沙涓

[摘要]高中數(shù)學(xué)教學(xué)要走出傳統(tǒng)思路，要基于學(xué)生的理解去實(shí)施教學(xué)。實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的過(guò)程，就是學(xué)生的原有生活或?qū)W習(xí)經(jīng)驗(yàn)。與新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)之間的互動(dòng)過(guò)程。兩者之間的互相轉(zhuǎn)換。促進(jìn)了理解性學(xué)習(xí)的真正發(fā)生。

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué)：理解性學(xué)習(xí)：教學(xué)實(shí)踐

很長(zhǎng)時(shí)間以來(lái)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)都強(qiáng)調(diào)理解教學(xué)。在建立了以生為本的教學(xué)理念之后。理解性教學(xué)又轉(zhuǎn)變成理解性學(xué)習(xí)。這樣的轉(zhuǎn)變不只是字面上的變化。而是強(qiáng)調(diào)從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度去建立對(duì)學(xué)習(xí)的理解。強(qiáng)調(diào)學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上實(shí)施有效學(xué)習(xí)。概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。概念是數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建的重要基石。而從概念構(gòu)建的角度來(lái)看。概念本身又是理解學(xué)習(xí)的產(chǎn)物。是學(xué)生關(guān)于某個(gè)數(shù)學(xué)觀念的濃縮。因此對(duì)概念實(shí)施理解性教學(xué)。以讓學(xué)生生成理解性學(xué)習(xí)。也是有效概念教學(xué)的應(yīng)有之義。本文以高中數(shù)學(xué)的概念教學(xué)為例。談?wù)劺斫庑詫W(xué)習(xí)的有效實(shí)施路徑。以及在此過(guò)程中的一些思考。

高中數(shù)學(xué)概念理解性學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀

要研究理解性學(xué)習(xí)，需要對(duì)理解性學(xué)習(xí)作一個(gè)界定。一般認(rèn)為。理解性學(xué)習(xí)就是建立在數(shù)學(xué)理解基礎(chǔ)上的學(xué)習(xí)過(guò)程。而所謂數(shù)學(xué)理解。就是運(yùn)用數(shù)學(xué)思維對(duì)數(shù)學(xué)課堂上的學(xué)習(xí)對(duì)象進(jìn)行有效的加工，并通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述學(xué)習(xí)結(jié)果的過(guò)程。如一個(gè)基本的數(shù)學(xué)概念。其就是學(xué)生借助于數(shù)學(xué)思維。對(duì)相關(guān)的研究對(duì)象進(jìn)行抽象、歸納的結(jié)果。高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一個(gè)概念就是“集合”。這個(gè)概念具有生活意義。但完全基于生活理解又無(wú)法真正形成對(duì)集合概念的理解。由此?；谏罾斫庾呦驍?shù)學(xué)理解。就成為理解性學(xué)習(xí)在集合概念學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵。

這里不妨先掃描一下傳統(tǒng)概念教學(xué)中的現(xiàn)狀?？纯雌渲杏心男┦抢斫庑詫W(xué)習(xí)的因素。而哪些不是。通過(guò)總結(jié)可以發(fā)現(xiàn)。傳統(tǒng)概念教學(xué)中。更多的是通過(guò)示例（如教材中讀書的學(xué)校與現(xiàn)在的班級(jí)，以及家庭成員的組成等）的分析，來(lái)讓學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)理解集合。然后給出集合的定義——一般地。一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體構(gòu)成一個(gè)集合：集合中的每一個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素。簡(jiǎn)稱元。非理解性學(xué)習(xí)的教學(xué)思路中。前者會(huì)必然導(dǎo)致后者。也就是說(shuō)前者呈現(xiàn)與后者之間是沒(méi)有距離的。但這樣的教學(xué)會(huì)導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)知的困難。尤其是部分學(xué)困生對(duì)此會(huì)形成認(rèn)知障礙。主要原因就在于呈現(xiàn)生活整合的時(shí)候。沒(méi)有從集合本質(zhì)上去對(duì)事例進(jìn)行分析。而這可能是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一種常態(tài)。這種常態(tài)背后的思想體現(xiàn)了教師教學(xué)的線性思維。認(rèn)為學(xué)生在生活經(jīng)驗(yàn)或原有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上。是可以直接向所需要學(xué)習(xí)的新概念轉(zhuǎn)化的。而事實(shí)說(shuō)明并非如此。

應(yīng)當(dāng)說(shuō)這樣的教學(xué)現(xiàn)狀還是值得認(rèn)真思考的。思考的線索就是理解性學(xué)習(xí)的開(kāi)展。事實(shí)上。在上面的實(shí)例中。如果從理解性學(xué)習(xí)的角度來(lái)看。就存在一個(gè)生活理解走向數(shù)學(xué)理解的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程也是體現(xiàn)理解性學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。集合概念中的“確定的”“不同的對(duì)象的”“全體”是三個(gè)關(guān)鍵詞?；谏顚?shí)例去理解這三個(gè)關(guān)鍵詞。是理解性學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵。

