陳垂福 楊曉翔

福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院,福州,350000

一種考慮密度補(bǔ)償?shù)淖冞^(guò)濾半徑敏度過(guò)濾方法

陳垂福 楊曉翔

福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院,福州,350000

固定過(guò)濾半徑的敏度過(guò)濾方法可以有效解決棋盤格現(xiàn)象和網(wǎng)格依賴性，但處理后拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果普遍存在邊界擴(kuò)散現(xiàn)象，圖形邊緣存在大量的灰度單元。提出了一種考慮密度補(bǔ)償?shù)淖冞^(guò)濾半徑敏度過(guò)濾方法，即正向補(bǔ)償相對(duì)密度為0.5～1的單元，反向補(bǔ)償相對(duì)密度為0～0.5的單元，同時(shí)在拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算的后期逐步縮小過(guò)濾半徑至1。結(jié)合固體各向同性懲罰微結(jié)構(gòu)模型，利用經(jīng)典結(jié)構(gòu)柔度最小化算例驗(yàn)證可行性。研究結(jié)果表明，考慮密度補(bǔ)償?shù)淖冞^(guò)濾半徑敏度過(guò)濾方法能夠消除棋盤格現(xiàn)象，體現(xiàn)了網(wǎng)格無(wú)關(guān)性，拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果具有清晰的邊界，且優(yōu)化效率和優(yōu)化效果明顯提升。

拓?fù)鋬?yōu)化；灰度單元；棋盤格現(xiàn)象；網(wǎng)格依賴性

0 引言

連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中存在棋盤格現(xiàn)象和網(wǎng)格依賴性等數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題，棋盤格現(xiàn)象和網(wǎng)格依賴性二者一般同時(shí)發(fā)生，能夠消除棋盤格現(xiàn)象的方法一般情況下能夠在一定程度上消除網(wǎng)格依賴性[1]。離散化采用高階等參元和非協(xié)調(diào)元可以有效抑制棋盤格現(xiàn)象，周長(zhǎng)約束法和局部梯度約束法可以抑制網(wǎng)格依賴性，但在優(yōu)化問(wèn)題中加入了額外的約束，造成問(wèn)題求解困難[2]。SIGMUND等[3]提出的敏度過(guò)濾方法，按照鄰域內(nèi)單元與中心單元的距離進(jìn)行加權(quán)平均以修改中心單元的目標(biāo)函數(shù)敏度值，有效解決了棋盤格現(xiàn)象和網(wǎng)格依賴性問(wèn)題，敏度過(guò)濾方法不附加額外的約束條件，在程序方面易于實(shí)現(xiàn)，該方法對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果進(jìn)行處理后，拓?fù)鋱D形邊界存在大量的灰度單元。針對(duì)敏度過(guò)濾方法的缺陷，許多學(xué)者做了進(jìn)一步的研究，在敏度過(guò)濾方法的基礎(chǔ)上提出改進(jìn)方案，如龍凱等[4]提出考慮密度梯度的敏度過(guò)濾方法，增加密度梯度加權(quán)函數(shù)項(xiàng)，使密度梯度大于設(shè)定閥值時(shí)權(quán)函數(shù)取值較小，修正敏度過(guò)濾方法中的距離權(quán)函數(shù)，獲得了清晰的邊界；朱劍峰等[5]通過(guò)設(shè)置中心單元過(guò)濾權(quán)重對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果進(jìn)行控制，避免了拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果被過(guò)度磨平。除此之外，張志飛等[6]采用雙重固體各向同性懲罰微結(jié)構(gòu)模型(solid isotropic microstructure with penalization，SIMP)方法，龍凱等[7]采用Heaviside函數(shù)改進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則法，均獲得了清晰的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果。

