☉江蘇宜興市楝樹中學 楊燕

強調(diào)圖形方法作用，促進知識高效接受

☉江蘇宜興市楝樹中學 楊燕

在數(shù)學知識學習與具體問題分析的過程中，經(jīng)常會運用到不同種類的思想方法.具體至初中階段的數(shù)學教學，最值得師生加以關(guān)注的典型思想方法之一就是數(shù)形結(jié)合思想.無論哪個部分的知識學習，都少不了圖形的加入.有的時候，圖形的出現(xiàn)是為了讓知識的理解更加順暢；有的時候，圖形則可以為數(shù)學問題的分析啟發(fā)思路，讓學生的思維清晰起來.可以說，想要實現(xiàn)優(yōu)質(zhì)高效的數(shù)學學習，不僅要時常依靠圖形，更需要主動聯(lián)系圖形，深入挖掘圖形的方法引導作用.

一、在數(shù)式中運用圖形，尋找巧妙分析方法

初中是數(shù)學學習的基礎(chǔ)階段，其中包含了許多數(shù)與式的較為零散的內(nèi)容.很多學生表示，很難以系統(tǒng)化的方式掌握這些知識，當遇到靈活變化的問題時，更是無法總結(jié)出規(guī)律性的方法.因此，數(shù)、式的相關(guān)內(nèi)容雖然所占據(jù)的比重不算太大，卻為學生制造了不小的學習困難.這時，圖形方法的適時介入便開始顯得愈發(fā)重要了.例如，在數(shù)軸內(nèi)容的學習過程中，學生曾經(jīng)遇到過這樣一個問題：實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖1所示，那么的化簡結(jié)果是什么？這個問題的解答方向很明確，就是要通過數(shù)軸圖形來分析出a和b的大小關(guān)系，進而對上述代數(shù)式進行化簡.通過圖形分析，學生不僅要看出a＜0、b＞0這些顯而易見的信息，還需要看到a＜b的大小關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，才能準確地將根號和絕對值符號去掉，得到正確答案.這個問題也給了學生很多啟發(fā)，很多學生表示，對于類似的問題，不僅可以從正向分析圖形，尋找數(shù)量關(guān)系，還可以反過來，以圖形的方式呈現(xiàn)已知條件中的內(nèi)容，尋找巧妙分析的方法.在圖形的引導之下，以數(shù)和式為背景的填空、選擇等小題，解答起來就方便、簡潔了許多，相應(yīng)的學習效率自然也顯著提升了.

雖然每個數(shù)式問題都具有不同的解答方法，但是，圖形方法的適用卻是同一的.當學生遇到了難以入手分析，或是計算起來比較復(fù)雜的問題時，不如從抽象的理論轉(zhuǎn)向生動的圖形，以這種明確的方式來表現(xiàn)已知條件中的各種關(guān)聯(lián).通過圖形的巧妙運用，學生經(jīng)常可以從中收獲許多解答問題的捷徑，為高效學習提供很大幫助.

圖1

二、在方程中運用圖形，直觀分析特點內(nèi)涵

談到方程，學生的眼前大多會出現(xiàn)一串串數(shù)字、字母與符號的組合，很少有人會將之與具體的圖形聯(lián)系起來.然而，若能夠?qū)D形恰當?shù)剡\用于方程問題的解答之中，將會顯著提升分析與解題的效率，正確率也會增加許多.

例如，在對二元一次方程組的內(nèi)容進行學習時，學生曾經(jīng)遇到了這樣一道選擇題：用圖像法解某一元二次方程組時，在同一直角坐標系中作出相應(yīng)的兩個一次函數(shù)的圖像（如圖2所示），則所解的二元一次方程組是（）.

圖2

這個問題的解答難度并不算大，其中的思維關(guān)鍵便在于由圖像得出待求方程組的解為想通了這一點，只需要逐個選項代入計算驗證找到正確答案.這個問題的出現(xiàn)，向?qū)W生明確了一個很重要的分析方法：巧妙理解圖像交點的含義.找到了這個分析入口，便可以為類似問題的解答提供啟發(fā).可以說，這個問題不僅完成了方程知識的訓練任務(wù)，還從一定程度上對學生開展了一次解題技巧的教學.

隨著圖形方法在方程問題之中的不斷運用，學生對于數(shù)形結(jié)合的感悟已經(jīng)逐漸超越了解題本身.在圖形的輔助之下，學生開始逐步走向?qū)τ谥R內(nèi)容的關(guān)注，圖形更像是一個引導思維具化、深入的有力工具.在提高解題效率的同時，深化學生對于理論知識的理解，可謂圖形方法適用的雙重價值了.

三、在函數(shù)中運用圖形，細致探究規(guī)律特征

函數(shù)是初中數(shù)學中的一個重要知識組成部分，無論是基礎(chǔ)教學階段，還是習題訓練階段，函數(shù)都占據(jù)了數(shù)學視野的半壁江山.因此，對于函數(shù)問題的巧妙解答也就很自然地成為了教師需要關(guān)注的一個重點.在函數(shù)中運用圖形，可以從兩個角度加以把握，一是以圖形為依據(jù)，由此分析相應(yīng)的函數(shù)問題；二是在看到問題之后，通過繪制相應(yīng)圖形來尋找解答問題的入手點.

