李元法

(湖北省當(dāng)陽市第一高級(jí)中學(xué)，湖北 當(dāng)陽 444100)

動(dòng)量定理在電磁感應(yīng)題解中的應(yīng)用

李元法

(湖北省當(dāng)陽市第一高級(jí)中學(xué)，湖北 當(dāng)陽 444100)

2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容中,物理學(xué)科選修3-5列為必考內(nèi)容,電磁感應(yīng)現(xiàn)象在高考中出現(xiàn)的幾率將會(huì)進(jìn)一步提升,動(dòng)量定理和電磁感應(yīng)現(xiàn)象聯(lián)系將更加緊密,探究動(dòng)量定理在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的應(yīng)用將會(huì)顯示出更加重要的作用．

動(dòng)量定理; 電磁感應(yīng)現(xiàn)象; 應(yīng)用模型

2014年9月,國(guó)務(wù)院頒布了《關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見》,2016年教育部考試中心修訂完善了考試大綱．目前,教育部考試中心對(duì)2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容進(jìn)行了發(fā)布,其中物理學(xué)科將選修3-5的內(nèi)容列為必考．不但使動(dòng)力學(xué)知識(shí)更加完善,而且使動(dòng)量部分和電磁感應(yīng)現(xiàn)象相結(jié)合能進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)綜合分析問題、解決問題的能力．下面探究一下動(dòng)量定理在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的應(yīng)用．

1 動(dòng)量定理在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中和單桿相結(jié)合應(yīng)用模型

1.1 單桿和電阻結(jié)合模型

單桿在磁場(chǎng)中切割磁感線是電磁感應(yīng)現(xiàn)象中常見的模型,經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)做非勻變速運(yùn)動(dòng)類問題,當(dāng)桿做非勻變速運(yùn)動(dòng)時(shí)不能直接用勻變速運(yùn)動(dòng)公式求解．應(yīng)用動(dòng)量定理和閉合電路歐姆定律、法拉第電磁感應(yīng)定律相結(jié)合可以非常方便地求出桿運(yùn)動(dòng)的距離、速度、動(dòng)能和瞬時(shí)功率．

圖1

例1.如圖1所示,電阻不計(jì)、間距為L(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌水平放置,導(dǎo)軌左側(cè)接有阻值為R的電阻,以導(dǎo)軌的左端為原點(diǎn),沿導(dǎo)軌方向建立x軸,導(dǎo)軌處于豎直向下的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,一根電阻也為R、質(zhì)量為m的金屬桿垂直于導(dǎo)軌放置于x0處,不計(jì)金屬桿與導(dǎo)軌間的接觸電阻,現(xiàn)給金屬桿沿x軸正方向的初速度v0,金屬桿剛好能運(yùn)動(dòng)到2x0處,試求:金屬桿運(yùn)動(dòng)到1.5x0處時(shí)速度大小和安培力的瞬時(shí)功率．

解析:金屬桿受重力、支持力和水平向左的安培力;設(shè)金屬桿運(yùn)動(dòng)到1.5x0處時(shí)間為Δt,取水平向右為正．

由動(dòng)量定理有

-BLΔt=mv-mv0.

(1)

由閉合電路歐姆定律有

(2)

由法拉第電磁感應(yīng)定律得

(3)

其中

ΔΦ=BLx02.

(4)

由(1)～(4)式得

-B2L2x04R=mv-mv0.

(5)

同理可得金屬桿運(yùn)動(dòng)到2x0處時(shí)有

B2L2x02R=mv0.

(6)

由(5)、(6)式得

v=v02.

當(dāng)金屬桿運(yùn)動(dòng)到1.5x0處時(shí),

E=BLv.

(7)

由閉合電路歐姆定律有

I=E2R.

(8)

金屬桿受到的安培力大小為

F=BIL.

(9)

由功率公式有

P=Fv.

(10)

由(7)～(10)式得P=B2L2v028R.