本文針對(duì)SIGMUND等[3]的敏度過(guò)濾方法存在的邊界擴(kuò)散問(wèn)題，在敏度過(guò)濾方法的基礎(chǔ)上提出變過(guò)濾半徑敏度過(guò)濾方法，該方法控制過(guò)濾半徑在一定的迭代步數(shù)后迅速減小，使得邊界的灰度單元逐漸減少，同時(shí)加入密度補(bǔ)償公式，解決該方法局部位置出現(xiàn)少量孔洞的問(wèn)題。考慮密度補(bǔ)償?shù)淖冞^(guò)濾半徑敏度過(guò)濾方法不僅能有效消除棋盤格現(xiàn)象和網(wǎng)格依賴性，且有效抑制了邊界擴(kuò)散現(xiàn)象，同時(shí)大幅度提高了優(yōu)化速度，取得了更好的優(yōu)化結(jié)果。通過(guò)經(jīng)典的二維結(jié)構(gòu)柔度最小化算例驗(yàn)證了本文方法的可行性。

1 變密度法拓?fù)鋬?yōu)化建模

1.1 剛度-密度插值模型

固體各向同性懲罰微結(jié)構(gòu)(SIMP)模型是目前工程上應(yīng)用最廣泛的材料插值模型，假設(shè)材料各向同性，泊松比υ為常量，SIMP模型假設(shè)材料彈性模量和密度滿足以下關(guān)系：

(1)

式中，Ei(ρi)為單元i插值后的彈性模量；Emin為空洞材料的彈性模量，一般設(shè)為E0/1000；E0為材料原始的彈性模量；ρi為單元i的相對(duì)密度，0≤ρi≤1；p為SIMP模型引入的懲罰因子。

采用SIMP模型獲得新單元的彈性模量，將結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣和整體剛度矩陣敏度信息表述為

(2)

(3)

式中，K為插值后結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣；ki為單元i插值后的單元?jiǎng)偠染仃?；k0為單元相對(duì)密度為1時(shí)所對(duì)應(yīng)的單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

1.2 經(jīng)典算例結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型及求解算法

基于SIMP模型建立柔度最小化問(wèn)題的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型：

(4)

式中,C為整個(gè)結(jié)構(gòu)的柔度值；U為結(jié)構(gòu)位移列向量；N為單元數(shù)目；ui為單元i的位移列向量；V為優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的體積；f為優(yōu)化體積比分?jǐn)?shù)；V0為優(yōu)化前結(jié)構(gòu)的體積；F為結(jié)構(gòu)載荷列向量。

通常采用移動(dòng)漸近線法(method of moving asymptotes,MMA)(或稱移動(dòng)近似算法)和優(yōu)化準(zhǔn)則法(optimality criteria,OC)求解變密度法拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，MMA算法適用于單約束問(wèn)題和復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)多約束問(wèn)題；OC算法收斂速度快，計(jì)算規(guī)模與求解變量的數(shù)目無(wú)關(guān)，計(jì)算過(guò)程中不需要使用導(dǎo)數(shù)信息，適用于單目標(biāo)函數(shù)、單約束條件下優(yōu)化問(wèn)題的求解[8]。對(duì)于一定體積比約束下的柔度最小化問(wèn)題，宜采用OC算法。

2 敏度過(guò)濾方法

2.1 Sigmund敏度過(guò)濾方法

Sigmund敏度過(guò)濾方法[9](以下簡(jiǎn)稱Sigmund方法)采用數(shù)字圖像過(guò)濾技術(shù)平滑優(yōu)化結(jié)果，Sigmund方法的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(5)

其中Hi為卷積因子；rmin為最小過(guò)濾半徑，dist(k,i)為單元k中心到單元i中心的距離。單元相對(duì)密度的取值為0到1，取ρmin=0.001，以免造成計(jì)算上的奇異性。

