董德剛

(海南師范大學(xué) 外國語學(xué)院 ，海南 ?？?571158 )

胡夫大金字塔外形設(shè)計圖新探

董德剛

(海南師范大學(xué) 外國語學(xué)院 ，海南 海口 571158 )

論文設(shè)想大金字塔設(shè)計圖是最簡單的正方形外接橢圓幾何圖。在研究了橢圓形在古埃及墓葬建筑等方面有豐富的文化遺存后，著重探討了此蛋形設(shè)計圖是怎么畫、為何如此畫和如何計算等問題。提出設(shè)計制圖過程包含司繩法作圖、尺規(guī)作圖和格網(wǎng)設(shè)計三部分。司繩法作正方形外接橢圓也是尼羅河的禮物之一。巧合的是，此幾何設(shè)計圖可以用比司繩法更精確的尺規(guī)作圖，并輔以既方便畫圖又方便測量的14格網(wǎng)，用于制作塔修造圖和修造尺。大金字塔當(dāng)前傾斜角值為51°50'34"，而非精確的正方形外接橢圓幾何圖計算值51°49'38"(黃金直角三角形)，誤差的根本原因就是格網(wǎng)測量的局限性。這使我們重新認(rèn)識到，本質(zhì)上大金字塔毫無疑問是按黃金比設(shè)計的。

胡夫大金字塔；外形設(shè)計圖；正方形外接橢圓蛋形幾何圖；黃金比；雙正長方形；尺規(guī)作圖；14格網(wǎng)；大金字塔船坑

一、蛋形正方形外接橢圓與大金字塔外形設(shè)計圖

尼羅河谷平坦，每年七月至十月洪水泛濫，河兩岸大片沙土地被水淹沒，稱為泛濫季(Akhet)。金字塔建造一般在此間進行。洪水退去后之十一月至二月，為耕種季(Peret)。被浸泡的田地，沉淀下來一層肥沃淤泥，特別有利于耕種農(nóng)作物。三至六月為收成季(Shomu)。有些田地界限因被洪水沖毀，每年都要重新勘測定賦?；适乙蚨O(shè)有稱為“司繩”(rope-stretcher)的專職測量員。司繩經(jīng)常借助繩子和木棍進行土地測量，期間有可能偶然發(fā)現(xiàn)，把套繩套地上兩木樁并繞一圈畫圖，可畫出一橢圓。這種借助繩棍畫橢圓的方法本文稱作司繩法。以下為正方形外接橢圓司繩法作圖步驟：

于平地畫正方形ABCD，并在兩對邊中點F1、F2打兩木樁(即兩焦點)。兩木樁與正方形一角如D角，構(gòu)成直角三角形⊿DF1F2。繞木樁套以繩套，使繩套周長等于直角三角形⊿DF1F2之周長。而后，司繩以木棍為筆并插入繩套中拉緊，繞兩木樁焦點并過正方形的四角畫一圈，正方形外接橢圓圖就在地上畫好了。正方形縱軸和橫軸線之延線，分別交橢圓弧于G,H, P,P’。GH為橢圓長軸，PP’為短軸。(圖1(左))

如果設(shè)想把這個平面圖直立起來并與原平面圖垂直，立起的P點分別連接平面圖上的ABCD四角，則P-ABCD即為四棱錐。而如果設(shè)想以橢圓長軸GH為中心軸，把正方形外接橢圓旋轉(zhuǎn)180°，平面圖就變?yōu)榱Ⅲw橢圓球了?？此埔幻栋胙谟谏持械牡?或許即禿鷲蛋)，四棱錐立于蛋中心橢圓長軸上，頂著蛋殼。假設(shè)此四棱錐就是大金字塔幾何設(shè)計模型，則正方形ABCD代表塔基，OP為塔高，F(xiàn)1P為塔面三角形高，∠PF1O為塔傾斜角。(圖1(右))

0.636009824≈ 159/250，∠PF1O正切函數(shù)=

0.636009824÷0.5=1.27201965，則∠PF1O=

圖1 大金字塔外形設(shè)計圖——正方形外接橢圓(左)司繩法畫平面圖，(右)蛋形三維圖

大金字塔傾斜角的測量，主要依據(jù)于大金字塔北塔基現(xiàn)存的一段石灰石塔面覆石。派爾林勘測為51°50′。*Vyse, H., Appendix to Operations Carried on at the Pyramids of Gizeh in 1837, London:John Fraser,1840.皮特瑞給出介于51°44′11″到51°57′30″之間的九個測量值，而后確定為51°52′ ±2′。*Petrie, M.W. F., The Pyramids and Temples of Gizeh (with an update by Zahi Hawass), London: Histories & Mysteries of Man Ltd,1990, p.13, 93.另據(jù)Maragioglio & Rinaldli總結(jié)，Cole接受皮特瑞計算的51°50′40″± 1′5″ 作為塔傾斜角均值，Lauer認(rèn)為塔理論值是51°50′35″，J.P.Mayer-Astruc取51°49′43″。另外，塔東的三座皇后塔與大金字塔應(yīng)該是統(tǒng)一設(shè)計的，它們的傾斜角分別是：GI-a為51°50′，GI-b為51°50′和 GI-c為51°40′。*Maragioglio & Rinaldi, L'Architettura, IV,The Funerary Complex of Cheops, Roma:Opera Pubblicata Sotto gli Auspici del Centro per le Antichitàe la Storia dell'Arte del Vicino Oriente,1965, pp.18, 80, 86, 92.以上測量值各不相同，但綜合評價值約在51°50′35″，也即基本處在黃金四棱錐傾斜角計算值51°49′38″可能誤差范圍內(nèi)。或者可以說，在理論上，正方形外接橢圓蛋形圖就是大金字塔外形設(shè)計圖。

