徐 帆, 陳 奇, 馬運(yùn)波, 張 振

(合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

考慮潤(rùn)滑因素的兩圓柱體接觸承載能力的分形模型研究

徐 帆, 陳 奇, 馬運(yùn)波, 張 振

(合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

為了研究潤(rùn)滑對(duì)兩圓柱體結(jié)合面接觸承載能力的影響,文章引入彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑理論,在分形理論M-B接觸模型的基礎(chǔ)上,結(jié)合彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑機(jī)理,利用雷諾方程、Grubin積分法以及Hamrack關(guān)于最小油膜厚度的修正公式,推導(dǎo)了考慮彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑狀態(tài)下的兩圓柱體結(jié)合面分形接觸模型。通過Matlab仿真發(fā)現(xiàn),彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑能明顯地減小圓柱體結(jié)合面接觸應(yīng)力,且隨著潤(rùn)滑油膜厚度的增加,接觸應(yīng)力上升;隨著粗糙度幅值減小、分形維數(shù)增加、嚙合曲率半徑變大,兩圓柱體間的接觸應(yīng)力減小,且外嚙合比內(nèi)嚙合時(shí)的接觸應(yīng)力大。該文將潤(rùn)滑因素引入圓柱體分形接觸模型中,為后續(xù)進(jìn)行真實(shí)工況下的齒輪接觸分析奠定了一定的理論基礎(chǔ)。

潤(rùn)滑;圓柱體;接觸承載能力;分形理論

齒輪接觸承載能力的分析至關(guān)重要,目前常用的方法有Hertz 彈性接觸理論[1]和有限元理論[2],但該理論只適用于光滑表面且無(wú)潤(rùn)滑的靜態(tài)接觸。后來有學(xué)者將分形理論應(yīng)用于接觸力學(xué)特性的分析,其中以Majumdar-Bhushan 創(chuàng)建的M-B 模型[3-4]為典型代表;本研究團(tuán)隊(duì)在該模型的基礎(chǔ)上,建立了任意兩曲面[5]、兩球面[6]以及兩圓柱面[7-8]的分形接觸模型,并成功應(yīng)用于齒輪的承載能力分析[8]。然而上述模型分析未考慮潤(rùn)滑因素對(duì)接觸承載能力的影響。

對(duì)于齒輪和軸承等點(diǎn)接觸或線接觸的接觸情況,絕大多數(shù)是工作在部分膜彈流潤(rùn)滑狀態(tài)下,彈流油膜的厚度通常在0.5～5.0 μm之間，而機(jī)加工圓柱體的表面輪廓跳動(dòng)在0～10.0 μm之間,故齒面因切削形成的粗糙度和它同一個(gè)數(shù)量級(jí),接觸表面依靠潤(rùn)滑油膜與峰點(diǎn)接觸共同承載。油膜厚度、接觸性質(zhì)、接觸表面的微觀形貌以及表面紋理方向等均對(duì)潤(rùn)滑產(chǎn)生影響。文獻(xiàn)[9]提出的“平均流動(dòng)模型”建立了三維粗糙表面平均Reynolds方程,通過壓力流量因子和剪切流量因子的計(jì)算,定量揭示了膜厚比與表面紋理的方向性對(duì)潤(rùn)滑性能的影響規(guī)律;文獻(xiàn)[10]針對(duì)“平均流動(dòng)模型”計(jì)算的復(fù)雜性,引入了接觸因子的概念并建立了部分膜潤(rùn)滑方程;文獻(xiàn)[11]根據(jù)橢圓彈塑性接觸模型,計(jì)算了粗糙峰微接觸對(duì)潤(rùn)滑的影響。但是,上述關(guān)于潤(rùn)滑條件的表面承載能力分析沒有考慮表面形貌的微觀因素對(duì)接觸承載的影響。

本文以齒輪嚙合模型的簡(jiǎn)化圓柱體嚙合模型為研究對(duì)象,結(jié)合分形理論,在圓柱體分形接觸模型和彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑研究的基礎(chǔ)上,引入潤(rùn)滑因素對(duì)齒輪接觸應(yīng)力的影響,建立考慮潤(rùn)滑因素的圓柱體結(jié)合面分形接觸模型;通過對(duì)模型中各參數(shù)變化對(duì)接觸性能影響的預(yù)測(cè)分析,并利用Matlab進(jìn)行模型仿真,得出不同參數(shù)與接觸承載能力之間的影響趨勢(shì)與規(guī)律,給出對(duì)比和分析結(jié)果,為圓柱體接觸面的承載分析及其相關(guān)產(chǎn)品的接觸應(yīng)力計(jì)算提供了一定的理論參考。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 微凸體變形分析