中心單元和過(guò)濾半徑rmin確定的過(guò)濾區(qū)域內(nèi)，卷積因子Hi的數(shù)值為非0，過(guò)濾區(qū)域外卷積因子的數(shù)值為0，在過(guò)濾區(qū)域內(nèi)的單元才會(huì)對(duì)中心單元的目標(biāo)函數(shù)敏度值產(chǎn)生影響。當(dāng)過(guò)濾半徑過(guò)小時(shí)，過(guò)濾區(qū)域內(nèi)單元數(shù)目較少，中心單元的權(quán)重過(guò)大，消除棋盤格和網(wǎng)格依賴性效果不明顯；過(guò)濾半徑過(guò)大時(shí)，對(duì)中心單元產(chǎn)生影響的單元過(guò)多，各單元的卷積因子數(shù)值接近，導(dǎo)致拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果模糊，拓?fù)鋱D形被過(guò)度磨平。

為量化拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果單元相對(duì)密度的離散度，引入離散度指標(biāo)評(píng)價(jià)結(jié)果的清晰程度[10]，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(6)

根據(jù)離散度的描述公式，當(dāng)所有單元相對(duì)密度都為0或1時(shí)，離散度指標(biāo)Sd數(shù)值為0；當(dāng)所有單元的相對(duì)密度都為0.5時(shí)，離散度指標(biāo)Sd數(shù)值為100%。

2.2 變過(guò)濾半徑敏度過(guò)濾方法

Sigmund方法存在邊界擴(kuò)散現(xiàn)象的原因是，消除棋盤格現(xiàn)象和網(wǎng)格依賴性時(shí)，利用中心單元鄰域內(nèi)的單元根據(jù)距離的不同采用不同的權(quán)系數(shù)進(jìn)行加權(quán)平均，當(dāng)棋盤格現(xiàn)象和網(wǎng)格依賴性基本消除即拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的主體框架形成時(shí)，過(guò)濾半徑仍然保持不變，導(dǎo)致中心單元繼續(xù)受鄰域內(nèi)的單元影響，對(duì)于邊界上的單元，鄰域內(nèi)的單元多數(shù)為相對(duì)密度為0的單元，因此在邊界上產(chǎn)生了大量的灰度單元，形成了邊界擴(kuò)散現(xiàn)象。

變過(guò)濾半徑敏度過(guò)濾方法的思路是：在拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算的初期，保持大過(guò)濾半徑，保證完全消除棋盤格現(xiàn)象和網(wǎng)格依賴性，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的主體框架形成后控制過(guò)濾半徑逐步減小，逐步消除邊界上的灰度單元，最終使得過(guò)濾半徑為1，單元相對(duì)密度不再受周圍單元影響。

根據(jù)上述思路，假設(shè)過(guò)濾半徑rnew和迭代步數(shù)相關(guān)，建立如下函數(shù)關(guān)系：

(7)

過(guò)濾半徑rnew和迭代步數(shù)l的關(guān)系如圖1所示。

(a)衰減系數(shù)a=10

(b)衰減系數(shù)a=20

(c)衰減系數(shù)a=30

(d)衰減系數(shù)a=40圖1 過(guò)濾半徑rnew變化曲線Fig.1 Curve of filter radius rnew

拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，一般情況下大約在迭代步數(shù)l=12時(shí)形成了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的主體框架，之后需要在一定的迭代步數(shù)內(nèi)保持大的過(guò)濾半徑使得主體框架穩(wěn)定，防止主體結(jié)構(gòu)在計(jì)算后期發(fā)生變化。衰減系數(shù)a過(guò)小，容易在局部位置出現(xiàn)棋盤格現(xiàn)象或者細(xì)小分枝結(jié)構(gòu);衰減系數(shù)a過(guò)大會(huì)增加迭代步數(shù)，取衰減系數(shù)a=20可在大部分的算例中得到滿意的結(jié)果。