現(xiàn)有的等面積、開普勒三角形或黃金比等理論，實質(zhì)上也是基于51°49′38″討論大金字塔的外形設(shè)計，但皆是利用當(dāng)時埃及人可能并不具備的現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識進行的推測，更多的是牽強附會。下文分別論述文化遺存中的橢圓形，并對現(xiàn)有相關(guān)理論進行梳理，再著重探討設(shè)計圖構(gòu)建與計算方法及船坑與設(shè)計圖的關(guān)系。

二、太陽與金字塔及文化遺存中的橢圓形

金字塔與太陽有關(guān)，而橢圓形在古埃及文化中相當(dāng)重要。有關(guān)大金字塔蛋形橢圓幾何設(shè)計圖的元素及橢圓形實物的考古證據(jù)，是碎片式散落在古埃及文化遺存中，但也很豐富。

首先，正方形外接橢圓畫圖具有象征意義。司繩構(gòu)建橢圓時，畫筆與兩焦點形成的尖椎緩緩繞行正方形一周，就如同每天東升西落的太陽于金字塔投于地面的順時針移動的陰影?？捎^察大金字塔之前已建成的彎曲金字塔、紅色金字塔或美杜姆金字塔二期。太陽沿橢圓軌跡巡行天空所發(fā)的光芒，就如同兩焦點與畫筆的連線。太陽運行于正午時，光芒與金字塔融為一體。因此用橢圓于設(shè)計比圓更能象征金字塔與天空、太陽的結(jié)合。另一方面，各種蛋都是橢圓形，最有代表性的是禿鷲蛋(荷魯斯鷹是太陽神的象征)。象征太陽與生命循環(huán)的圣甲蟲，畫像或雕塑的身體及四肢常彎成橢圓形。蛋是孕育新生命的載體，因此橢圓又有孕育新生命的象征意義。頂天巍然而立的四棱錐金字塔如同頂立于象征天空的蛋中。

I.E.S.愛德華茲認(rèn)為金字塔外形代表石砌的太陽的光線。他說，“站在去撒卡拉(Saqqara)路上回眸西望……只見太陽光線投射下來……與大金字塔傾斜角完全相同?！辈⒁督鹱炙摹?Pyramid Texts，the 6thDynasty)第267號云：“升天的臺階已為他鋪好，以便他可由此升上天堂?！庇忠?23號云：“天空的陽光已增強，以便你升天為拉之眼。”愛德華茲還認(rèn)為，埃及文‘金字塔’用M(e)r，含義是‘上升之地’，“或說明金字塔被看作幫助升天的神圣場所。”*Edwards,I.E.S.the Pyramids of Egypt(revised edition), London:Penguin Books,1991, pp.277,281,283.

尺規(guī)作橢圓形圖有以下三件考古實例，說明橢圓形頂對墓室的重要意義。Bochardt(1896)*Borchardt, Zeitschrift für ?gyptische Sprache und Altertumskunde, Journal of the Egyptian Language and Archeology, Vol.34, 1896, pp. 75-6.發(fā)現(xiàn)盧克索神廟(Luxor Amon Temple，建于約公元前1400 年)一面墻壁上繪制有一副橢圓形草圖。(見圖2)法國考古學(xué)家Daressy(1907)發(fā)現(xiàn)“國王谷”9號拉姆西斯六世(Ramses VI，公元前1145—1137年，第二十王朝)其中一墓室的穹頂是橢圓形，設(shè)計圖來自他發(fā)現(xiàn)的刻在室外巖石上的橢圓形圓弧。Daressy認(rèn)為其作圖方法是用繩子和木樁即司繩法畫于地，然后再刻到巖石上的。水平線及橢圓弧上的對稱點是用來測量高度變化，與左塞階梯金字塔出土的石灰石殘片圖數(shù)所用的方法一樣。*George Daressy, Un Tracé Egyptienne d’une Vote Elliptique, ASAE,Vol.8,1908, pp.234-41.瑞士巴塞爾大學(xué)(Universit?t Basel)于2013年3月公布由Susanne Bickel 領(lǐng)銜的考古團隊發(fā)現(xiàn)的一塊石灰石圖板，并宣稱它“是世界上最古老的古埃及日晷”。(見圖3)考古隊認(rèn)為，出土區(qū)為公元前13世紀(jì)墓區(qū)建筑工人住房，距離KV64墓不遠(yuǎn)。*Universit?t Basel, “One of World's Oldest Sun Dial Dug up in Kings' Valley, Upper Egypt.” Science Daily, 14 Mar. 2013. www.sciencedaily.com/releases/2013/03/130314085052.htm.本文研究認(rèn)為，石圖板并非巴塞爾大學(xué)考古隊所認(rèn)為的日晷，因為若輻射線代表日影移動時辰，正午的日影最短，石圖板上何以反而畫線最長？此石圖板所繪部分實為橢圓的二分之一。橢圓的畫法，是以石板底線為邊長的正方形對邊中點為兩焦點，橢圓弧上的任意點到兩焦點的距離和等于正方形對角線。此石繪橢圓圖板更有可能是橢圓形墓室建筑草圖。中心圓洞和放射狀的十一條線，是用作方便用繩尺測量和定位中心圓洞到橢圓弧的距離。但圖上沒有標(biāo)示尺寸數(shù)字，應(yīng)該是廢棄的草圖。此圖板復(fù)原圖是建筑設(shè)計者借助正方形畫橢圓的又一例證。

圖2 (上)Bochardt(1896)所發(fā)現(xiàn)盧克索神廟墻壁繪橢圓。(下)復(fù)原圖① 圖3 圓玉谷KV64墓附近出土公元前13世紀(jì)石灰石圖版復(fù)厚橢圓(原圖據(jù)瑞士巴塞爾大學(xué)發(fā)布照片)

