劉 洋, 李 東

(1.合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 安徽 合肥 230601; 2.佳木斯大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 黑龍江 佳木斯 154007)

帶有p-Laplacian算子的分數(shù)階四點邊值問題正解的存在性

劉 洋1, 李 東2

(1.合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 安徽 合肥 230601; 2.佳木斯大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 黑龍江 佳木斯 154007)

利用不動點定理,研究了帶有p-Laplacian算子的分數(shù)階微分方程四點邊值問題正解的存在性,得到該邊值問題至少存在一個正解的充分條件.

不動點定理; 正解;p-Laplacian算子

0 引言

近年來, 分數(shù)階微分方程和帶p-Laplacian算子的微分方程受到了眾多數(shù)學(xué)學(xué)者的廣泛關(guān)注, 并取得了許多有意義的研究成果[1-5]. Han等利用不動點定理[1], 得到了如下帶有p-Laplacian算子的分數(shù)階微分方程邊值問題正解的存在性

(1)

(2)

1 預(yù)備知識和引理

引理1 假設(shè)y∈C[a,b], 則分數(shù)階邊值問題

(3)

證明 易知問題(3)的唯一解等價于

由式(3)的邊值條件知,

故

引理2 假設(shè)w∈C[a,b], 則分數(shù)階邊值問題

(4)

(5)

證明 易知問題(4)等價于

引理3G(t,s)有如下的性質(zhì):

(i) 當(t,s)∈[a,b]×[a,b]時, 0≤G(t,s)≤G(b,s);

當t≥s時,

當t≥s時,

引理4H(t,s)有如下的性質(zhì):

當t≥s時,

故 0=H1(a,s)≤H1(t,s)≤H1(s,s), 因此, 當(t,s)∈[a,b]×[a,b]時,

即(i) 成立.

則

g(s)H1(s,s).

2 主要結(jié)果

定義算子T:E→E, 對任意的u∈E, 有

為了方便,引入以下記號:

定理1 若存在兩個正數(shù)λ1,λ2使得λ1<λ2, 且

(B1)當(t,u)∈[a,b]×[0,λ1]時,f(t,u)≥φp(λ1N4α-1);

(B2)當(t,u)∈[a,b]×[0,λ2]時,f(t,u)≤φp(λ2M),

則分數(shù)階四點邊值問題(1)和(2)至少存在一個正解u, 并且滿足λ1≤‖u‖≤λ2.

證明 首先我們證明算子T:K→K是全連續(xù)的, 事實上由G,H,f的連續(xù)性可知T:K→K是連續(xù)的.對于(t,s)∈I×(a,b),u∈K,由引理3,我們有

這意味著T(K)?K. 故應(yīng)用Arzela-Ascoli定理易證算子T:K→K是全連續(xù)的.

下面我們令Ω1={u∈K:‖u‖≤λ1},那么對于u∈?Ω1,由引理3,引理4及(B1)知

故當u∈?Ω1時, ‖Tu‖≥‖u‖.

令Ω2={u∈K:‖u‖≤λ2},那么對于u∈?Ω2,由引理3,引理4及(B2)知

于是,當u∈?Ω2時,‖Tu‖≤‖u‖.

綜上,由不動點定理[1]知,分數(shù)階四點邊值問題(1)和(2)至少存在一個正解u, 并且滿足λ1≤‖u‖≤λ2.

[1] Han Z,Lu H,Zhang C. Positive solutions for eigenvalue problems of fractional differential equation with generalized p-Laplacian[J]. Appl Math Comput,2015,257(1):526-536.

[2] Wu Y,Li X,Jiang W. Some results for two kinds of fractional equations with boundary value problems[J]. J Math, 2016,36(5):889-897.

[3] 王和香,胡衛(wèi)敏. 一類具p-Laplacian算子的含積分邊界條件的分數(shù)階微分方程邊值問題解的存在性[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識,2016,46(16):228-236.

[4] 王勇.非線性分數(shù)階微分方程積分邊值問題的正解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2016,29(1):1-6.

[5] 袁幼成,周輝,周宗福. 一類分數(shù)階微分方程多點共振邊值問題解的存在性[J].合肥師范學(xué)院學(xué)報,2016,34(3):5-9.

[責任編輯：李春紅]

Existence of Positive Solutions for a Fractional Four-point Boundary Value Problem withp-Laplacian Operator

LIU Yang1， LI Dong2

(1.School of Mathematics and Statistics, Hefei Normal University, Hefei Anhui 230061, China) (2.Department of Mathematics, College of Science Jiamusi University, Jiamusi Heilongjiang 154007, China)

In this paper, by using the the fixed point theorem, we obtain the existence of the positive solutions for a fractional four-point boundary value problem withp-Laplacian operator.

fixed point theorem; positive solution;p-Laplacian operator

2016-12-03

安徽省自然科學(xué)基金重點資助項目(KJ2014A200); 黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究資助項目(12543079)

劉洋(1983-), 女, 吉林長春人, 講師, 碩士, 研究方向為非線性泛函分析. E-mail: yangl@hfnu.edu.cn

O175.8

A

1671-6876(2017)01-0001-05