2.3 一種密度補(bǔ)償方法

變過(guò)濾半徑敏度過(guò)濾方法計(jì)算局部細(xì)節(jié)處存在較多灰度單元的算例時(shí)會(huì)出現(xiàn)少量的小孔結(jié)構(gòu)，如圖2a所示，Sigmund方法計(jì)算產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)存在A、B和C三處灰度單元較多的位置，在變過(guò)濾半徑敏度過(guò)濾方法的計(jì)算結(jié)果(圖2b)中，相應(yīng)地在圖2a所示的三個(gè)位置處出現(xiàn)少量孔洞。

(a)Sigmund方法灰度結(jié)構(gòu)位置示意圖

(b)變過(guò)濾半徑敏度過(guò)濾方法拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果圖2 變過(guò)濾半徑敏度過(guò)濾方法缺陷說(shuō)明圖Fig.2 Disadvantage schematic of variable filter radius sensitivity filter method

微小孔洞是由于SIMP模型對(duì)單元相對(duì)密度的懲罰特性造成的，SIMP模型表示的剛度-密度關(guān)系如圖3所示。

圖3 不同懲罰因子下SIMP模型曲線Fig.3 Curve of SIMP model using different penalty factors

由圖3 可以看出，懲罰因子p的取值越大，相對(duì)密度ρ趨于兩極化的效果越明顯，無(wú)論懲罰因子p取多大值都會(huì)使得單元相對(duì)密度ρ<1的大部分中間密度單元趨于0，可以明顯地看出相對(duì)密度在0.8以下的單元會(huì)迅速地趨于0。相對(duì)密度在0.5～0.8之間的單元迅速趨于0是不合理的[11]，該密度區(qū)間的單元過(guò)快地趨于0，導(dǎo)致圖2所示灰度單元較多的位置由于過(guò)濾半徑減小至1，中心單元不再受周圍單元影響而出現(xiàn)孔洞結(jié)構(gòu)。必須使得相對(duì)密度大于0.5的單元經(jīng)過(guò)多次迭代逐步趨于兩極化，才能保證最優(yōu)拓?fù)涞乃阉鳎乐刮⑿】锥闯霈F(xiàn)。

為了補(bǔ)償單元相對(duì)密度處于0.5～0.8之間的單元，保證該密度區(qū)間的單元能夠經(jīng)過(guò)多次迭代逐步趨于兩極化，并加快單元相對(duì)密度小于0.5的單元趨于0，進(jìn)一步提高優(yōu)化速度，提出一種單元相對(duì)密度的補(bǔ)償方法，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(8)

表1 不同密度補(bǔ)償系數(shù)下MBB梁計(jì)算結(jié)果

由表1數(shù)據(jù)可發(fā)現(xiàn)，g1為固定值時(shí)，g2過(guò)大會(huì)使得拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)逐步偏離最優(yōu)結(jié)構(gòu)，所得結(jié)構(gòu)柔度值增大，g2的可行范圍為0～0.2；g2為固定值時(shí)，g1過(guò)大會(huì)使得結(jié)構(gòu)逐步偏離最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)或獲得不可行解，g1的可行范圍為0～0.2。通過(guò)大量算例實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)g1=0.2、g2=0.2時(shí)大部分算例均可獲得有效可行解。

3 二維算例分析與討論

采用經(jīng)典拓?fù)鋬?yōu)化算例驗(yàn)證考慮密度補(bǔ)償?shù)淖冞^(guò)濾半徑敏度過(guò)濾方法(簡(jiǎn)稱本文方法)的可行性，通過(guò)MATLAB R2012a編寫程序進(jìn)行計(jì)算[12-13]，算例模型均采用平面四節(jié)點(diǎn)四邊形單元進(jìn)行離散化，對(duì)模型的材料屬性和結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行量綱一化處理，設(shè)彈性模量E=1，泊松比υ=0.3，SIMP模型懲罰因子p=3。