①作圖法:分別以縱中軸上正方形對邊中點為圓心,邊長為半徑,畫圓孤;再以橫中軸上對邊中點為圓心畫圓孤,使與已畫圓孤相切。四圓孤相接,構(gòu)成一副橢圓形。

早期的橢圓形的墓葬。皮特瑞與其助手Quibell于1894年在上埃及尼羅河西岸Nagada及Bellas之間，發(fā)現(xiàn)三千多淺坑葬穴。葬者頭南面西，身體卷曲如胎卵形。稍后Morgan在附近更進一步發(fā)掘，確認(rèn)屬于約公元前3，200年第一王朝創(chuàng)立者那爾邁時期金字塔建造者的墓穴。*Cottrel, L.,The Mountains of Pharaoh, London:Robert Hale Ltd,1956, p.216.此胎卵形葬，反映了早期人們死后復(fù)生信仰和愿望。

標(biāo)準(zhǔn)的馬斯塔巴(Mastaba)的墓形，設(shè)計圖是尺寸簡單的幾何圖即長寬比為2∶1的雙正長方形，理論高與墓長之比也為2∶1，即墓傾斜角正切函數(shù)為4即傾斜角75°57′50″。*Petrie,W.M.F., The Pyramids and Temples of Gizeh(1883),http://www.ronaldbirdsall.com/gizeh/petrie/index.htm, p.138, Sec.103，Mastaba17, Mastaba44; p.140, Sec.110.第三王朝左賽階梯金字塔附近出土石灰石板繪線數(shù)草圖，也是邊長2∶1的雙正長方形外接圓一部分圓弧之?dāng)?shù)字規(guī)律。而且，這種邊長2∶1的雙正長方形頂起大金字塔設(shè)計的半個橢圓弧，是塔內(nèi)外幾何設(shè)計之核心。*有關(guān)第三王朝左賽階梯金字塔附近出土石灰石板繪線數(shù)草圖研究及大金字塔內(nèi)部結(jié)構(gòu)之雙正長方形設(shè)計，作者將另文討論。

橢圓形王名框(cartouche)和金字塔建筑的完善，皆起自第四王朝斯尼夫魯(Sneferu)法老。象形文字所書王及皇家名號，自此始被置于橢圓形王名框中，成為皇家標(biāo)識，一直沿襲到王朝終結(jié)。橢圓框右端用繩子捆以木棍，有時會根據(jù)書寫需要垂直王名框，棍就橫于框底端。王名框之繩索、棍和橢圓形，很容易使人聯(lián)想到司繩法橢圓畫圖，又恰好出現(xiàn)在斯尼夫魯法老的金字塔設(shè)計實驗同一時期。本人推測，早期階段的斯尼夫魯彎曲金字塔及紅色金字塔設(shè)計，很自然的是基于正方形外接圓。但理想宏大且勇于實踐的斯尼夫魯，可能在其晚年發(fā)現(xiàn)了這幅更完美更有意義的正方形外接橢圓幾何圖，即蛋形圖，并將其設(shè)計用于到美杜姆金字塔最后的第三階段的外形設(shè)計，而胡夫大金字塔也沿用此蛋形幾何設(shè)計圖。

三、大金字塔外形設(shè)計假說——等面積、黃金比理論

古埃及數(shù)學(xué)上并無π的概念?！度R茵德紙草算書》(RMP)第48、50題，載有化圓為方的運算，即直徑為9的圓面積等于邊長為8的方的面積。如果按此圓方理論設(shè)計金字塔塔高，塔傾斜角計算值只有51°41′11″，偏離測量值51°50′較多。由此看來，大金字塔建造者似乎并非是按π關(guān)系的化圓為方的方法設(shè)計大金字塔的了。也就是說，泰勒、斯密斯(Smyth,1864, Our Inheritance in the Great Pyramid)等的大金字塔設(shè)計之π理論應(yīng)該是不成立的。只能說，塔基周長與塔高比近似2π，是計算上的巧合，而非有意的設(shè)計。

現(xiàn)存有關(guān)大金字塔設(shè)計與修造的最早文獻，唯有公元前5世紀(jì)古希臘偉大歷史學(xué)家希羅多德(Herodotus，約484年BC -約424年BC)所著《歷史》，其中至關(guān)重要也最具爭議的第2冊第124章記載的一句話是：“(大金字塔)塔基為正方形，每邊(面)有八普勒特拉(plethra)，與高相同。”*Herodotus,“The pyramid itself was twenty years in the making. Its base is square, each side eight plethra, and its height is the same; the whole is of stone polished and most exactly fitted; there is no block of less than thirty feet in length.”這句話根據(jù)泰勒的解釋被概括為 "Herodotus states that the Pyramid was built so that the area of each face would equal the area of a square whose side is equal to the Pyramid's height"(Gardener M, Fads and Fallacies in the Name of Science, New York:Dover Publications,1957, p.178)”.(希羅多德說大金字塔各塔面面積等于以塔高為邊長的正方形面積。)

泰勒認(rèn)為，希羅多德是用最簡潔的一句話概括了大金字塔形狀和尺寸特點，即四塔面各有八普勒特拉(plethra)，塔高也是八普勒特拉。此普勒特拉表示面積，等于100×100希臘單位平方尺，相當(dāng)于埃及單位的阿婁拉(aroura)即10,000皇家平方腕尺。泰勒根據(jù)派爾林的測量計算，塔面三角形面積與以塔高為正方形的面積基本相等。*Fischler,R.,‘What did Herodotus Really Say? or How to Build (a theory of) the Great Pyramid’, Environment and Planning B, 1979, vol.6, pp.89-93. Fischler, “Using the data from the Vyse-Perring survey (Vyse, 1840, p.109), Taylor obtains 21931 m2 and 21943 m2 for the area of a face and the square on the height the modern survey (Cole, 1925) gives 21474 m2 and 21491 m2, which are very close to one another.”另外，派爾林所測塔傾斜角值51°50′，介于以現(xiàn)在π比值計算的傾斜角51°51′14″和以等面積比值計算的傾斜角51°49′46″之間。泰勒認(rèn)為塔傾斜角的此數(shù)學(xué)特點，必然是有意設(shè)計的，不可能是偶然的巧合。他甚至

