賈兆麗 楊舒荃 華鐸

摘 要 受保險(xiǎn)精算中定價(jià)最小死亡保證金的啟發(fā)，當(dāng)死亡發(fā)生時(shí)，會(huì)收到一定數(shù)額的財(cái)富作為補(bǔ)償，而這筆財(cái)富當(dāng)作是一種支付，它不僅依賴于原生資產(chǎn)的當(dāng)前價(jià)格，還依賴于之前的價(jià)格信息.可以把這個(gè)支付函數(shù)看做是一種特殊期權(quán)的收益函數(shù).又由于隨機(jī)變量Tx（表示年齡為x的顧客從購(gòu)買合約到死亡的時(shí)間段）的分布可以被近似地看做是幾個(gè)指數(shù)分布的線性組合.假設(shè)股票價(jià)格變化服從雙指數(shù)跳擴(kuò)散過(guò)程.利用Lévy過(guò)程的指數(shù)停時(shí)的有關(guān)結(jié)果，給出敲定時(shí)間為隨機(jī)變量的情況下累計(jì)期權(quán)的價(jià)格公式的顯式解.這些定價(jià)方法可以用于與死亡相關(guān)的未定權(quán)益的定價(jià)，如各種養(yǎng)老金保險(xiǎn)等.

關(guān)鍵詞 金融數(shù)學(xué);奇異期權(quán)定價(jià);數(shù)學(xué)分析;跳擴(kuò)散過(guò)程;顯式解

中圖分類號(hào) 60J30文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Abstract At the time of death，a benefit payment is due，and the benefit payment is regarded as a payment function，which depends not only on the price of a stock at that time，but also on prior prices.The payment turns out to be the payoff of an option，because the distribution of the time of death Tx（that is the time-until-death random variable for a life age x from buying the contracts） can be approximated by a linear combination of exponential distributions.For simplicity，the analysis is made for the case where the time until death is exponentially distributed，which is independent with the stock price process.In this paper，stock price was assumed to follow a double exponential jump diffusion process.The results for exponential stopping of a Lévy process were used to derive a closed-form formula for a Knock Out Discount Accumulator，under the strike time is the random variable.The pricing method of this paper can be used for value equity-linked death benefits such as various annuities and so on.

Key words Financial mathematics;price of exotic options;process of jump diffusion model;Mathematical analysis;closed-form solution

1 引 言

在各種養(yǎng)老金保險(xiǎn)及股指年金合約中，定價(jià)最小死亡保證金[1，2]支付（Guaranteed Minimum Death Benefits，簡(jiǎn)稱GMDB）是保險(xiǎn)精算的重要內(nèi)容之一.受這種定價(jià)思想的啟發(fā)，定價(jià)與“死亡”相依的未定權(quán)益的收益.當(dāng)死亡發(fā)生時(shí)，會(huì)收到相應(yīng)的財(cái)富作為支付函數(shù)，而這種支付不僅依賴于當(dāng)前的原生資產(chǎn)的價(jià)格，還依賴于之前標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格.可以把這個(gè)支付看作是一種特殊的期權(quán)收益.

在金融學(xué)中，將跳擴(kuò)散過(guò)程用于描述原生資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程，這方面的文獻(xiàn)很多.Merton（1973）[3]首次在Black-Scholes[4]模型中引入復(fù)合Poisson跳，將跳擴(kuò)散模型應(yīng)用于股票價(jià)格模型中，并假設(shè)股票的跳躍幅度仍為正態(tài)分布，給出了標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)價(jià)格的顯示解.這是一個(gè)很重要的進(jìn)步，它克服了幾何布朗運(yùn)動(dòng)不能解釋諸如厚尾分布等不足.

文章是按如下內(nèi)容組織的：在第2部分預(yù)備知識(shí)中給出了一些有關(guān)隨機(jī)變量的分布.在第3部分中分別研究了與死亡相依的回望期權(quán)、障礙期權(quán)和累計(jì)期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題.這部分的創(chuàng)新之處在于敲定時(shí)間不是常量，而是隨機(jī)變量（指的是年齡為x的顧客從購(gòu)買合約到死亡的時(shí)間段），處理方法在于用指數(shù)分布的組合去逼近該隨機(jī)變量.第4部分總結(jié)了主要結(jié)果，方法及貢獻(xiàn).

2 預(yù)備知識(shí)

3 主要結(jié)果及其證明

3.1 回望期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題

3.2 障礙期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題

3.3 累計(jì)期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題

累計(jì)期權(quán)簡(jiǎn)寫為KODA，累計(jì)期權(quán)包含兩個(gè)障礙一個(gè)向上敲出型障礙和一個(gè)向下確定執(zhí)行價(jià)格的障礙上障礙由合約簽訂時(shí)依據(jù)當(dāng)時(shí)股票價(jià)格加成一定百分比確定，在整個(gè)合約存續(xù)期間保持不變;下障礙由合約簽訂時(shí)依據(jù)當(dāng)時(shí)股票價(jià)格一定的折扣率確定（即執(zhí)行價(jià)格），在整個(gè)合約存續(xù)期間保持不變.它給投資者這樣的權(quán)利：在一年中的每個(gè)交易日里，只要標(biāo)的股票的當(dāng)日收市價(jià)高于下障礙，投資者可以按照事先約定好的折扣率購(gòu)買一定數(shù)量（例如100股）的股票，這時(shí)投資者是盈利的;如果標(biāo)的股票的當(dāng)日收市價(jià)低于這個(gè)下障礙，投資者必須仍然按照約定的執(zhí)行價(jià)格（高于結(jié)算日的即時(shí)價(jià)格）購(gòu)買雙倍數(shù)量的股票（200股），這時(shí)投資者是虧損的;合約存續(xù)期間一旦標(biāo)的股票價(jià)格超過(guò)上障礙，則合約自動(dòng)終止.由合約的條款可以看出，投資這種衍生產(chǎn)品，收益是有限的（因?yàn)榇嬖谇贸鰞r(jià)格），風(fēng)險(xiǎn)卻是無(wú)限的.