☉湖南常德市芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部 陳金紅

用相關(guān)思維破解“多點(diǎn)聯(lián)動(dòng)”型最值題的DNA*

☉湖南常德市芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部 陳金紅

因果思維即邏輯線性思維，干凈利索，但在解題教學(xué)中給學(xué)生一種“高冷美”的錯(cuò)覺，上課時(shí)聽得懂但很難自由活用，實(shí)乃“知其然但不知其所以然”之常態(tài).如何破解？先看一個(gè)“猜字燈謎”：點(diǎn)點(diǎn)成金！用數(shù)學(xué)的視角看，即求在條件“點(diǎn)點(diǎn)”運(yùn)動(dòng)下的“金”的原像，逆思維抽取兩點(diǎn)不難得知“全”字即為所求的字謎！這樣得出顯然不是使用嚴(yán)格的邏輯推斷，而是使用了有關(guān)聯(lián)的但合情合理的聯(lián)想，即裴光亞老師所言的“相關(guān)思維”，相關(guān)思維更“關(guān)乎”解題者內(nèi)心的沖動(dòng)、直覺與直觀，“聯(lián)動(dòng)”更為自然和自由，運(yùn)用其破解中考熱點(diǎn)“多點(diǎn)聯(lián)動(dòng)”型最值題作用明顯，下面給出具體例子.

例1（武漢2013年中考數(shù)學(xué)第16題）如圖1，E、F是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF，連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H，若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是____.

先看幾個(gè)特殊位置.

（1）E點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，顯然此時(shí)F點(diǎn)與D點(diǎn)亦重合（初始狀態(tài)），見圖2，DH=AD=2.

（2）點(diǎn)E與邊AD的中點(diǎn)重合時(shí)，“AE=DF”，故點(diǎn)F與邊AD的中點(diǎn)也重合！見圖3，很難直接看出DH的具體大小數(shù)值！但可以看出H不在邊AD上運(yùn)動(dòng)了！

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

（3）當(dāng)點(diǎn)F與A點(diǎn)重合時(shí)，顯然此時(shí)E點(diǎn)與D點(diǎn)亦重合；此時(shí)點(diǎn)H恰為正方形的中心即對角線的交點(diǎn)！見圖4，簡單計(jì)算即可知

結(jié)合上面3個(gè)特殊位置的定點(diǎn)分析，把這三個(gè)定點(diǎn)位置直覺連起來“頗似”一個(gè)圓上的一段?。ㄈ鐖D5）（特例下的猜想）？！

一般情形相關(guān)思維：

點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E亦同步運(yùn)動(dòng)，因?yàn)锳E=DF），此時(shí)定線段BD與動(dòng)線段CF的交點(diǎn)G也會(huì)隨之運(yùn)動(dòng)，即線段AG也是動(dòng)線段，它與動(dòng)線段BE的交點(diǎn)H必是動(dòng)點(diǎn)，從而線段DH必是動(dòng)線段，于是它必有一個(gè)大小范圍，即可知必取得一個(gè)最小值！但從中發(fā)現(xiàn)先有G動(dòng)，再有H動(dòng)，從而DH變化！

分析點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑（軌跡）：始終在線段DB上運(yùn)動(dòng)，起點(diǎn)在D位置，終點(diǎn)在對角線的交點(diǎn)P位置！

分析點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)路徑（軌跡）：結(jié)合上面（1）（2）（3）直覺得出是一個(gè)圓上的一段弧，從（1）（3）兩個(gè)特例位置發(fā)現(xiàn)H是一個(gè)直角頂點(diǎn)，于是猜想H在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，見圖6，即證明∠1+∠4=90°.

顯然，由AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，AE=DF，可知△ABE≌△DCF（SAS），于是有∠1=∠2.由AD=DC，∠ADG=∠CDG=45°DG=DG，可知△ADG≌△CDG（SAS），于是有∠3=∠2.則∠1=∠3.又∠3+∠4=∠BAD= 90°，于是得∠1+∠4=90°，則∠AHB=90°.于是確認(rèn)猜想：H的運(yùn)動(dòng)路徑（軌跡）是以AB為直徑的圓（圓O）的的一段弧（弧AP），見圖7.

圖6

圖7

圖8

最后用基本經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停阂妶D8，由圓外一點(diǎn)（如點(diǎn)D）向已知圓（如圓O）引割線，過圓心和圓第一次的交點(diǎn)線段是最短的（如線段DH），過圓心和圓第二次的交點(diǎn)的線段是最長的（如線段DQ）！

借用胡適之說“大膽假設(shè)，小心論證”，數(shù)學(xué)中的假設(shè)來自于大量特例引起的沖動(dòng)認(rèn)知，提出假設(shè)即猜想，在放眼一般給出特例導(dǎo)向下的本質(zhì)規(guī)律的探求即推證猜想，把自己的科學(xué)小心變?yōu)楸徽f服者的科學(xué)放心！于是有：特例處猜想，一般推本質(zhì)，相關(guān)思維即可破解此類幾何最值問題的DNA即“動(dòng)點(diǎn)軌跡”！

例2如圖9，邊長為3的菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分別是線段AB、BC上的兩點(diǎn)，且BM=CN，AN與CM的交點(diǎn)是E，連接BE，Q是BE的中點(diǎn)，求AQ的取值范圍.