設(shè)想大金字塔創(chuàng)造者或許兼用π和等面積這兩種數(shù)學(xué)理論進行幾何設(shè)計。*Taylor, J. The Great Pyramid: Why Was It Built？And Who Built It?,London:Cambridge University Press,2014), pp.38-42, 295-296.Taylor,“we have to consider how the measure of eight plethra, if it be true of each face of the pyramid, can be predicated of its height. There is only one way in which the two measures can be reconciled; and that is, by supposing that the historian meant to say that the number of square feet in the measure of each face, and the number of square feet in the measure of the height, are equal, each containing eight plethra. But in this case we must understand him as speaking of the square of the height." (Section37, p.39)(“如果八普勒特拉(plethora)實指塔的一面，我們須考慮怎樣的測量可昭示塔高。只有一種測量方法可使兩者一致；也即，如確如歷史學(xué)家希羅多德所謂每面的(平方)尺數(shù)與塔高的尺數(shù)相等，都是八普勒特拉，則塔高的尺數(shù)應(yīng)理解為指塔高的平方?！?"But each face of the Pyramid contains, as Herodotus says, eight plethra. He is speaking of Egyptian measures. Now that square measure which he calls a plethron, and the Egyptians an aroura, is the square of 100 royal cubits.”(Section39, p.40) (“但希羅多德所說塔面八普勒特拉，普勒特拉實謂埃及度量的阿婁拉(aroura)，即100平方皇家腕尺。”)因此，兩種理論在其書中都保留。但在幾何設(shè)計上，非此即彼，不可能同時兼用兩者。

如果沒有希羅多德那句話，很難想象我們會想到去比較塔高的平方與塔面三角形等面積。等面積說合理原因之一，是當(dāng)時并沒有塔面傾斜角概念，故如此這般面積說，可以讓我們知道具體的塔高與塔面之間的比例；其二，以直線距離的平方等于圓面積的獨特方法，符合古埃及人的有關(guān)思維模式。《萊茵德算書(RMP)》第41、42、43、48、50題有關(guān)求圓面積的方法，皆用直徑89的平方。*Gillings,R.J. Mathematics in the time of the Pharaohs, New York:Dover Publications,1972.He restated: “Subtract from the diameter its one-ninth part, and square the remainder. This is its area.”p.140.因此，塔高的平方，相當(dāng)于以塔高的98為直徑的圓面積。(見圖4)

另有觀點認(rèn)為，大金字塔是按塔高塔基比為

7/512的塞克得方法設(shè)計?！赌箍萍埐菟銜返?4題和《萊茵德紙草算書》第56、57、58、59、60題涉及塞克得(Seked)的計算。*Gillings,R.J., Mathematics in the time of the Pharaohs, p.185.埃及學(xué)家籍此討論金字塔的設(shè)計的塞克得值，即垂高1腕尺(7掌)時水平向距離的掌數(shù)。但考慮到不同的金字塔卻有數(shù)值各異的塞克得，為何用此塞克得而非彼塞克得呢？也很難理解塞克得值有何象征意義。其次，目前所得金字塔塞克得值，皆是基于現(xiàn)存金字塔建筑觀測數(shù)據(jù)，無法確定是修造意圖還是建筑誤差。因此，塞克得算術(shù)題或只具有金字塔計算意義，并非設(shè)計原則和設(shè)計方法。

大金字塔等面積與塞克得兩種理論可集成繪于下圖4中。

把圖4雙正長方形ABCD看作塔基正方形的一半，并畫之以11×5.5格網(wǎng)(為了測塔面三角形高，格網(wǎng)高被延長為9格)。則塔高OP等于7格，△PBC為塔中軸三角形(即塔的立截面)，塞克得(Seked)為75.5，塔傾斜角為51°50′34″(51.843° )。連接長方形ABCD外接圓與中軸的交點即P’B、P’C，△P’BC即塔面三角形，三角形高OP’≈ 8910格，則其面積等于12×11×(8910)= 48.95 ≈ 49=OP2，即根據(jù)格網(wǎng)和塞克得方法計算塔面三角形面積與塔高的平方基本相等。這種以格網(wǎng)、塞克得和奇妙的雙正長方形外接圓方法驗證等面積理論，是一種簡單的逆向作圖法，并沒有回答為何如此這般設(shè)計金字塔。

圖4 大金字塔塞克得與等面積理論集成于雙正長方形及其外接圓圖

有些學(xué)者推之以黃金比理論。Thurnell(1866)是最先把面積相等理論與黃金分割率聯(lián)系起來的英國學(xué)者，他曾嘗試用黃金分割幾何方法復(fù)原設(shè)計圖。Ballard(1882)設(shè)想塔面三角形高與塔基正方形邊長的一半之比為3421，即斐波那契數(shù)列數(shù)(Fibonacci sequence)。其他黃金比理論支持者， 如R?ber認(rèn)為黃金比是埃及金字塔設(shè)計過程的組成部分，而Zeising認(rèn)為黃金數(shù)是自然本質(zhì)，在金字塔上的應(yīng)用是潛意識表現(xiàn)此比例之自然而優(yōu)美。關(guān)于泰勒的等面積理論、黃金分割率的關(guān)系及相關(guān)討論情況，費舍勒有個比較全面的總結(jié)。*Herz-Fischler,R., The Shape of the Great Pyramid, Ontario:Wilfrid Laurier University,2000, pp.93-110.但黃金比理論之謬是顯而易見的，因為黃金比是無理數(shù)，與π理論一樣，并不為當(dāng)時埃及人掌握，也就是說，大金字塔盡管隱含黃金比，卻顯然不是按黃金比數(shù)學(xué)方法設(shè)計的。