3.1 算例1模型優(yōu)化及討論

算例1 模型如圖4所示，梁尺寸為240×40×1，頂部中點(diǎn)受垂直向下載荷F=1?？紤]模型的對(duì)稱性，采用1/2模型進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算，1/2模型網(wǎng)格密度為120×40；為比較不同約束條件下的優(yōu)化結(jié)果，設(shè)目標(biāo)函數(shù)為整體結(jié)構(gòu)的柔度最小化，約束條件分別40%、50%和60%的體積比約束。

圖4 算例1模型示意圖Fig.4 Model of test problem 1

(a)Sigmund方法 (b)本文方法圖5 算例1不同敏度過(guò)濾方法最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison of topology results using different sensitivity filter methods(test problem 1)

由圖5可以看出，不同過(guò)濾方法產(chǎn)生的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果相似，Sigmund方法由于過(guò)濾半徑保持不變，在圖形邊界存在大量的灰度單元，造成拓?fù)浣Y(jié)果邊界模糊。本文方法由于在完成主體框架搜索后過(guò)濾半徑逐步減小至1，拓?fù)浣Y(jié)果邊界清晰，不同體積比約束下的優(yōu)化結(jié)果的離散度指標(biāo)均小于0.2%，較相同約束的Sigmund方法大幅度降低；從Sigmund方法體積比約束為60%的結(jié)果來(lái)看，圖形開(kāi)始出現(xiàn)發(fā)展其他分枝結(jié)構(gòu)的趨勢(shì)，進(jìn)一步增大過(guò)濾半徑能夠抑制這個(gè)趨勢(shì)，但勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致灰度單元進(jìn)一步增多，本文方法在60%的體積比約束下，仍然保持清晰的主體結(jié)構(gòu)不變，并未出現(xiàn)其他分枝結(jié)構(gòu)；從優(yōu)化效果來(lái)看，不同的體積比約束下，本文方法所得到的結(jié)構(gòu)的柔度值較Sigmund方法大幅度減小，優(yōu)化效果明顯提升；從優(yōu)化效率來(lái)看，本文方法的迭代步數(shù)與Sigmund方法相比，減小了至少50%，節(jié)省了大量的計(jì)算時(shí)間。

表2 算例1不同敏度過(guò)濾方法最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)果對(duì)比

為了驗(yàn)證本文方法能否有效消除網(wǎng)格依賴性，將算例1的1/2模型離散為210×70網(wǎng)格(1.75倍網(wǎng)格密度)，體積比約束設(shè)為40%，優(yōu)化迭代步數(shù)為43步，柔度收斂值為230.3730，離散度指標(biāo)為 0.1983%，拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖6所示。

圖6 算例1本文方法拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果(210×70網(wǎng)格)Fig.6 Result of test problem 1 using the paper method(210×70)

對(duì)比圖6和圖5b中40%體積比約束的優(yōu)化結(jié)果，兩種網(wǎng)格密度的計(jì)算結(jié)果相似，210×70網(wǎng)格離散情況下，未出現(xiàn)細(xì)小的分枝結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了網(wǎng)格無(wú)關(guān)性，迭代步數(shù)并未隨著網(wǎng)格密度的增加而增加，且仍然保持著清晰的拓?fù)鋱D形邊界。

3.2 算例2模型優(yōu)化及討論

圖7 算例2模型示意圖Fig.7 Model of test problem 2

(a)Sigmund方法

(b)本文方法

(c)本文方法圖8 算例2不同敏度過(guò)濾方法最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison of topology results using different sensitivity filter methods(test problem 2)

表3 算例2不同敏度過(guò)濾方法最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)果對(duì)比

由圖8和表3可以看出，本文方法過(guò)濾半徑取5和8的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果圖形與Sigmund方法相似，基本消除了邊界擴(kuò)散現(xiàn)象，離散度均小于0.2%，有效地抑制了灰度單元的產(chǎn)生。計(jì)算得到的柔度值小于Sigmund方法的柔度值，迭代步數(shù)大幅度減少。