假設(shè)粗糙表面間的接觸為粗糙表面與理想剛性平滑表面之間的接觸,其模型如圖1所示。

在彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑方式下,設(shè)油膜的厚度為h(圖1a),則微凸體油膜之外的高度值為:

(1)

其中,Δh為油膜厚度跳動(dòng)差量;z(x)max為形貌輪廓跳動(dòng)量的最大值。由參考文獻(xiàn)[12]可知,粗糙表面微觀形貌滿足W-M函數(shù),則變形之前的微凸體輪廓跳動(dòng)量(圖1b)可以表示為:

(2)

其中,z(x)為微凸體輪廓跳動(dòng)量;x為輪廓位移坐標(biāo);D為表面輪廓分形維數(shù),它定量地度量表面輪廓在所有尺度上的不規(guī)則和復(fù)雜程度;G為反映z(x)大小的特征尺度系數(shù);l為輪廓線上的接觸長(zhǎng)度。

圖1 M-B分形接觸模型

根據(jù)微凸體的彈塑性變形研究,微凸體的頂端變形量δ為:

(3)

其中,a為變形之后的微凸體接觸面積。

1.2 彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑油膜的受力分析

彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑(elastic-hydrodynamic lubrication,EHL)在分析剛性柱體接觸時(shí),根據(jù)潤(rùn)滑油黏度是否變化將接觸分析分為2類。

(1) 等黏度狀態(tài)。等黏度情況主要利用雷諾方程和Martin公式進(jìn)行問題分析。根據(jù)圓柱體接觸狀況,雷諾方程為:

(4)

最小油膜厚度h0可以由拋物線函數(shù)推出,即

(5)

將(5)式代入(4)式,積分求解可得線分布承載量wz的近似表達(dá)式為:

(6)

(2) 變黏度狀態(tài)。變黏度情況主要利用Barus方程表征雷諾方程中的黏度η變化情況,得出分析結(jié)果。由Barus方程有:

(7)

同理,結(jié)合(4)式和(7)式,利用Grubin積分法對(duì)雷諾方程的積分求解和Hamrack對(duì)最小油膜厚度的修正公式,可得wz的近似表達(dá)式為:

(8)

2 分形接觸應(yīng)力分析

根據(jù)油膜跳動(dòng)差量Δh與微凸體的頂端變形量δ之間的大小關(guān)系,將彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑狀態(tài)下的微凸體接觸狀況分為以下幾種。

(1) Δh≤0時(shí),潤(rùn)滑油膜承擔(dān)全部接觸載荷。此時(shí)h≥z(x)max,如圖2所示,所有的微凸體均處于油膜之下,法向接觸壓力p首先接觸油膜,油膜承擔(dān)絕大部分的載荷,潤(rùn)滑狀態(tài)趨近于理想的液體動(dòng)壓潤(rùn)滑,接觸體基本不發(fā)生變形,此時(shí)分形理論已不再適用,故忽略此種情況。

圖2 Δh≤0時(shí)的簡(jiǎn)化接觸模型

(2) 0<Δh≤δc時(shí),微凸體和潤(rùn)滑油膜共同承擔(dān)接觸載荷,其中δc為彈塑料性臨界變形曲率。此時(shí)簡(jiǎn)化接觸模型如圖3所示。微凸體的頂端變形量達(dá)到h之后,潤(rùn)滑油膜和微凸體共同承擔(dān)接觸載荷,若忽略潤(rùn)滑油膜的厚度變化量,則微凸體頂端無(wú)法繼續(xù)縱向變形形成大曲率接觸點(diǎn),因此微凸體處于塑性變形狀態(tài)。

圖3 0<Δh≤δc時(shí)的簡(jiǎn)化接觸模型

根據(jù)(3)式,當(dāng)δ=h時(shí),潤(rùn)滑狀態(tài)下的微凸體接觸面積aR為:

(9)

設(shè)微凸體接觸面積圖形為圓形,則接觸線長(zhǎng)度為:

(10)

參照G-W模型和M-B分形接觸模型[13],彈性變形下法向載荷與面積之間的公式為:

(11)

塑性變形下法向載荷與面積之間的公式為:

(12)

其中，σy為屈服強(qiáng)度;K為相關(guān)系數(shù)。結(jié)合(6)式和(8)式,對(duì)于單個(gè)微凸體,等黏度狀態(tài)和變黏度狀態(tài)的潤(rùn)滑油膜分擔(dān)的接觸載荷分別表示為:

(13)

(14)

處于塑性變形狀態(tài)的微凸體,由(12)式有:

(15)

其中,aS為最小變形接觸面積,一般取aS=0。

根據(jù)(13)式～(15)式,0<Δh≤δc時(shí)的結(jié)合面接觸應(yīng)力公式為:

(16)

其中,PR隨潤(rùn)滑黏度的假設(shè)方式選取不同而變化,如(13)式和(14)式;aC為微凸體由彈性到塑性變化的臨界面積。

(3)δc<Δh≤δl時(shí),微凸體和潤(rùn)滑油膜共同承擔(dān)接觸載荷。此時(shí)簡(jiǎn)化的接觸模型如圖4所示,微凸體在法向接觸載荷的作用下,曲率半徑大于δc,微凸體發(fā)生彈性變形,若忽略潤(rùn)滑油膜的厚度變化量,微凸體頂端則無(wú)法繼續(xù)縱向變形,因此由潤(rùn)滑油膜和微凸體共同承擔(dān)接觸載荷。

圖4 δc<Δh≤δl時(shí)簡(jiǎn)化接觸模型

結(jié)合(9)式～(15)式,此時(shí)aR>aC,該部分的微凸體處于彈性變形狀態(tài),微凸體和潤(rùn)滑油膜共同承擔(dān)法向接觸載荷,即

(17)

(4) Δh>δl時(shí),微凸體承擔(dān)全部接觸壓力。此時(shí),潤(rùn)滑油膜厚度和接觸結(jié)合面的微觀形貌輪廓跳動(dòng)量z(x)不屬于同一個(gè)數(shù)量級(jí),潤(rùn)滑作用接近于0,接觸問題趨近于無(wú)潤(rùn)滑狀態(tài),法向接觸應(yīng)力全部由微凸體承擔(dān),在此不做詳述。

3 分形接觸模型

在“島嶼面積分布理論”的基礎(chǔ)上[12],結(jié)合上述彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑狀態(tài)下的微凸體接觸狀態(tài)分析,接觸面積超過aR的微凸體個(gè)數(shù)為:

(18)

對(duì)(18)式微分,則微凸體的面積分布為:

(19)

由文獻(xiàn)[10]中構(gòu)造的表面接觸影響系數(shù),直接修正接觸面積分布函數(shù),可得:

(20)

其中,xh=(1/R1)±(1/R2)(“+”為外嚙合,“-”為內(nèi)嚙合),R1、R2分別為接觸圓柱體的端面半徑;圓柱體接觸一般取C2=1/2。

總的實(shí)際接觸面積為:

(21)

綜合以上公式,彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑狀態(tài)下的圓柱體分形接觸無(wú)量綱模型如下。

當(dāng)最大接觸點(diǎn)面積al>aC時(shí),接觸點(diǎn)發(fā)生彈塑性變形,考慮到數(shù)值計(jì)算中分形維數(shù)D的取值問題,將公式分為2種形式,即

(1) 當(dāng)D=1.5時(shí),有

(22)

(23)

(24)

(25)

(2) 當(dāng)D≠1.5時(shí),有

(26)

(27)

當(dāng)al

(28)

(29)

(30)

4 Matlab仿真對(duì)比分析

潤(rùn)滑油膜厚度與實(shí)際接觸面積關(guān)系如圖5所示。由圖5可知,隨著潤(rùn)滑油膜厚度h的增加,實(shí)際接觸面積AR隨之呈現(xiàn)非線性減小,結(jié)合(9)式和(21)式,在彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑狀態(tài)下油膜厚度增加,大曲率半徑的微凸體也開始被油膜覆蓋,實(shí)際粗糙結(jié)合面的微凸體接觸面積減小。

圖5 潤(rùn)滑油膜厚度與實(shí)際接觸面積關(guān)系

潤(rùn)滑條件下圓柱體接觸強(qiáng)度、分形接觸強(qiáng)度以及圓柱體接觸強(qiáng)度的模型對(duì)比如圖6所示。將彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑狀態(tài)下的接觸應(yīng)力與M-B分形及圓柱體接觸強(qiáng)度模型對(duì)比發(fā)現(xiàn),圖6a中的接觸載荷隨著真實(shí)接觸面積的增大而增大,與圖6b中模型變化趨勢(shì)一致,說明潤(rùn)滑狀態(tài)下的模型整體趨勢(shì)是正確的;而在潤(rùn)滑條件下,本文假設(shè)潤(rùn)滑油膜厚度是不可形變的,從而接觸微凸體只承擔(dān)了一部分法向接觸載荷,另一部分由潤(rùn)滑油膜承擔(dān),因此在圖6a中,相同數(shù)量級(jí)的接觸面積下,彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑條件下的接觸應(yīng)力要稍小一些。