例如，為了幫助學生熟練掌握二次函數(shù)的細節(jié)特征，我請學生完成這樣一個問題的解答：圖3為二次函數(shù)y= ax2+bx+c的圖像，有下列說法：（1）ac＜0；（2）方程y=ax2+bx+c的根是x1=-1，x2=3；（3）a+b+c＞0；（4）當x＞1時，y隨x的增大而增大.正確的說法是哪些？這道題目看似基礎(chǔ)，卻很細致地考查學生對于二次函數(shù)特征的掌握，且這些特征的得出都需要對圖像進行有效分析.根據(jù)之前的課堂教授，學生結(jié)合所學知識，從題目所提供的圖像中抓住了該二次函數(shù)的開口方向、與x軸和y軸的交點數(shù)量及位置、函數(shù)圖像對稱軸所在位置等信息，得出了系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系，進而很順利地確定了說法（1）、（2）、（4）是正確的.這樣的訓練，讓學生能夠從圖形中將其中所蘊含的有價值條件全部挖掘出來，為解題過程更好地服務(wù).

函數(shù)與圖形之間本來就存在著極為密切的聯(lián)系.雖然在初中階段，學生先后接觸了許多不同種類的函數(shù)，但是，無論函數(shù)的具體形式如何，有一個特點卻是相同的，那就是每個函數(shù)都有專屬的圖像與之對應(yīng).從函數(shù)圖像當中，不僅能夠看到函數(shù)的具體形態(tài)，還可以分析出數(shù)量變化趨勢、系數(shù)對稱特征等諸多細節(jié)，對于函數(shù)內(nèi)容的把握助益頗多.作為與函數(shù)密不可分的內(nèi)容，圖形自然也應(yīng)當在問題解答的過程中時常出現(xiàn)，讓蘊含其中的規(guī)律特征明確展現(xiàn)出來.

圖3

四、在統(tǒng)計中運用圖形，有效呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系

如果從圖形對于題目解答作用的顯著程度來講，統(tǒng)計問題一定是排在前列的.從表面看來，概率統(tǒng)計部分的知識內(nèi)容并不是難度最大的，但是，想要做到完全掌握，遇到這類問題不丟分，并不是容易的事情.很多統(tǒng)計問題的出現(xiàn)，本就是伴隨著圖形一起的.這便足以見得圖形對于這類問題分析解答的重要性.

例如，在統(tǒng)計內(nèi)容的教學過程中，我為學生設(shè)計了這樣一道習題來深化知識理解：某報社為了解讀者對于本社一種報紙四個版面的喜好情況，對讀者開展了一次問卷調(diào)查，請讀者們在調(diào)查中選出自己最喜歡的一個版面，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了一幅條形統(tǒng)計圖（如圖4①）.（1）你從條形統(tǒng)計圖中能夠得到哪些信息？（2）請根據(jù)條形統(tǒng)計圖將扇形統(tǒng)計圖（如圖4②）補全，并分別闡述二者各自具備的特點.（3）請依據(jù)兩幅統(tǒng)計圖中的信息，為報社提出一個完善建議.這個問題比較全面地考查學生的綜合分析能力.它不僅要求學生能夠從圖形當中發(fā)現(xiàn)有效的信息，還要對這些基礎(chǔ)信息進行加工、分析與計算，得到精準的當前狀態(tài).圖形對于統(tǒng)計活動開展的作用表露無遺.

圖4

對統(tǒng)計問題稍加觀察總結(jié)便不難發(fā)現(xiàn)，無論是統(tǒng)計問題的提出，還是統(tǒng)計問題的分析，都離不開圖形的幫助.在很多情況下，統(tǒng)計問題解答所需要的許多重要元素，都是隱藏在與之相對應(yīng)的圖形當中的.因此，在對統(tǒng)計內(nèi)容進行教學時，筆者總是會將讀圖能力的提升作為一個關(guān)鍵的培養(yǎng)目標.加強了圖形運用能力，無需教師過多解釋，學生便能夠從中得到很多解題所需的重要信息，促進知識接受的自主高效.

從上面的論述不難發(fā)現(xiàn)，在初中數(shù)學的知識學習當中，圖形方法的適用范圍是極為廣泛的.的確，數(shù)學知識內(nèi)容的產(chǎn)生本就與圖形之間存在著緊密的聯(lián)系.縱觀各個領(lǐng)域的數(shù)學理論，幾乎都可以通過圖形的方式對之加以闡釋.對具體圖形進行觀察分析，也常?？梢詮闹械玫綌?shù)學方面的啟發(fā).二者相互促進，才構(gòu)成了數(shù)學的高樓大廈，并推動其不斷變換與深化.圖形方法的運用，就像是為學生提供了一把金鑰匙，可以讓學生巧妙、準確地應(yīng)對各種復(fù)雜疑難的問題，讓大家的數(shù)學學習過程順利、高效.