基于理解性學(xué)習(xí)的概念教學(xué)實(shí)踐

由上面的分析實(shí)際上可以發(fā)現(xiàn)。基于理解性學(xué)習(xí)的思路去實(shí)施數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。關(guān)鍵在于對(duì)學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的準(zhǔn)確分析與把握。在于對(duì)新概念構(gòu)建所需要的條件的精確分析與判斷。以及對(duì)學(xué)生在概念構(gòu)建過(guò)程中的認(rèn)知心理發(fā)展的控制。

這里先看剛才所舉的“集合”概念的教學(xué)。學(xué)生在生活中肯定是有集合概念的。這種概念在學(xué)生的大腦中是粗糙的。與集合的數(shù)學(xué)定義是存在距離的。筆者在教學(xué)中先花三到五分鐘時(shí)間研究了生活中集合的概念理解。學(xué)生所說(shuō)的理解常常是：集合就是將一些物體集中起來(lái)：集合就是全體人員在一起：集合就是一個(gè)群體在一起……這樣的理解對(duì)數(shù)學(xué)集合概念的形成有什么好處？在筆者看來(lái)。就是集合概念的一種生活語(yǔ)言的表達(dá)。是集合概念的雛形。隨后要做的。就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述生活經(jīng)驗(yàn)。于是下一步的教學(xué)任務(wù)。就是瞄準(zhǔn)“確定的”“不同的對(duì)象的”“全體”的數(shù)學(xué)語(yǔ)言去尋求思維距離上的靠近。

在實(shí)際教學(xué)中。也就是幾分鐘的時(shí)間。這幾分鐘的時(shí)間里。生活語(yǔ)言中的人、物變成了數(shù)學(xué)語(yǔ)言中的“對(duì)象”。“對(duì)象的全體”變成了“集合”?！凹稀币笫恰按_定的、不同的對(duì)象”。在此基礎(chǔ)上。通過(guò)變式的例子來(lái)鞏固對(duì)集合的認(rèn)識(shí)依然是必要的，因此“中國(guó)的直轄市”與“北京、上海、天津、重慶”之間就形成了基于數(shù)學(xué)語(yǔ)言的集體認(rèn)知。也就是說(shuō)自從學(xué)了集合概念之后。學(xué)生在理解集合概念的時(shí)候。就不再以生活語(yǔ)言為思維加工的工具了。而是以數(shù)學(xué)語(yǔ)言作為思維加工的工具。其后。從集合的定義再走向集合的表示，這里需要滲透“數(shù)學(xué)是最簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言”，因此當(dāng)自然數(shù)集記作N，整數(shù)集記作Z，有理數(shù)記作Q，實(shí)數(shù)集記作R時(shí)。學(xué)生思維中形成的就是這些符號(hào)與所理解的自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)的關(guān)系此時(shí)。符號(hào)成為代表集合的最簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言。

在上述過(guò)程中，學(xué)生的思維不斷地從生活經(jīng)驗(yàn)的加工走向數(shù)學(xué)語(yǔ)言。這就是一個(gè)理解性的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程的學(xué)習(xí)自然也就是理解性學(xué)習(xí)。

又如函數(shù)概念的教學(xué)。學(xué)生對(duì)函數(shù)的生活經(jīng)驗(yàn)是極為缺乏的。有的只是此前初中學(xué)習(xí)函數(shù)形成的認(rèn)識(shí)。但是初中階段的函數(shù)理解與高中階段所需要的基于集合對(duì)對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)概念的理解完全不同，因此這里要發(fā)生理解性學(xué)習(xí)就變得相當(dāng)?shù)睦щy。于是教學(xué)可以這樣設(shè)計(jì)：首先。在實(shí)例分析中尋找兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)法則：其次。將對(duì)應(yīng)法則用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行捕述其中。第一步是關(guān)鍵。因?yàn)閺乃季S方法的角度來(lái)看。這里有對(duì)不同事例的分析。有分析之后的綜合。有對(duì)“一個(gè)變量取確定值后另一個(gè)變量隨之唯一確定”的認(rèn)識(shí)。以及不同事例中同一認(rèn)識(shí)的重復(fù)。在這一步。幫學(xué)生形成一定的經(jīng)驗(yàn)是根本。這種經(jīng)驗(yàn)來(lái)自于教師引導(dǎo)學(xué)生自己分析。是間接經(jīng)驗(yàn)。此間接經(jīng)驗(yàn)?zāi)芊裼行纬伞Ｊ抢斫庑詫W(xué)習(xí)能否發(fā)生的關(guān)鍵。待此經(jīng)驗(yàn)形成之后。再用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)捕述這樣的概念。這個(gè)過(guò)程與上面集合概念的形成相似。此處就不贅述了。