圖9

圖10

（一）準(zhǔn)備工作.

讀題發(fā)現(xiàn)：已知菱形是兩個(gè)正三角形拼合形成的.結(jié)合基本經(jīng)驗(yàn)聯(lián)想到：

（1）正三角形的特殊性質(zhì)，如高、中線、角平分線均相交于一點(diǎn)，交點(diǎn)到對邊的距離即內(nèi)切圓的半徑（r），交點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離即外接圓的半徑（R），且R=2r等若干結(jié)論的相關(guān)聯(lián)想.

（2）熟悉的常規(guī)習(xí)題，見圖10，已知正△ABC中，BM= CN，連接AN、CM相交于點(diǎn)E，有很多有價(jià)值的數(shù)學(xué)結(jié)論，如全等、相等的角、相等的線段、比例線段、“弦切角等于夾弧所對的圓周角”、與圓有關(guān)的切線和圓的模型與結(jié)論.

（二）探究工作：相關(guān)思維.

先看幾個(gè)特殊位置.

M點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，N點(diǎn)與C點(diǎn)亦重合（初始狀態(tài)），見圖11，此時(shí)AN、CM的交點(diǎn)E落在了點(diǎn)C位置，于是BE的中點(diǎn)即BC邊的中點(diǎn)Q，于是AQ等于正△ABC的高，即AB·

圖11

圖12

M點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，N點(diǎn)與B點(diǎn)亦重合（終結(jié)狀態(tài)），見圖12，此時(shí)AN、CM的交點(diǎn)E落在了點(diǎn)A位置，于是BE的中點(diǎn)即BA邊的中點(diǎn)Q，于是AQ等于正△ABC的邊長的一半，即

把上面的分析與原題圖合成，見圖13，“直覺”得出（垂足）中點(diǎn)Q1、Q2和普通中點(diǎn)Q在以正△ABC兩高交點(diǎn)O為圓心、半徑為OQ1（或OQ2，等于正△ABC高的的圓的一段弧Q1QQ2上！理論根據(jù)是什么？關(guān)鍵是要證明出點(diǎn)Q滿足條件OQ=OQ1（或OQ2），因?yàn)椤叭绻粋€(gè)點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑，那么這個(gè)點(diǎn)就在這個(gè)已知圓上”！在此基礎(chǔ)上“絞盡腦汁”仍無濟(jì)于事、無力回天！但這么多的“中點(diǎn)”相關(guān)聯(lián)想三角形的“中位線”是否是一線生機(jī)、一點(diǎn)火花、一粒種子?。?/p>

圖13

回到“原點(diǎn)”相關(guān)思維：點(diǎn)Q來源于線段BE的中點(diǎn)，而點(diǎn)E來源于動(dòng)線段AN、CM的交點(diǎn)，線段AN和線段CM源于點(diǎn)M和點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)，注意到點(diǎn)A、B、C是定點(diǎn)，只有點(diǎn)M、N、E、Q是動(dòng)點(diǎn)！把點(diǎn)E的模型（或點(diǎn)E的“DNA”）弄明白了的話必可“直覺”得出點(diǎn)Q的模型（或點(diǎn)Q的“DNA”）本質(zhì)！于是作相關(guān)討論.

分析點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑（軌跡）：始終在線段AB上運(yùn)動(dòng)；分析點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑（軌跡）：與點(diǎn)M同步，始終在線段CB上運(yùn)動(dòng).

分析點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑（軌跡）：結(jié)合上面圖11、圖12點(diǎn)E的特殊位置：點(diǎn)E與點(diǎn)C重合、點(diǎn)E與點(diǎn)A重合；還有一個(gè)特殊位置見圖14，點(diǎn)E與“正△ABC兩高的交點(diǎn)O”重合時(shí)，“直覺”得出點(diǎn)E在一個(gè)圓的一段弧上運(yùn)動(dòng)！

圖14

為什么點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是：在一個(gè)圓的一段弧上運(yùn)動(dòng)呢？始終有結(jié)論△ACN≌△CBM（SAS），始終有∠BCM=∠CAN，相關(guān)聯(lián)想到“弦切角等于夾弧所對的圓周角”即直線（BC）與圓（圓O′）相切的數(shù)學(xué)模型！△ACE的外接圓的圓心必在線段AC的垂直平分線上，即在已知菱形的對角線BD上，不難和正△ABC類比得出此圓心在正△ADC兩高交點(diǎn)O′處，BC是圓O′的切線（其中C為切點(diǎn)），同理可證BA是圓O′的切線（其中A為切點(diǎn)），見圖14，于是半徑O′C=O′A=正△ADC高的點(diǎn)E在以點(diǎn)O′為圓心為半徑的圓上的一段弧上.