故金屬桿運(yùn)動(dòng)到1.5x0處時(shí)速度大小為v=v02，安培力的瞬時(shí)功率為P=B2L2v028R．

1.2 單桿和電容器結(jié)合模型

當(dāng)單桿和電容器相結(jié)合時(shí),桿運(yùn)動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),電容器會(huì)出現(xiàn)充、放電現(xiàn)象,電路中形成電流,桿受到安培力做變速運(yùn)動(dòng)最后達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)做勻速運(yùn)動(dòng),應(yīng)用動(dòng)量定理和電流的定義式、電容的定義式、法拉第電磁感應(yīng)定律相結(jié)合可以簡(jiǎn)潔明了地求出桿穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的速度和電容器所帶電荷量．

圖2

例2.在圖2中,除導(dǎo)體棒ab可動(dòng)外,其余部分均固定不動(dòng),電容器C原來不帶電．設(shè)導(dǎo)體棒、導(dǎo)軌的電阻均可忽略,導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌間的摩擦也不計(jì),圖中裝置均在水平面內(nèi),且都處于方向垂直水平面(即紙面)向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中,導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)．導(dǎo)體棒的長(zhǎng)度為L(zhǎng),質(zhì)量為m,今給導(dǎo)體棒ab一個(gè)向右的初速度v0,試求:導(dǎo)體棒ab的最終運(yùn)動(dòng)速度．

解析:圖2中,導(dǎo)體棒向右運(yùn)動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)使電容器充電,當(dāng)電容器C極板間電壓與導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)相等時(shí),電路中沒有電流,ab棒不再受安培力,向右做勻速運(yùn)動(dòng).對(duì)導(dǎo)體棒:取水平向右為正，運(yùn)動(dòng)時(shí)間設(shè)為Δt.由動(dòng)量定理有

(1)

由電流的定義式得

q=Δt.

(2)

由電容的定義式得

q=CU.

(3)

由法拉第電磁感應(yīng)定律得

U=BLv.

(4)

由(1)～(4)式得

2 動(dòng)量定理在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中和線圈相結(jié)合應(yīng)用模型

線圈模型是物理學(xué)中常見模型,線圈進(jìn)入和離開磁場(chǎng)時(shí)切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),線圈本身組成閉合回路形成電流,線圈受到安培力．應(yīng)用動(dòng)量定理和動(dòng)能定理、法拉第電磁感應(yīng)定律巧妙結(jié)合可以準(zhǔn)確求出線圈運(yùn)動(dòng)時(shí)間、速度和動(dòng)能．下面為線圈在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的兩種模型．

2.1 線圈在水平面上運(yùn)動(dòng)模型

圖3 物理情景示意圖

例3.如圖3所示,在光滑的水平面上,有一豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在寬度為L(zhǎng)的區(qū)域內(nèi),現(xiàn)有一個(gè)邊長(zhǎng)為a(a

解析:線圈受重力、支持力和水平向左的安培力;設(shè)線圈質(zhì)量為m,完全進(jìn)入磁場(chǎng)中時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為Δt,線圈的速度為v1、線圈的電阻為R,取水平向右為正．由動(dòng)量定理有

-BaΔt=mv1-mv0.

(1)

由閉合電路歐姆定律得

(2)

由法拉第電磁感應(yīng)定律有

(3)

其中

ΔΦ=Ba2.

(4)

由(1)～(4)式得

-B2a3R=mv1-mv0.

(5)

同理可得線圈完全離開磁場(chǎng)時(shí)有

-B2a3R=mv-mv1.

(6)

由(5)、(6)式得線圈完全進(jìn)入磁場(chǎng)中時(shí)線圈的速度為

2.2 線圈在豎直方向上運(yùn)動(dòng)模型

圖4

例4.如圖4所示,a、b是邊界范圍、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小和方向都相同的兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域,a的下端離水平地面的高度比b高一些．甲、乙是兩個(gè)完全相同的閉合正方形導(dǎo)線框,分別位于a、b的正上方,兩線框的下端離地面的高度相同．兩線框由靜止同時(shí)釋放,穿過磁場(chǎng)后落到地面,下落過程中線框平面始終保持與磁場(chǎng)方向垂直．試比較甲、乙兩線框落地時(shí)間．

解析:設(shè)線框的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，線框離地高度為h,質(zhì)量為m，電阻為R,線框運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，穿入和穿出的時(shí)間為Δt、落地速度設(shè)為v．

對(duì)線框:受重力,穿入和穿出磁場(chǎng)時(shí)受向上安培力,取向下為正方向．由動(dòng)量定理有

mgt-BLΔt=mv.

(1)

由閉合電路歐姆定律有

(2)

由法拉第電磁感應(yīng)定律有

(3)

其中

ΔΦ=2Bl2.

(4)

由(1)～(4)式得

t=mvR+2B2L3mgR.

(5)

乙進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度較大,安培力較大,克服安培力做功多,乙線框中產(chǎn)生的熱量較多．

由動(dòng)能定理有

(6)

由(1)～(6)式得t甲>t乙故乙線框先落地.

