顧嘯敏

巧用矩形對(duì)角線

顧嘯敏

平行四邊形是近幾年各地中考考查的重點(diǎn)知識(shí)，而矩形又是特殊的平行四邊形，對(duì)角線相等是矩形的重要性質(zhì)之一，如果能巧妙地利用這個(gè)性質(zhì)，可以使某些問(wèn)題得到簡(jiǎn)單而快捷的解決.

一、計(jì)算求值

例1如圖1，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若E、F是AC上兩動(dòng)點(diǎn)，E、F分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)以1cm/s的相同速度向C、A運(yùn)動(dòng).

（1）四邊形DEBF是平行四邊形嗎？并說(shuō)明理由.

（2）若BD=10cm，AC=16cm，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少時(shí)，四邊形DEBF為矩形.

圖1

【分析】（1）判定平行四邊形的方法有很多種，可通過(guò)證明△ADE≌△CBF、△ABE≌△CDF，利用兩組對(duì)邊分別相等或者一組對(duì)邊平行且相等來(lái)證明，這里利用對(duì)角線互相平分來(lái)判定平行四邊形最為簡(jiǎn)捷.

（2）?DEBF在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中要成為矩形，只需滿足對(duì)角線相等即可.這里還要注意E、F兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位置可能在點(diǎn)O的上方，也有可能在點(diǎn)O的下方，不能遺漏.

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC，OB=OD.

∵E、F是兩動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的速度相同，

∴AE=CF，

∴OA-AE=OC-FC，

即：OE=OF，

∴四邊形DEBF是平行四邊形.

（2）當(dāng)DB=EF時(shí)，四邊形DEBF為矩形.

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)O的下方時(shí)，

10=16-2t，t=3；

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)O的上方時(shí)，

10=2t-16，t=13.

∴當(dāng)t=3s或13s時(shí)，四邊形DEBF為矩形.

二、證明相等

例2如圖2，在正方形ABCD中，E是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，EF⊥CD于點(diǎn)F，EG⊥AD于點(diǎn)G.求證：BE=FG.

圖2

【分析】通過(guò)觀察，線段BE與FG所在的三角形不可能全等，它們也不在同一個(gè)四邊形中，不能利用特殊四邊形的性質(zhì)，所以直接證明它們相等非常困難.但如果構(gòu)造矩形的對(duì)角線，利用對(duì)角線相等的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，問(wèn)題就可以迎刃而解了.

三、推導(dǎo)定理

例3已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，求證：OB=AC.

【分析】證明線段的倍分關(guān)系通常轉(zhuǎn)化為證明兩條線段的相等，加倍延長(zhǎng)BO到D，可以證明四邊形ABCD是矩形，從而利用矩形的性質(zhì)得到結(jié)論.

圖3

證明：如圖3，延長(zhǎng)BO到D，使OD=OB，連接AD、CD.

∵OA=OC，OB=OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

又∵∠ABC=90°，

∴?ABCD是矩形，∴BD=AC，2OB=AC，

例3的結(jié)論用文字語(yǔ)言描述為：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，這個(gè)定理在幾何計(jì)算和證明中的應(yīng)用非常廣泛.

四、探求最值

例4如圖4，線段AB的長(zhǎng)為2，C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形，求線段DE長(zhǎng)度的最小值.

圖4

【分析】當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D、E隨之運(yùn)動(dòng)，線段DE長(zhǎng)度也隨之變化，但等腰直角三角形的形狀沒(méi)有改變，∠A、∠B的度數(shù)一直是45°，假設(shè)延長(zhǎng)AD、BE交于點(diǎn)G，則△ABG也是等腰直角三角形，四邊形DCEG是矩形，根據(jù)矩形對(duì)角線相等的性質(zhì)，線段DE轉(zhuǎn)化為GC，從而利用“垂線段最短”的性質(zhì)巧妙地解決問(wèn)題.

圖5

解：如圖5，延長(zhǎng)AD、BE交于點(diǎn)G，連接CG，則△ABG為等腰直角三角形，四邊形DCEG為矩形，∴DE=GC.

∴線段DE長(zhǎng)度的最小值為1.

此解法通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，巧妙地構(gòu)造矩形，利用矩形對(duì)角線相等的性質(zhì)將DE轉(zhuǎn)化為GC，利用“垂線段最短”直接求解，避免了復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算，較為簡(jiǎn)捷.

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