最后分析點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑（軌跡）：

不難知相關(guān)思維起到了回到“原點(diǎn)”、“飲水思源”的戰(zhàn)略高度的作用！

圖15

圖16

最后用基本經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停阂妶D16，從圓外一點(diǎn)（如點(diǎn)A）向已知圓（如圓O）引切割線，過圓心和圓第一次的交點(diǎn)（不是題目中點(diǎn)Q的位置故舍之）的線段是最短的，過圓心和圓第二次的交點(diǎn)的線段是最長的（如線段AQ=AH，即△ABC的高

根據(jù)Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，可知最短的線段AQ應(yīng)該是切線長AI（邊長的一半.即

（三）具體解答線索.

先得出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是圓弧，從而找到圓心O′.

再構(gòu)造圖16中△BEO′的中位線模型，再次確認(rèn)線段BE的中點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑也是圓弧.

最后運(yùn)用基本經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀坝蓤A外一點(diǎn)向已知圓引切割線，過圓心和圓第一次的交點(diǎn)的線段是最短的，過圓心和圓第二次的交點(diǎn)的線段是最長的”，得出線段AQ的取值范圍！

類似中考試題：

（1）見圖17，正△ABC的邊長為6，點(diǎn)E從B向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從C向終點(diǎn)A作等速運(yùn)動(dòng)，到各自終點(diǎn)后停止，運(yùn)動(dòng)過程中線段AE、BF交于點(diǎn)P，H是線段BC的中點(diǎn)，則線段PH的最小值為（）.

圖17

圖18

（2）見圖18，正△ABC的邊長為3，M是高CH上一動(dòng)點(diǎn)，連接BM，將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BN，再連接HN，則點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中線段HN長度的最小值為（）.

（四）反思工作.

捋一捋相關(guān)思維用于解題教學(xué)的一般程序：先對“要求的動(dòng)點(diǎn)”特殊位置作確定性分析與一般猜想，引起多個(gè)直覺、構(gòu)造模型；再對直覺和模型“追問道理”，“聯(lián)動(dòng)”點(diǎn)的“子父輩”關(guān)系即先“爺”后“父”最后“兒女”輩的遞進(jìn)其實(shí)是運(yùn)動(dòng)路徑的過程分析，而這個(gè)路徑其實(shí)就是“動(dòng)點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)“軌跡”即動(dòng)點(diǎn)的“DNA”本質(zhì)分析.

同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)“基本經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀焙汀笆煜さ某Ｒ娏?xí)題”是我們思維“跳躍”的最佳“支點(diǎn)”，為我們縮短“思維長度”作出了“不可磨滅”的貢獻(xiàn)和作用.

代數(shù)法用數(shù)量彰顯自己的長處，向目標(biāo)夯實(shí)放心前行，幾何方法用直觀軌跡彰顯自己的優(yōu)點(diǎn)，揭示問題的本質(zhì).無論代數(shù)還是幾何方法，都是數(shù)學(xué)思維方法，但更多的是用的邏輯思維，而邏輯思維是線性思維，更易掉“鏈子”、做題時(shí)易“短路”，結(jié)合上面“多點(diǎn)聯(lián)動(dòng)”型問題分析發(fā)現(xiàn)：相關(guān)思維除了具有“片段、區(qū)間”的因果邏輯，還有整體思考上的“人文性”，我調(diào)侃因果思維是相關(guān)思維的“極限”，“相關(guān)思維”有時(shí)顯得更有用、有效、好使！經(jīng)驗(yàn)表明它是破解“多點(diǎn)聯(lián)動(dòng)”型最值題的DNA的良策，盡管可能是個(gè)性化的！因此我有個(gè)小小的呼吁：讓幾何基本“軌跡”重新回到初中數(shù)學(xué)教材的“懷抱”中來！為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效落地賦予更好的“素材”！

1.裴光亞.大數(shù)據(jù)：教學(xué)研究的曙光［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2016（12）.

2.陳金紅.數(shù)學(xué)教學(xué)我特有的五句話［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2016（12）.

3.陳金紅，郭作華.自然生成道理追問——從一道填空難題談起［J］.河北理科教學(xué)研究，2016（1）.

4.陳金紅等.“同一法”如何處理更有效——談學(xué)科核心素養(yǎng)的基本觀點(diǎn)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（5）.

*本文系全國教育科學(xué)"十二五"規(guī)劃2013年度教育部規(guī)劃課題“生命課堂視野下的教學(xué)案例研究”（課題編號(hào)：FHB130512）的成果之一.