圖4中的塞克得與等面積，應(yīng)該只不過是數(shù)學(xué)理論方法，是對設(shè)計或建筑研究的量化結(jié)果，并非原設(shè)計圖作者所用的設(shè)計方法。幾何設(shè)計之塔高值必然是無理數(shù)，塔面三角形高也如此。因此，等面積理論在作圖上完全不具有可操作性，也無法由此還原幾何作圖方法。希羅多德的記述應(yīng)該是早期流傳下來的有關(guān)大金字塔設(shè)計原理的一種理論或解釋，也或許是其之前的大金字塔研究者的數(shù)學(xué)計算結(jié)論。是簡要的設(shè)計特點描述，但并非設(shè)計方案。

塔高平方與塔面三角形面積相等，則意味著塔面與塔基比或塔面三角形高與12塔基邊長之比是黃金分割率。等面積理論和黃金分割率理論，兩者是同一幾何體的不同方面。然而問題是，大金字塔設(shè)計者不可能擁有黃金比及其作圖法和開普勒黃金直角三角形的知識理念，更不可能知曉黃金分割率比值，即便本能覺得如此尺寸比例設(shè)計很自然很美。因此，黃金分割率在設(shè)計中的應(yīng)用也只能是巧合，并非設(shè)計意圖。

那么，設(shè)計者到底是出于什么原因和用什么方法畫出這種幾何關(guān)系的呢？我想，大金字塔設(shè)計初衷，應(yīng)該并不像我們現(xiàn)在這樣特別在意數(shù)學(xué)概念的發(fā)現(xiàn)及應(yīng)用，而是意圖用神圣幾何與大自然的結(jié)合，以象征其建筑合乎天地，從而成為通向復(fù)活永生的門戶、通道和階梯。設(shè)計圖必然是基于對大自然的觀察而畫圖，不可能完全是根據(jù)數(shù)學(xué)計算而設(shè)計。大金字塔設(shè)計思想實質(zhì)，是塔基正長方形和塔高皆外接橢圓，使塔像被置于蛋中。

然而，從建筑施工方面考慮，即使古埃及人確實掌握了以上橢圓司繩畫圖法，也會由于棍、繩等作圖工具及場地的局限性，是很難把橢圓畫精準(zhǔn)，也因而難以保證把短半軸放大為準(zhǔn)確的塔高尺寸。早期的幾何學(xué)家皆以尺規(guī)作圖為原則，大金字塔建造者如果確以幾何設(shè)計金字塔，必然也是以尺規(guī)作圖為神圣。司繩法畫橢圓簡單自然，而Bochardt于盧克索神廟墻壁發(fā)現(xiàn)的那幅橢圓形建筑草圖顯然是用尺規(guī)法即四圓弧拼接而畫。令人驚奇的巧合，正方形外接橢圓恰好可以用畫四個圓弧的方法拼接為近似橢圓(Oval)，即可借助正方形及其外接圓和格網(wǎng)等定位圓心方法，進行尺規(guī)作圖畫橢圓以定橢圓短軸。

因此，大金字塔設(shè)計圖可能要經(jīng)過理論和技術(shù)二步：(第一步圖1所示)，理論上，以司繩法虛擬畫正方形外接橢圓，象征蛋及太陽運行軌跡；第二步，技術(shù)細(xì)節(jié)上，用尺規(guī)幾何作圖和格網(wǎng)設(shè)計定修造尺寸。

四、尺規(guī)和格網(wǎng)法作大金字塔設(shè)計圖與修造尺

司繩法是用棍子和繩子畫正方形外接橢圓幾何設(shè)計圖。拉緊繩并繞兩焦點轉(zhuǎn)動作圖的過程，既看似在模仿金字塔在地面投影的軌跡，又象征太陽的運行。正方形外接橢圓幾何設(shè)計圖上，塔高的平方與塔面三角形面積相等，則必然塔面三角形高與12塔邊之比等于黃金比。塔面三角形及塔立截面三角形為黃金三角形。塔面面積與塔基正方形面積比等于黃金比。實際上，正方形外接橢圓是黃金橢圓，是宇宙中最美麗的幾何圖。

正方形外接橢圓幾何設(shè)計圖可用多種作圖法構(gòu)建。在幾何圖上，傾斜角計算值為51°49′38″(51.827°)，即錐高與底邊之比為0.6360098，以分?jǐn)?shù)表示約為159250。但是，由于數(shù)學(xué)知識的局限，塔建造者是不可能計算出此精確值，而只能用最簡便的格網(wǎng)法得出近似值。設(shè)想大金字塔設(shè)計圖是幾何圖，則意味著先畫圖，再定邊長尺寸，然后再用格網(wǎng)量取塔高尺寸比例。格網(wǎng)是最為簡單而自然的確定邊長與塔高比例的方法，塞克得即可能就源自格網(wǎng)。其次，司繩法作圖尺寸難以畫準(zhǔn)確，故無法據(jù)此定塔高或塔傾斜角。而要作為施工修造圖，須要精準(zhǔn)作圖尺寸。經(jīng)過長期研究，我發(fā)現(xiàn)了以下四種正方形外接橢圓幾何設(shè)計圖尺規(guī)作圖法，其詳細(xì)作圖步驟如下：(見下圖5)

圖5 大金字塔設(shè)計圖之四種尺規(guī)作圖法

(一)14格網(wǎng)法：把正方形ABCD畫以14×14格網(wǎng)，并分別于中心橫線距中心點312格處，定圓心O1、O2，再分別以O(shè)1A、O2D為半徑，畫圓弧AGB和CHD，并分別交橫軸于G、H；然后，分別于正方形縱軸距中心點5格處，定圓心O3、O4，并以O(shè)3B、O4A為半徑，畫圓弧APD和DP’C，并分別交縱軸于P、P’。四圓弧AGB，CHD，APD和DP’C構(gòu)成一副橢圓形，GH為橢圓長軸，PP’為橢圓短軸。再把此格網(wǎng)沿塔高延伸兩格，塔高頂點就在約8910格(實際計算8.892格，比按幾何值計算塔高=14×0.6360098 = 8.904格少0.012格，是近似橢圓)，則傾斜角正切函數(shù)為8910格塔高與7格即邊長的二分之一之比，即傾斜角為51°48′52″(51.814°)，比幾何值略小。此作圖法最令人驚奇的是，圓弧圓心O3、O4似乎恰好在距中心五格與六格的交接角上。