圖6 3種接觸強(qiáng)度的模型對(duì)比

等黏度和變黏度情況對(duì)比如圖7所示。

圖7 等黏度和變黏度情況對(duì)比

由圖7可知,隨著潤(rùn)滑油膜厚度的增加,變黏度情況下的油膜分擔(dān)法向載荷遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于等黏度情況下的,這種情況與格魯賓分析法的結(jié)果相近;變黏度情況下,潤(rùn)滑油隨著接觸載荷的增加,黏度急劇增加,提供更大的承載能力。由此可見,本文所建立的等黏度模型與實(shí)際工況相差較大,在模型使用中,應(yīng)該選用變黏度強(qiáng)度模型。

不同粗糙度幅值的接觸強(qiáng)度如圖8所示。由圖8可知,隨著粗糙度幅值的增加,相同的真實(shí)接觸面積對(duì)應(yīng)的法向接觸載荷增加;在考慮潤(rùn)滑條件下相同分形維數(shù)時(shí),隨著粗糙度幅值的增加,彈性變形和塑性變形的臨界變形量減小,同樣厚度的潤(rùn)滑油膜所分擔(dān)的法向接觸載荷也隨之減小,所以微凸體法向接觸載荷增加,承載能力下降。

圖8 不同粗糙度幅值的接觸強(qiáng)度

不同分形維數(shù)時(shí)的接觸強(qiáng)度如圖9所示。由圖9可知,在相同的法向載荷條件下,隨著分形維數(shù)的增加,真實(shí)接觸面積也增加,使得彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑條件下潤(rùn)滑油膜承擔(dān)的法向載荷減小,表面接觸承載能力也變小。彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑條件下的微凸體承擔(dān)的法向載荷在D∈[1.1,1.5]時(shí)幾乎保持不變,在D∈[1.5,1.9]時(shí)逐漸減小。

圖9 不同分形維數(shù)時(shí)的接觸強(qiáng)度

由(24)式和(25)式可知,無(wú)論是等黏度還是變黏度情況下,隨著嚙合曲率半徑的增加,潤(rùn)滑油膜所承擔(dān)的法向載荷增加。

不同曲率半徑時(shí)的接觸強(qiáng)度如圖10所示。由圖10可以看出,與不考慮潤(rùn)滑的圓柱體分形接觸強(qiáng)度模型相比,隨著嚙合曲率半徑的增加,微凸體承擔(dān)的法向載荷都呈現(xiàn)減小趨勢(shì),且外接觸情況比內(nèi)接觸情況下的接觸載荷大,這與理論模型和實(shí)際情況相一致。但是受潤(rùn)滑油膜分壓的影響,彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑時(shí),圓柱體間的嚙合曲率對(duì)微凸體接觸承載能力的影響更為明顯。

圖10 不同曲率半徑時(shí)的接觸強(qiáng)度

5 結(jié) 論

本文在圓柱體結(jié)合面分形接觸承載能力研究的基礎(chǔ)上,結(jié)合彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑機(jī)理,利用雷諾方程、Grubin對(duì)雷諾方程的積分法以及Hamrack關(guān)于最小油膜厚度的修正公式,建立了潤(rùn)滑狀態(tài)下的圓柱體結(jié)合面分形接觸模型,并在Matlab中進(jìn)行了仿真分析。

(1) 與干摩擦相比,彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑條件下的接觸應(yīng)力要稍小一些,但隨著潤(rùn)滑油膜厚度的增加,兩微凸體間的實(shí)際接觸面積隨之呈現(xiàn)非線性減小,接觸應(yīng)力上升。

(2) 在考慮潤(rùn)滑條件的情況下,相同的分形維數(shù)時(shí),隨著粗糙度幅值的增加,彈性變形和塑性變形的臨界變形量減小,接觸應(yīng)力增加,承載能力下降。

(3) 隨著分形維數(shù)的增加,彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑條件下潤(rùn)滑油膜承擔(dān)的法向載荷減小,表面接觸承載應(yīng)力也變小,承載能力增加;彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑條件下的微凸體承擔(dān)的法向載荷在D∈[1.1,1.5]時(shí)幾乎保持不變,在D∈[1.5,1.9]時(shí)逐漸減小。

(4) 與不考慮潤(rùn)滑的圓柱體分形接觸強(qiáng)度模型相比,隨著嚙合曲率半徑的增加,微凸體承擔(dān)的法向載荷都呈現(xiàn)減小趨勢(shì),且外接觸情況比內(nèi)接觸情況下的接觸載荷大;彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑時(shí),圓柱體間的嚙合曲率對(duì)微凸體接觸承載能力的影響更為明顯。

[1] JOHNSON K L.Contact mechanics[M].Cambridge,Eng.:Cambridge University Press,1987.

