亓萬鋒, 王金玲

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 遼寧 大連 116029)

偏移量構(gòu)造細(xì)分格式的最高求和規(guī)則

亓萬鋒, 王金玲

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 遼寧 大連 116029)

細(xì)分格式是一種重要的曲線曲面造型方法，因優(yōu)點(diǎn)眾多而得到廣泛應(yīng)用. 細(xì)分格式的一種重要性質(zhì)是求和規(guī)則，它與細(xì)分的收斂性、光滑性、多項(xiàng)式生成性和細(xì)分的逼近階等眾多性質(zhì)緊密相關(guān). 添加偏移量是構(gòu)造細(xì)分格式的一種重要方法，但以往的研究并沒有探討添加偏移量構(gòu)造細(xì)分能夠達(dá)到的最高階求和規(guī)則.針對對稱的細(xì)分生成函數(shù)，當(dāng)限定添加的偏移量的支集包含原生成函數(shù)支集時，添加偏移量方式構(gòu)造的細(xì)分格式可達(dá)到最高階求和規(guī)則.當(dāng)采用二階差商的線性組合作偏移量構(gòu)造細(xì)分格式時，若原生成函數(shù)滿足二階求和規(guī)則，則添加二階差商的線性組合也可達(dá)到最高階求和規(guī)則.

細(xì)分格式；求和規(guī)則；偏移量；二階差商

細(xì)分方法是將給定的控制多邊形或網(wǎng)格，利用迭代格式加細(xì)，生成光滑曲線或曲面的造型方法. 迭代格式簡單，并適用于各種拓?fù)漕愋偷木W(wǎng)格，因而在CAGD等眾多領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛.

細(xì)分方法可以追溯到Chaikin的多邊形“砍角”算法[1]，生成的極限曲線是二次B樣條曲線.此后眾多學(xué)者提出了各種曲線曲面細(xì)分格式. 近年來，采用局部操作，建立構(gòu)造細(xì)分格式的統(tǒng)一框架成為一個熱點(diǎn)[2-10].從細(xì)分生成函數(shù)的角度來看，典型的局部操作可分為乘以一個Laurent多項(xiàng)式和加上一個Laurent多項(xiàng)兩種形式. 乘以Laurent多項(xiàng)式對應(yīng)了局部的平均操作[6-7]，加上一個Laurent多項(xiàng)式對應(yīng)了在頂點(diǎn)處加上某些偏移量[8-10].添加偏移量多用來從逼近型細(xì)分構(gòu)造插值型細(xì)分[8-10].檀結(jié)慶等人[11]利用添加偏移量的方式，從Hassan[12]三重插值型細(xì)分構(gòu)造逼近型細(xì)分.這些結(jié)果豐富了細(xì)分的理論，提供了許多新的認(rèn)識.

筆者系統(tǒng)研究采用偏移量構(gòu)造細(xì)分格式能夠達(dá)到的最高階求和規(guī)則. 首先，指出m重細(xì)分采用偏移量方法能達(dá)到的最高階求和規(guī)則.對二重逼近型細(xì)分，具有最高階求和規(guī)則的是B樣條細(xì)分，插值型細(xì)分中具有最高階求和規(guī)則的是Dubuc-Deslauriers插值型細(xì)分. 其次，分析了對任意m重細(xì)分，在一定條件下，采用頂點(diǎn)的二階差商作偏移量，也能夠達(dá)到最高階求和規(guī)則.

1 預(yù)備知識

其中，序列a={ai}i∈∈l0(),稱為該細(xì)分格式的掩模，l0()代表上的所有有限支撐的序列，正整數(shù)m稱為重數(shù). 對應(yīng)于上述迭代格式的細(xì)分格式記為S，并將Laurent多項(xiàng)式({0} )稱為對應(yīng)細(xì)分格式S或細(xì)分掩模的生成函數(shù).

給定m重細(xì)分掩模a={ai}i∈∈l0()，記suppa={i∈,ai≠0}.若ai=a-i，則稱細(xì)分掩?；蛏珊瘮?shù)是對稱的. 易知生成函數(shù)是對稱的當(dāng)且僅當(dāng)).若對稱的細(xì)分掩模滿足

則對應(yīng)的細(xì)分稱為插值型細(xì)分，否則稱為逼近型細(xì)分.

(1)

Jia[13]指出，給定有限支撐的細(xì)分掩模{ai}i∈，則對任意多項(xiàng)式q(x)，下兩式等價:

眾多學(xué)者研究從逼近型細(xì)分構(gòu)造插值型細(xì)分的問題，其中一大類方法是借助于頂點(diǎn)處的偏移量.偏移量是若干同層相鄰頂點(diǎn)的線性組合，且線性組合的系數(shù)和為0. 將偏移量加在同層頂點(diǎn)的仿射組合后，可以起局部調(diào)整的作用. 這種局部調(diào)整作用在從逼近型細(xì)分到插值型細(xì)分的轉(zhuǎn)變過程中起關(guān)鍵作用. 檀結(jié)慶等人[11]發(fā)現(xiàn)，許多已有的逼近細(xì)分也可看作是插值型細(xì)分加上偏移量構(gòu)造出的. 例如三次B樣條細(xì)分格式

可看作是插值型格式

借助于此思想，檀結(jié)慶等人[11]將Hassan[12]的三重插值型細(xì)分格式

(2)

通過加入偏移量，得到了新的逼近型格式

(3)

2 主要結(jié)果

討論添加偏移量構(gòu)造的細(xì)分格式能否達(dá)到的最高階求和規(guī)則.

證畢.

上面是在討論能否構(gòu)造出具有最高階求和規(guī)則的細(xì)分. 實(shí)際上，也可從具有最高階求和規(guī)則的細(xì)分出發(fā)，通過降低求和規(guī)則階數(shù)，將因式1+z+…+zm-1進(jìn)行某種對稱形式的擾動，令其滿足如插值等其他性質(zhì)，從而獲得新的細(xì)分生成函數(shù).

Maximal sum rule orders of subdivision schemes based on offset vectors

QIWanfeng,WANGJinling

(School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian 116029, China)

Subdivision method is an important curve and surface modeling tool, and is widely used in many fields as it has numerous advantages. Sum rule is an important property of subdivision schemes. This property is closely related to the convergence property, smoothness order, polynomial generation property, and approximation order of a subdivision scheme. Adding offset vectors is an essential tool to construct new subdivision schemes. However, little attention has been paid to the maximal order of sum rules of subdivision schemes that are constructed via adding offset vectors.For symmetric generating functions, if the support of the added offset vectors includes that of the initial generating function, then the subdivisions scheme with maximal order of sum rule order can be obtained.The maximum sum rule orders of subdivision schemes which are constructed from given subdivisions plus some offset vectors are investigated. If the initial subdivision scheme satisfies sum rules of order two, then the initial subdivision scheme plus linear combinations of the second order difference quotients can also achieve the maximal sum rule orders.

subdivision scheme;sum rule order;offset vector;second order difference quotients

2016-09-10 基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61502217)；遼寧省教育廳科學(xué)研究一般項(xiàng)目(L2014428) 作者簡介：亓萬鋒(1984-)，男，山東臨沂人，遼寧師范大學(xué)講師，博士.

1000-1735(2017)01-0014-06

10.11679/lsxblk2017010014

TP391

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