(二)小正方形定圓心法：在正方形ABCD中心作其四分之一的小正方形及其外接圓。O1,O2分別為正方形ABCD中線F1F2之14、34點，O3,O4分別為小正方形外接圓與縱軸的交點。分別以O(shè)1,O2為圓心AO1，DO2為半徑畫圓弧AGB，CHD；再分別以O(shè)3,O4為圓心BO3，AO4為半徑畫圓弧BP’C，APD。四圓弧在正方形ABCD四角交匯，構(gòu)成封閉的橢圓形。實際計算8.899格，比按幾何值計算塔高少0.005格，也是近似橢圓。

(三)雙圓定橢圓長短軸法：以正方形橫中線F1F2之12點O1為圓心，O1A為半徑畫圓，圓交OF1于a，再以F1為圓心，F(xiàn)1a為半徑畫圓，交正方形縱軸線于P、P’，交橫中軸線于G、H。OP為橢圓短半軸，OG為橢圓長半軸。此法無需畫橢圓，定塔高準(zhǔn)確。

(四)雙正長方形及其外接圓定塔面三角形法：作雙正長方形(Double Square)ABCD之外接圓，圓與長方形縱軸交于P，連接PB、PC，△PBC即塔面黃金等腰三角形。把四個與此相等三角形，底邊、頂點與腰兩相拼一起，可以搭一座標(biāo)準(zhǔn)黃金金字塔設(shè)計圖模型。此法無需定塔高。

以上四法中，14格網(wǎng)法最具有可操作性，因此最有可能為原設(shè)計用輔助方法。自中王國(the Middle Kingdom)以后，格網(wǎng)被廣泛用于人體繪畫和雕刻等的模板(cannon)。有些學(xué)者也用之于算術(shù)及大金字塔設(shè)計圖研究?！度R茵德算書》(RMP)問題48、問題50有關(guān)求面積方法，Engels教授解之以18格網(wǎng)。*Hermann Engels, Quadrature of the Circle in Ancient Egypt, Historia Mathematica .no.4,1977, pp.137-140.John Romer 設(shè)想6格網(wǎng)作為金字塔設(shè)計框架。*Romer, J. The Great Pyramid Ancient Egypt Revisited,Cambridge University Press,2007, pp.64,65,217,454.Christopher Bartlett認(rèn)為大金字塔是按人體比例格網(wǎng)模板設(shè)計的。*Christopher Bartlett, ‘The Design of The Great Pyramid of Khufu’, Nexus Network Journal，Volume 16, Issue 2, August 2014,pp. 299-311.尺規(guī)法畫好的幾何設(shè)計圖是未知尺寸比例，如作畫對象的物體或人體一樣。埃及人當(dāng)時還沒有掌握幾何計算方法，只有用格網(wǎng)對圖進行按比例放大或縮小。格網(wǎng)是最簡單自然的方法，而且14格網(wǎng)與設(shè)計圖作圖是相輔相成的。

選擇不同的正方形邊長格網(wǎng)數(shù)，在設(shè)計圖上塔高頂點定位取值難易度會不同，依據(jù)是塔高頂點所在的一格，是否容易被再細(xì)分。根據(jù)計算，有些邊長格網(wǎng)數(shù)使塔高比較容易被再細(xì)分。如正方形邊長用8格網(wǎng)，計算塔高是5.088格即約5110格；邊長11格網(wǎng)，塔高6.996格即約7格；邊長14格網(wǎng)，塔高8.904格即約8910格；邊長15格網(wǎng)，塔高9.54格即約912格。但是，用另外一些邊長格網(wǎng)數(shù)，塔高頂點所在最后一格就不易再細(xì)化為簡單整數(shù)或分?jǐn)?shù)。如邊長9格網(wǎng)塔高5.724格；邊長10格網(wǎng)塔高6.36格；邊長12格網(wǎng)高7.632格等等。用這種格網(wǎng)測塔高自然不方便不易準(zhǔn)確。

用14格網(wǎng)輔助作圖有顯而易見的優(yōu)勢：其一，塔高頂點定位相對簡單而準(zhǔn)確。其二，格網(wǎng)數(shù)14×14=7×28，與皇家腕尺度量體系一致(1腕尺=28指=7掌，1掌=4指)。其三，便于計算。按新腕尺測量塔基邊長為444腕尺，則14格網(wǎng)每格為888指或222掌。*大金字塔皇家腕尺=0.5188米。有關(guān)此腕尺值的研究將另文討論。其四，最重要的是便于制作修造尺。如圖5(一)正方形D角與P點到橢圓兩焦點的直線構(gòu)成的直角三角形⊿F2DD’，其兩直角邊格數(shù)之比是7512，斜邊又恰好等于塔高OP。此三角形很容易使人聯(lián)想到皮特瑞教授所謂大金字塔的升伸(rise-run)比7512。*Petrie,W.M.F. & Hawass,1990,p.93.特別重要的是，它可以方便的用來制作修造尺，極有利于建筑施工。如果按兩直角邊升伸比7512計算，塔傾斜角值為51°50′34″(51.843°)，比較接近測量值。下圖6是根據(jù)圖5(一)格網(wǎng)升伸比7512，并參照埃及石匠常用建筑尺而設(shè)計的大金字塔修造尺模型。

圖6 (左)出土A形建筑尺(圖據(jù)John F. Lamb Jr.，p.166)⑤(右)多用A形修造尺(7512掌)設(shè)計圖——直尺、直角尺、水平尺、大金字塔傾斜角測量尺