[2] 張?jiān)收?曹富新.彈性力學(xué)及其有限元法[M].北京:中國(guó)鐵道出版社,1983.

[3] 張汝清,詹先義.非線性有限元分析[M].重慶:重慶大學(xué)出版社,1990.

[4] BHUSHAN B,MAJUMDAR A.Elastic-plastic contact model for bifractal surfaces[J].Wear,1992,153(1):53-64.

[5] 陳奇,黃康,張彥,等.兩任意輪廓彈性體接觸應(yīng)力計(jì)算的分形模型研究[J].機(jī)械強(qiáng)度,2012,34(4):557-561.

[6] ZHAO H,CHEN Q,HUANG K.Analysis of two ball’s surface contact stress based on fractal theory[J].Materials Science Forum,2011,675/676/677:619-627.

[7] 黃康,趙韓,陳奇.兩圓柱體表面接觸承載能力的分形模型研究[J].摩擦學(xué)學(xué)報(bào),2008,28(6)：529-533.

[8] 陳奇,趙韓,黃康,等.分形理論在齒輪接觸應(yīng)力分析中的應(yīng)用研究[J].中國(guó)機(jī)械工程,2010,21(9):1014-1017,1057.

[9] PATIR N,CHENG H S.An average flow model for determining effects of three-dimensional roughness on partial hydrodynamic lubrication[J].Journal of Tribology,1978,100(1):12-17.

[10] MILLS R S,AVAN E,DWYER-JOYCE R S.Piezoelectric sensors to monitor lubricant film thickness at piston-cylinder contacts in a fired engine [J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,Part J: Journal of Engineering Tribology,2013,227(2):100-111.

[11] 汪家道,陳大融,孔憲梅.粗糙峰微接觸及其對(duì)潤(rùn)滑的影響 [J].摩擦學(xué)學(xué)報(bào),1999,19(4): 362-367.

[12] 葛世榮,朱華.摩擦學(xué)的分形[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2005.

[13] MAJUMDAR A,BHUSHAN B.Fractal model of elastic-plastic contact between rough surfaces[J].Journal of Tribology,1991,113(1):1-11.

[14] XIAO L,ROSEN B G,AMINI N,et al.A study on the effect of surface topography on rough friction in roller contact[J].Wear,2003,254(11):1162-1169.

(責(zé)任編輯 胡亞敏)

Research on fractal contact model for contact carrying capacity of two cylinders’ surfaces considering lubrication factors

XU Fan, CHEN Qi, MA Yunbo, ZHANG Zhen

(School of Mechanical Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

In order to study the influence of lubrication on the contact strength between two cylinders, the fractal contact strength model considering the elasto-hydrodynamic lubrication was derived by Reynolds equation, Grubin integral method and Hamrack correction formula of minimum oil film thickness based on the elasto-hydrodynamic lubrication theory, M-B fractal contact model and elasto-hydrodynamic lubrication mechanism. The numerical results in Matlab show that the contact stress between two cylinder surfaces is obviously reduced with the elasto-hydrodynamic lubrication; the contact stress increases with the growth of the thickness of lube film; the contact stress between the two cylinders reduces as the roughness amplitude decreases and the fractal dimension and meshing radius of curvature rises; the contact stress with the external meshing is larger than that with internal meshing. The introduction of lubrication factor into the fractal contact model for cylinders can lay a theoretical foundation for subsequent analysis of gear contact under the real working conditions.

lubrication; cylinder; contact carrying capacity; fractal theory

2015-12-14；

2016-03-31

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51305116)

徐 帆(1993-),男,江蘇常州人,合肥工業(yè)大學(xué)碩士生; 陳 奇(1979-),男,安徽合肥人,博士,合肥工業(yè)大學(xué)副教授,碩士生導(dǎo)師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.02.006

TH114

A

1003-5060(2017)02-0169-06