真正的概念理解對(duì)學(xué)生意味什么

通過(guò)以上教學(xué)實(shí)例的分析。筆者強(qiáng)烈地認(rèn)為。所謂的理解性學(xué)習(xí)。其關(guān)鍵就在于學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上思維從生活向數(shù)學(xué)的過(guò)渡。這個(gè)過(guò)渡的過(guò)程。就是理解性學(xué)習(xí)存在的過(guò)程。也就是說(shuō)。所謂的理解。應(yīng)當(dāng)有著生活和數(shù)學(xué)兩者之間相互轉(zhuǎn)換的理解。當(dāng)學(xué)生有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)的時(shí)候。需要引導(dǎo)其用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)捕述這種經(jīng)驗(yàn)：當(dāng)學(xué)生形成了數(shù)學(xué)語(yǔ)言之后。要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去捕述其他的生活實(shí)例。只要這樣的雙向轉(zhuǎn)換能夠順利進(jìn)行。那學(xué)生的學(xué)習(xí)就是理解性學(xué)習(xí)。

進(jìn)一步的研究表明。理解性學(xué)習(xí)分為三個(gè)方面：一是記憶性理解：二是闡釋性理解：三是探究性理解。這三個(gè)方面實(shí)際上對(duì)應(yīng)著傳統(tǒng)教學(xué)思維中的程序性知識(shí)與陳述性知識(shí)。其中。后者是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)。而前者則由于難以直接考查且并不像記憶性知識(shí)那樣容易形成直接學(xué)習(xí)效果。因而不容易受到教師的重視。但事實(shí)上。學(xué)生的理解性學(xué)習(xí)恰恰是與更為重要的探究性理解相關(guān)的。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中。最有意義的理解性學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)據(jù)此展開(kāi)。

理解性學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)。最大的價(jià)值就在于開(kāi)啟學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。讓學(xué)生從機(jī)械的知識(shí)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)移到聰慧的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程中來(lái)。進(jìn)一步的研究表明。理解性學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用。還需要根據(jù)學(xué)生自身的特征去實(shí)施。有充分的依據(jù)表明，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。學(xué)生的性別對(duì)理解性學(xué)習(xí)有著直接的影響。相對(duì)而言。女生更偏重于記憶性理解。而男生更喜歡探究性理解。這又意味著什么呢？在筆者看來(lái)?？赡芨嗟倪€是意味著要因材施教。就是要根據(jù)學(xué)生的性別差異。在具體的概念構(gòu)建中讓不同性別的學(xué)生以不同的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)理解性學(xué)習(xí)。但這又不是絕對(duì)的。因?yàn)楣P者發(fā)現(xiàn)在實(shí)際教學(xué)中。如果對(duì)于不同性別的學(xué)生提出另一種理解性學(xué)習(xí)的要求。有的時(shí)候也能激活他們挑戰(zhàn)不可能的一面。如女生就是敢于去實(shí)施探究式的理解性學(xué)習(xí)。而男生就愿意在記憶的方面花時(shí)間?？傊?，理解性學(xué)習(xí)不能執(zhí)行得過(guò)于機(jī)械，因材、因勢(shì)、因時(shí)選擇不同的理解教學(xué)方式?？梢源龠M(jìn)學(xué)生理解性學(xué)習(xí)的高效形成。

理解性學(xué)習(xí)需要重視學(xué)生的視角

理解性學(xué)習(xí)最終是屬于學(xué)生的。因此研究理解性學(xué)習(xí)需要建立學(xué)生的視角。高中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中。會(huì)有相當(dāng)充分的思維表現(xiàn)。這種表現(xiàn)對(duì)于教師的研究來(lái)說(shuō)。非常有價(jià)值。筆者通過(guò)總結(jié)。形成如下三點(diǎn)認(rèn)識(shí)：

第一。學(xué)生視角下的理解性學(xué)習(xí)。首先意味著減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。這里所說(shuō)的負(fù)擔(dān)。主要是指思維上的負(fù)擔(dān)。也就是在學(xué)習(xí)的過(guò)程中不再出現(xiàn)生澀難懂的內(nèi)容。在思維建構(gòu)的時(shí)候。雖然有挑戰(zhàn)。但是通過(guò)自己的努力總是能夠克服的。這非常接近于“最近發(fā)展區(qū)”的理論觀點(diǎn)。而這樣的認(rèn)知對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)。確實(shí)也是重要的思維基礎(chǔ)。

第二，學(xué)生視角下的理解性學(xué)習(xí)，是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的有效把握。很多時(shí)候，學(xué)生其實(shí)并不知道什么是真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。這對(duì)于高中學(xué)生來(lái)說(shuō)無(wú)疑是悲哀的。數(shù)學(xué)呈現(xiàn)在學(xué)生面前的。應(yīng)當(dāng)是其理性、智慧的一面。任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建。任何一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)律的得出，都應(yīng)當(dāng)是理解基礎(chǔ)上的產(chǎn)物。認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才會(huì)從機(jī)械的習(xí)題訓(xùn)練中走出來(lái)，從而真正成為開(kāi)啟學(xué)生思維的一個(gè)重要途徑。

綜上所述。高中數(shù)學(xué)要積極開(kāi)展理解性學(xué)習(xí)。這樣才能彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的真實(shí)含義。