圖6(左)是出土于第19王朝第3位法老偉大的拉姆西斯二世(Rames II，1279-1213BC)的建造工程師Sen-nedjem墓中的修造尺。*John F. Lamb Jr., ‘Two Egyptian Construction Tools’,The Mathematics Teacher, Vol. 86, No. 2 (February 1993), pp. 166-167.拉姆西斯二世被認(rèn)為是所有法老中最偉大的建造者，他在阿布辛貝(Abu Simbel)建有兩座巨大的巖石神廟。另外，開羅博物館(Cairo Museum)也收藏有A形水平尺(編號4214,4215)、垂直尺(編號4217)和直角尺(編號4216)。*Lehner, M., The Complete Pyramids,London:Thames&Hudson,1997, p.210.A形尺工具主要用作幫助建筑立正和找平，但無法測量金字塔傾斜角，我們是否可據(jù)此A形尺推斷出金字塔傾斜角修造尺呢？

圖6(右)是根據(jù)大金字塔設(shè)計圖所示升伸比(圖5(一))，把均長的A形水平尺尺腿，按升伸比7∶512調(diào)整為一長一短尺腿，就制成一把多用尺，即可用作直尺、直角尺、水平尺、最重要的是大金字塔傾斜角校正尺。測量時，把兩尺腳(長腿向下)放置于覆石斜面，吊墜線壓過橫桿上設(shè)定的點，則覆石面即為設(shè)計傾斜面。測量水平面時，吊墜線穿過橫桿設(shè)定的水平線點。

五、大金字塔船坑位置與蛋形設(shè)計圖

大金字塔塔南掩于圍墻下的兩船坑，于1954年由埃及建筑及考古家馬拉克(Kamal el-Mallakh)發(fā)現(xiàn)，并由尤瑟夫·馬斯塔法(Ahmed Youssef Mustafa)負(fù)責(zé)，把被分解的1，224船部件成功組裝出復(fù)原船。東西兩船坑間隔3.35米，其中心線在塔南北中軸線的延線上。中軸線西為#1船坑，線東為#2船坑。

在格網(wǎng)設(shè)計圖上，把塔基14×14設(shè)計格網(wǎng)再向外延伸兩格覆蓋塔高部分，則兩南船坑北沿到塔南基腳的距離為1格+1腕尺，即916指或16.4532 +0.5188=16.972米。此距離與塔北入口距地面垂直高度一樣，也與國王墓室寬+室對角線的距離一致，也與大金字塔外形設(shè)計畫橢圓時，繩子在正方形兩角形成的直角三角形一致。

據(jù)本文發(fā)現(xiàn)的正方形外接橢圓外形設(shè)計圖對船坑設(shè)計意圖判斷，與以上學(xué)者的推測不同。在下圖7中，塔東殯殿南北的兩船坑(#3，#4)都在橢圓框內(nèi)，也在南北向的橢圓圓弧上。兩船形船坑船向南北，與塔內(nèi)部通道走向一致，應(yīng)該是運載法老木乃伊過尼羅河及葬儀用船停泊坑?；屎笫摇跏抑兴^空氣通道也是南北走向，因此兩船坑或也為法老卡巴乘用船停泊坑。

塔基南邊的#1、#2兩船坑(國王室與地下室在塔內(nèi)位置也是中軸偏南)之功能是使船復(fù)活的船的墓室，船是復(fù)活的法老與太陽神巡游天空的太陽船。理由有三：一是船墓室是用精細(xì)的尺寸和巧妙的幾何設(shè)計；二是船室位置，在塔南并且在司繩作圖畫設(shè)計圖橢圓的兩條頂點到兩焦點的線上，看似置于塔面及所象征的太陽光線上；三是復(fù)原木船的尺寸設(shè)計是根據(jù)塔幾何設(shè)計圖，而且船被拆解和密封，是組合而復(fù)活的象征。限于篇幅，關(guān)于此船坑的尺寸和巧妙的幾何設(shè)計將另文討論。

最東邊的#5船形船坑的西臺階交于橢圓框，似乎是船隨太陽東升西落沿橢圓框巡游并在夜間從地下沿下橢圓弧回到地面。是太陽船白天的起點和夜晚巡游的終點，如同碼頭。

因此，東西船向的三船坑(#1、#2 )，應(yīng)該是法老復(fù)活轉(zhuǎn)化為太陽神后，乘之隨太陽神拉(Ra)沿橢圓框往來巡游天空及地下的太陽船。希羅多德記述“(金字塔)所在為尼羅河引水的運河環(huán)繞，像是一座島”。*Herodotus，“… and the underground chambers, which Cheops intended as vaults for his own use; these last were on a sort of island, surrounded by water introduced from the Nile by a canal.”The Histories,Translated by George Rawlinson, http:∥classics.mit.edu /Herodotus/history.1.i.html這些船環(huán)繞大金字塔巡游的設(shè)計理念或是此傳說的最好注解。另外，Reisner在清理#5船坑時候，在坑內(nèi)發(fā)現(xiàn)繩索和鍍金的木頭碎片。Maragioglio & Rinaldi發(fā)現(xiàn)，#5船坑壁有放置橫木的凹槽，說明坑中似乎曾泊有豪華的木船。*Petrie,W.M.F. & Hawass, 1990, p.114.

圖7 大金字塔五船坑在設(shè)計圖上的位置關(guān)系 (圖底版據(jù) Maragioglio & Rinaldi, pl.1,fig.1, 1965)