Sigmund方法對(duì)過(guò)濾半徑的取值沒(méi)有明確規(guī)定，僅認(rèn)為過(guò)濾半徑包含制造最小尺寸的含義，一般取單元邊長(zhǎng)尺寸的1～3倍，過(guò)濾半徑的取值存在較大的波動(dòng)，所得的優(yōu)化結(jié)果邊界模糊程度不同，難以準(zhǔn)確地確定一個(gè)最小的過(guò)濾半徑來(lái)保證所得拓?fù)浣Y(jié)果最優(yōu)(邊界擴(kuò)散程度最低)。而本文方法采用變過(guò)濾半徑的策略，不同的初始過(guò)濾半徑可以得到相似且邊界清晰的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，因此取較大的初始過(guò)濾半徑也可保證得到的優(yōu)化結(jié)果模糊程度最低。由圖9可以看出，本文方法的離散度曲線存在兩處明顯的下降。第一次下降的原因與Sigmund方法相同，是由于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)逐步形成所導(dǎo)致的；第二次下降是由于過(guò)濾半徑逐步減小，使得灰度單元的數(shù)量減少導(dǎo)致的，而離散度第二次下降的迭代步數(shù)在20步左右，對(duì)應(yīng)著圖1b中過(guò)濾半徑在迭代步數(shù)為20時(shí)逐步減小至1的趨勢(shì)。本文方法的變過(guò)濾半徑策略能夠有效地減少灰度單元，得到清晰的拓?fù)鋱D形，拓?fù)浣Y(jié)果的準(zhǔn)確度和優(yōu)化效率明顯優(yōu)于Sigmund方法。

圖9 算例2離散度變化曲線Fig.9 Curve of element density dispersion(test problem 2)

4 結(jié)論

本文提出一種考慮密度補(bǔ)償?shù)淖冞^(guò)濾半徑敏度過(guò)濾新方法，考慮SIMP模型的缺陷，對(duì)不同密度區(qū)間的單元進(jìn)行雙向補(bǔ)償，進(jìn)一步加速單元相對(duì)密度的兩極化。采用變過(guò)濾半徑的策略改進(jìn)Sigmund敏度過(guò)濾方法，一定網(wǎng)格密度范圍內(nèi)的離散情況可采用相同的初始過(guò)濾半徑，均可以消除棋盤格現(xiàn)象和網(wǎng)格依賴性，得到相似且清晰的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果。同時(shí)本文方法的優(yōu)化迭代步數(shù)較Sigmund敏度過(guò)濾方法大幅度減少，優(yōu)化效果明顯提高。

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(編輯 蘇衛(wèi)國(guó))

Variable Filter Radius Sensitivity Filtering Method Considering Density Compensation

CHEN Chuifu YANG Xiaoxiang

College of Mechanical Engineering and Automation,Fuzhou University,Fuzhou,350000

Constant filter radius sensitivity filtering method could effectively eliminate checkerboard patter and mesh dependence, the optimized results had boundary diffusion, the edges of the graph existed many gray-scale elements.A considering density compensation variable filter radius sensitivity filtering method was proposed as an efficient approach,compensated the elements of relative density in 0.5-1, and reduced element density value in 0-0.5, and gradually reduced the filter radius to 1. Combining the solid isotropic microstructure with penalization model(SIMP), the classical topology optimization problems were used to prove the superiority of the new method.The experimental results show that the new sensitivity filtering method may eliminate checkerboard patter and mesh independence,then the optimized results have clear boundary, and the optimization efficiency and optimization performance are improved significantly.

topology optimization; gray-scale element; checkerboard patter; mesh dependence

2016-05-06

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11372074)

U463;O39

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.06.006

陳垂福，男，1991年生。福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院碩士研究生。主要研究方向?yàn)檫B續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化。E-mail:fdchenchuifu@163.com。楊曉翔，男，1963年生。福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。