陳志軍

圖形變換讓四邊形更精彩

陳志軍

初中階段圖形變換一般有平移、翻折、旋轉(zhuǎn)三種形式，中考對(duì)特殊四邊形的考查常借助于圖形變換將一些條件隱藏其中.因此，同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)要將圖形變換與特殊四邊形的性質(zhì)判定理解掌握，方能有效地解決此類問題.

一、旋轉(zhuǎn)變換中的四邊形

例1（2016·婁底）如圖1，將等腰△ABC繞頂點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度到△A1BC1的位置，AB與A1C1相交于點(diǎn)D，AC與A1C1、BC1分別交于點(diǎn)E、F.

（1）求證：△BCF≌△BA1D.

（2）當(dāng)∠C=α度時(shí)，判定四邊形A1BCE的形狀并說明理由.

（2）四邊形A1BCE是菱形.

理由：∵∠C=∠A=α，

∴∠ABC=180°-2α，

∵∠A1BC=180°-2α+α=180°-α，

∴∠A1+∠A1BC=180°，∠C+∠A1BC=180°，

∴A1E∥BC，A1B∥CE，

∴四邊形A1BCE是平行四邊形，

∵A1B=BC，

∴?A1BCE是菱形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)即旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，還考查了平行四邊形和菱形的判定定理.

小試身手1.如圖2，已知△ABC中，AB= AC，把△ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE，連接BD，CE交于點(diǎn)F.

（1）求證：△AEC≌△ADB；

（2）若AB=2，∠BAC=45°，當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí)，求BF的長(zhǎng).

圖1

【解析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB=BC，∠A=∠C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到A1B=AB= BC，∠A1=∠A=∠C，∠A1BD=∠CBC1，根據(jù)全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D；

（2）由∠C=∠A=α，得到∠ABC=180°-2α，由旋轉(zhuǎn)角α度得到∠A1BC=180°-2α+α=180°-α，證得四邊形A1BCE是平行四邊形，由于A1B= BC，即可得到四邊形A1BCE是菱形.

【解答】（1）略；

圖2

二、翻折變換中的四邊形

例2（2016·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)）如圖3，在?ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，將?ABCD沿過點(diǎn)A的直線l折疊，使點(diǎn)D落到AB邊上的點(diǎn)D′處，折痕交CD邊于點(diǎn)E.

（1）求證：四邊形BCED′是菱形；

（2）若點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)計(jì)算PD′+PB的最小值.

圖3

【解析】（1）利用翻折變換的性質(zhì)得出∠D=∠AD′E，AD=AD′=1,根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出∠D=∠B，得出∠AD′E=∠B，從而得出D′E∥BC；又根據(jù)D′B∥EC得到四邊形BCED′是平行四邊形.根據(jù)折疊和平行四邊形的性質(zhì)得到BC= BD′=1，然后根據(jù)菱形的判定定理得到結(jié)論.

（2）如圖4，由四邊形DAD′E是平行四邊形，得到?DAD′E是菱形，推出D與D′關(guān)于AE對(duì)稱，連接BD交AE于P，則BD的長(zhǎng)即為PD′+ PB的最小值，過D作DG⊥BA于G，解直角三角形得到AG=，DG=，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：

△AD′E≌△ADE，

∴∠D=∠AD′E，AD=AD′=1.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠D=∠B，AB∥CD，AD=BC=1，

∴∠AD′E=∠B，∴D′E∥BC，

∴四邊形BCED′是平行四邊形.

∵AB=2，AD=1，

∴D′B=BC=1，

∴?BCED′是菱形.

（2）∵四邊形DAD′E是菱形，∴D與D′關(guān)于AE對(duì)稱.

連接BD交AE于P，則BD的長(zhǎng)即為PD′+ PB的最小值.

過D作DG⊥BA于G，∵CD∥AB，

∴∠DAG=∠CDA=60°，∵AD=1，

圖4

【點(diǎn)評(píng)】（1）考查了翻折變換的兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱、成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等的性質(zhì)，還考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、菱形的判定.（2）考查了菱形的軸對(duì)稱性質(zhì)和最短距離問題，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

小試身手2.如圖5，將矩形紙片ABCD（AD＞AB）折疊，使點(diǎn)C剛好落在線段AD上，且折痕分別與邊BC，AD相交，設(shè)折疊后點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G，H，折痕分別與邊BC，AD相交于點(diǎn)E，F(xiàn).

圖5

（1）判斷四邊形CEGF的形狀，并證明你的結(jié)論；

（2）若AB=3，BC=9，求線段CE的取值范圍.

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）

掃二維碼關(guān)注“初中生世界”公眾號(hào)，回復(fù)“2017年4月數(shù)學(xué)”獲取答案。