顧 穎, 陳 新

(1.宿遷學(xué)院 文理學(xué)院, 江蘇 宿遷 223800; 2.南京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京 210046)

求解模糊線性系統(tǒng)的Jacobi迭代法

顧 穎1, 陳 新2

(1.宿遷學(xué)院 文理學(xué)院, 江蘇 宿遷 223800; 2.南京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京 210046)

給出了求解模糊線性系統(tǒng)的基于矩陣方程模型的Jacobi迭代法,并用實(shí)例說明方法的有效性.

模糊線性系統(tǒng); 迭代解法; Jacobi方法

0 引言

模糊線性系統(tǒng)在工程分析,自動控制,經(jīng)濟(jì)金融等領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用,因此研究它的求解變得十分的必要和迫切.Friedman首先提出了一個(gè)求解n×n階模糊線性系統(tǒng)的一般模型[1],該模型的系數(shù)矩陣由精確數(shù)構(gòu)成,但右端是由模糊數(shù)構(gòu)成的向量,后人以此模型為基礎(chǔ),相繼提出了求解模糊線性系統(tǒng)的一類迭代法,諸如Jacobi迭代法,Gauss-Seidel迭代法,SOR迭代法[2]等方法,在這些方法中始終無法避免模糊數(shù)的出現(xiàn).Feng在Friedman的模型的基礎(chǔ)上作進(jìn)一步提煉,將問題轉(zhuǎn)化為求解矩陣方程[3],在新的模型中,完全避開了模糊數(shù),這就給模糊線性系統(tǒng)的求解開辟了新的思路.本文中,我們將把求解矩陣方程的Jaboci迭代法用到新模型上,得到求解模糊線性系統(tǒng)的基于矩陣方程模型的Jacobi迭代法,并用實(shí)例說明算法的有效性.

1 預(yù)備知識

考慮n×n階模糊線性系統(tǒng)

(1)

則稱模糊數(shù)向量x=(x1,x2,…,xn)T為模糊線性系統(tǒng)的一個(gè)解.

依據(jù)Friedman的理論,由定義1,模糊線性系統(tǒng)(1)可轉(zhuǎn)化為為2n×2n階線性方程組:

Sx=y

(2)

或

攀枝花鈦精礦經(jīng)過改性- 酸浸后，所得產(chǎn)品人造金紅石中CaO含量、SiO2含量去除率低下的原因主要受鈦精礦物相組成決定。攀枝花鈦精礦主要由易溶的鈦鐵礦和難溶的硅酸鹽兩種物相組成，其中大部分為鈦鐵礦相。雜質(zhì)元素Mg既分布在鈦鐵礦中，也分布在硅酸鹽相中，而Ca和SiO2主要分布在硅酸鹽相中。鈦精礦中SiO2越多，硅酸鹽相存在越多，CaO則越難被浸出[8]。攀枝花鈦精礦中SiO2含量達(dá)到了4%左右，在制取人造金紅石過程中，只能除去部分CaO，采用磁選的方式也只能部分去除SiO2和CaO。圖1為攀枝花鈦精礦物相組成。

則Sx=y可表示為矩陣方程

SX=Y

(3)

其中S為2n×2n階系數(shù)矩陣,X為2n×2階未知矩陣,Y為2n×2階已知矩陣.在第2部分,將以Feng的矩陣方程模型(3)為基礎(chǔ),構(gòu)建本文中的主要方法.

2 主要結(jié)果

對于形如AX=B的一般矩陣方程,藺小林等人給出了求解它的Jacobi迭代法[4].上一部分中所得的矩陣方程模型SX=Y為它的一種特例,因此,可將此迭代法應(yīng)用于矩陣方程(3),得到求解模糊線性系統(tǒng)(1)的基于矩陣方程模型的Jacobi迭代法.現(xiàn)將該方法總結(jié)如下:

對SX=Y的系數(shù)矩陣S作如下分裂S=-L+D-U其中

其中D為非奇異對角陣,L和U分別為主對角線元素為0的下三角陣和上三角陣.

根據(jù)藺小林等人提出的解一般矩陣方程AX=B的Jacobi迭代法[4]的原理,先將矩陣方程(3)改寫為如下等價(jià)形式:

任取2n×2階初始迭代矩陣X(0)代入上述等價(jià)形式,可得迭代格式

(4)

該式若寫成矩陣形式,則由式(4)得

DX(k+1)=(L+U)X(k)+Y,

故

X(k+1)=D-1(L+U)X(k)+D-1Y

(5)

式(4)或(5)即為求解模糊線性系統(tǒng)(1)的基于矩陣方程模型的Jacobi迭代法的迭代格式.通過迭代,求出矩陣方程SX=Y的2n×2階解矩陣X,再利用模糊數(shù)的特點(diǎn),表示出模糊線性系統(tǒng)(1)的解.

3 數(shù)值例子

例1 考慮3×3階模糊線性系統(tǒng)

則

取初始迭代矩陣X(0)為6×2階零矩陣代入Jacobi迭代格式(4),經(jīng)3步迭代,得矩陣方程(3)的近似解

再結(jié)合模糊數(shù)的特點(diǎn),從而得到模糊線性系統(tǒng)的近似解為

事實(shí)上,此解為該模糊線性系統(tǒng)的精確解.在整個(gè)計(jì)算過程中沒有涉及到參數(shù)r,而朱莉用SSOR-CG方法解本例的計(jì)算結(jié)果是當(dāng)參數(shù)r取[0,1]中的11個(gè)點(diǎn)處的離散值[5].對比之下,可見本文提供的方法有其優(yōu)越性.

[1] Friedman M, Ma M. Fuzzy linear systems[J]. Fuzzy Sets Syst,1998(96):201-209.

[2] Allahviranloo T. Numerical methods for fuzzy systems of linear equations[J]. Applied Mathematics and Computation, 2004,155(1):493-502.

[3] Feng Y. An iterative method for fuzzy linear systems[J].Fifth Interational conference on Fuzzy Systems and Knowledge Discovery, 2008,1(1):565-569.

[4] 藺小林,霍佩佩.線性矩陣方程的迭代求解方法[J].陜西科技大學(xué)學(xué)報(bào),2015, 33(1): 175-178.

[5] 朱莉.解模糊線性方程組的SSOR-CG方法[J].科技信息,2009, 28(1): 103-104.

[責(zé)任編輯：李春紅]

Jacobi Iterative Method for Solving Fuzzy Linear Systems

GU Ying1, CHEN Xin2

(1.School of Arts and Science, Suqian College, Suqian Jiangsu 223800, China (2.School of Mathematical Science, Nanjing Normal University, Nanjing Jiangsu 210046, China)

The Jacobi iterative method based on matrix equation model for solving fuzzy linear systems is presented, and the effectiveness of the method is illustrated by an example.

fuzzy linear systems; iterative method; Jacobi method

2017-01-05

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271196); 江蘇省教育廳自然科學(xué)研究資助項(xiàng)目(07KJD110094)

顧穎(1986-),女,江蘇宿遷人,講師,碩士,研究方向?yàn)閿?shù)值代數(shù). E-mail: guying-1986@126.com

O241

A

1671-6876(2017)01-0010-04