六、結(jié)論

本文探討了最簡單的蛋形正方形外接橢圓大金字塔幾何設(shè)計圖是怎么畫、為何如此畫和如何計算問題。

大金字塔蛋形設(shè)計圖有五種作圖方法：一種司繩法，四尺規(guī)法。修造圖是司繩法結(jié)合尺規(guī)法和格網(wǎng)設(shè)計而成。

設(shè)計圖所反映的大金字塔設(shè)計思想，是設(shè)想塔立蛋中，上頂?shù)靶螆A弧天空，下半掩于吉薩高地。構(gòu)建蛋的方法系畫正方形外接橢圓?？赡苡伤鼓岱螋斣诿蓝拍方鹱炙诖_定設(shè)計圖，也極有可能胡夫負(fù)責(zé)設(shè)計和建造。設(shè)計理念基于觀察太陽每天在金字塔(當(dāng)時已建彎曲金字塔、紅色金字塔及美杜姆金字塔二期)投下的沿橢圓形移動的塔影，再觀察太陽的光芒及太陽在太空的運行軌跡，也觀察代表生命孕育與新生的蛋。如同伏羲創(chuàng)八卦時之仰觀俯察遠(yuǎn)求近取。設(shè)計圖使人想象塔整體被包在一枚半掩地平線的優(yōu)美巨蛋中，橢圓弧把塔基四腳和塔尖皆聯(lián)通一起，渾然一體。塔像是頂天立地于中心，太陽沿象征天空的蛋形橢圓框運行?；蛞虼?，大金字塔俗稱“胡夫的地平線(Khufu's Horizon)”。正方形外接橢圓幾何設(shè)計圖，揭示了金字塔的象征意義及建筑思想精髓。

π、塞克得、等面積說和φ理論，皆非原固有塔設(shè)計思想?！度R茵德算書》等古算書有關(guān)金字塔計算的塞克得，是金字塔設(shè)計上的技術(shù)性方法，或用作制不可或缺的修造尺。泰勒謂希羅多德有關(guān)大金字塔記載為等面積理論。理念上與埃及古算書載求圓面積法(非π方法，而是化圓為方即直徑89的平方)有相通之處。但二者所得的都是近似值。如設(shè)塔高為7，底邊的一半為512，則塔面高約8910，計算塔面面積 = 512×8910=97920= 48.95≈ 72。如果直角三角形之長直角邊或升的平方即b2=ac，則此三角形即開普勒三角形(Kepler’s Triangle)，也即黃金三角形。無論是用升伸比或塞克得512，還是等面積說和φ理論，從幾何設(shè)計圖來說都只是近似值。相互矛盾之處是，既然已經(jīng)用了簡單的塞克得方法，還有必要用等面積說和φ理論嗎？

如果完全按正方形外接橢圓幾何圖設(shè)計修造大金字塔，并設(shè)塔基邊長為1，則塔面三角形面積等于塔高的平方，等于18+1)。塔面三角形高與12正方形邊長之比、塔面面積與塔底面積之比、橢圓長軸或橢圓短軸的平方與正方形邊長之比等等皆是黃金比即φ=12+1)=1.61803399。

理論上，蛋形設(shè)計圖是用正方形外接橢圓司繩法作圖；技術(shù)上，蛋形設(shè)計圖變?yōu)樾拊靾D的關(guān)鍵，是發(fā)現(xiàn)了尺規(guī)法作正方形外接橢圓圖和發(fā)現(xiàn)了幾何圖設(shè)計用14格網(wǎng)兩大巧合。尺規(guī)法可確保作圖的方便和精確，14格網(wǎng)設(shè)計可確保測量的相對準(zhǔn)確及制作修造尺的方便。即一方面在延伸的14格網(wǎng)上取8910格測量塔高，另一方面通過14格網(wǎng)所定升伸比7512制作大金字塔修造尺。由于當(dāng)時數(shù)學(xué)水平的局限，修造者只好用格網(wǎng)測量和比例法得出塔高值。精確度取決于作圖技術(shù)和方法。由此所得是技術(shù)性的格網(wǎng)設(shè)計傾斜角值51°50′34″，而不可能得出正方形外接橢圓設(shè)計圖之傾斜角理論值51°49′38″。但我們?nèi)匀徽J(rèn)為，塔設(shè)計者有意無意間最先發(fā)現(xiàn)了宇宙間最美最自然的黃金幾何圖，因而也可以說大金字塔是黃金比金字塔。

設(shè)計圖上塔尖到正方形邊部分與正方形邊長之比為17125。但也可能根據(jù)在格網(wǎng)上的塔面高約8910，計算得出此部分高寬比為19140。此比值用于#2坑出土復(fù)原船的長寬比，#3船坑的長深比等。

大金字塔五船坑的功能。根據(jù)它們在蛋形設(shè)計圖上的位置推測，胡夫殯廟左右兩南北向船形坑與塔內(nèi)部通道走向一致，也皆在蛋內(nèi)，應(yīng)該是葬儀、木乃伊及胡夫卡巴巡游用船。東南#3船坑是白天用，東北#4船坑是夜巡。東西向三船坑及#2船坑出土復(fù)原船，是法老復(fù)活永生后與太陽神一起巡游用太陽船。#2船坑船用于晝巡于天，還未公開的#1船坑船用于夜航與地。#1、#2船坑是使船復(fù)活的墓室，#5船坑如同船的碼頭。

(責(zé)任編輯：胡素萍)

A New Approach to the Exterior Design of the Great Pyramid of Khufu

DONG De-gang

(SchoolofForeignLanguages,HainanNormalUniversity,Haikou571158,China)

The design of the Great Pyramid is assumed to be the geometry of a square and its circumscribed ellipse, like an egg when it revolved on the major axis. Such questions as how and why the geometry was constructed and calculated are discussed in this paper. The design could be composed of the rope-stretcher’s construction (a gift of the Nile’s annual inundation), constructed with the ruler and the compass, and the square grid. Without geometrical calculations, 14×14 square grids have turned out to be natural, convenient and appropriate in the geometric construction, measurement and production of the construction tool for the Great Pyramid. The reason for the measured slope angle being 51°50′34″ as opposed to the geometry angle of 51°49′38″ is the unavoidable inaccuracy of the must-use square grids. It is concluded that the intended geometric design was an unconscious golden-sectional pyramid.

the Great Pyramid of Khufu; the exterior design; a square and its circumscribed ellipse; golden ratio; double squares, 14×14 square grids; boat pits

2016-11-2

董德剛(1965- )，男，河南桐柏人，海南師范大學(xué)外國語學(xué)院講師，碩士，主要研究方向：英語，埃及學(xué)，易學(xué)。

K878.8

A

1674-5310(2017)01-0076-11