3 動(dòng)量定理在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中和雙桿相結(jié)合應(yīng)用模型

在雙桿模型中,一般情況下兩桿是變速運(yùn)動(dòng),兩桿受到的安培力是變力,學(xué)生在解答中有一定的難度,近幾年在高考中較少命題． 但應(yīng)用動(dòng)量定理可以巧妙地解決電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的變力和變速問題．下面為雙桿運(yùn)動(dòng)的兩種模型．

3.1 雙桿長(zhǎng)度不相等類模型

圖5

例5.如圖5所示,光滑平行異形導(dǎo)軌ABCD與abcd,導(dǎo)軌的水平部分BCD處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,BC段導(dǎo)軌寬度為CD段軌道寬度2倍,軌道足夠長(zhǎng).將質(zhì)量相同的金屬棒P和Q分別置于軌道上的AB和CD段,將P棒由水平軌道高為h的地方由靜止釋放,使其自由下滑,求:P棒和Q棒的最終速度．

解析:設(shè)P、Q棒的質(zhì)量為m,長(zhǎng)度分別為2L和L,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,P棒進(jìn)入水平軌道的速度為v．

對(duì)金屬棒P:下落h過程由動(dòng)能定理有

mgh=12mv2.

(1)

則棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為

v=2gh.

(2)

當(dāng)P棒進(jìn)入水平軌道后,切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流.P棒受到安培力作用而減速,Q棒受到安培力作用而加速,Q棒運(yùn)動(dòng)后也將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),與P棒感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)反向,因此回路中的電流將減小.最終達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng)時(shí),回路的電流為零．即

2BLvP=BLvQ.

(3)

設(shè)P棒從進(jìn)入水平軌道開始到速度穩(wěn)定所用的時(shí)間為Δt,I為回路中的電流，取水平向右的方向?yàn)檎较颍?/p>

對(duì)金屬棒P:由動(dòng)量定理得

-2BILΔt=mvP-mv.

(4)

對(duì)金屬棒Q:由動(dòng)量定理得

BILΔt=mvQ-0.

(5)

由(2)～(5)式得P棒和Q棒的最終速度分別為

vP=152gh，vQ=252gh.

2.2 雙桿長(zhǎng)度相等類模型

圖6

例6.(2003年全國(guó)理綜天津卷)如圖6所示,兩根平行的金屬導(dǎo)軌,固定在同一水平面上,磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.50 T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與導(dǎo)軌所在平面垂直,導(dǎo)軌的電阻很小,可忽略不計(jì)．導(dǎo)軌間的距離l=0.20 m．兩根質(zhì)量均為m=0.10 kg的平行金屬桿甲、乙可在導(dǎo)軌上無摩擦地滑動(dòng),滑動(dòng)過程中與導(dǎo)軌保持垂直,每根金屬桿的電阻為R=0.5 Ω．在t=0時(shí)刻,兩桿都處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)有一與導(dǎo)軌平行、大小為0.20 N的恒力F作用于金屬桿甲上,使金屬桿在導(dǎo)軌上滑動(dòng)．經(jīng)過t=5.0 s,金屬桿甲的加速度為a=1.37 m/s2,問此時(shí)兩金屬桿的速度各為多少?

解析:設(shè)任一時(shí)刻t兩金屬桿甲、乙之間的距離為x,速度分別為v1和v2,經(jīng)過很短的時(shí)間Δt,甲桿移動(dòng)距離v1Δt,桿乙移動(dòng)距離v2Δt,回路面積改變?yōu)?/p>

ΔS=[(x-v2Δt)+v1Δt]l-lx=

(v1-v2)lΔt.

(1)

由法拉第電磁感應(yīng)定律,回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

E=BΔSΔt.

(2)

回路中的電流為

i=E2R.

(3)

甲桿的運(yùn)動(dòng)方程為

F-Bli=ma.

(4)

由于作用于甲桿和乙桿的安培力總是大小相等,方向相反．對(duì)甲、乙兩桿:由動(dòng)量定理得

Ft=mv1+mv2.

(5)

由(1)～(5)式解得

v1=12F1m+2RB2F(F-ma),

v2=12F1m-2RB2I2(F-ma).

代入數(shù)據(jù)得v1=8.15 m/s,v2=1.85 m/s.

綜上所述,在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中應(yīng)用動(dòng)量定理解題,使解題過程更加簡(jiǎn)潔、清晰明了，既能培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題、解決問題的能力,又能滿足高校選拔優(yōu)秀人才要求．

1 姜鋼.探索構(gòu)建高考評(píng)價(jià)體系，全方位推進(jìn)高考內(nèi)容改革[N]．中國(guó)教育報(bào)，2016(10)．

2016-11-28)