)“且”或“或”“非”邏輯聯(lián)結(jié)詞的意義，可對(duì)集合的交集、并集、補(bǔ)集進(jìn)行更深更廣的認(rèn)識(shí)：

M∩N={x|x∈M 且 x∈N}={x|p∧q}；

M∪N={x|x∈M 或 x∈N}={x|p∨q}；

CUM={x|x∈U 且 xM}={x|┐p}；

CUN={x|x∈U 且 xN}={x|┐q }。

由此可知：

M∩N 的特征性質(zhì)是 p∧q；

M∪N 的特征性質(zhì)是 p∨q；

CUM 的特征性質(zhì)是 ┐p，即 u∧（┐p）；

CUN 的特征性質(zhì)是 ┐q，即 u∨（┐q）。

由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)是從生活中來(lái)的，同時(shí)也為生活服務(wù)。特別是邏輯方面，在生活和工作中常常遇見(jiàn)并被運(yùn)用。透徹理解邏輯學(xué)知識(shí)并靈活應(yīng)用邏輯學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，既可以體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用性，又可以感悟數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。

【作者簡(jiǎn)介】龔光劍（1976— ），男，漢族，廣西百色人，廣西右江民族商業(yè)學(xué)校高級(jí)講師。

（責(zé)編 盧建龍）