李菁

[摘 要] 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，把對(duì)數(shù)學(xué)推理的理解從狹隘的解題運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)層面，拓寬到數(shù)學(xué)與生活相聯(lián)系的智慧層面，是讓學(xué)生真正形成數(shù)學(xué)推理能力的關(guān)鍵. 數(shù)學(xué)教師需要對(duì)推理經(jīng)驗(yàn)理解進(jìn)行梳理，并上升到理論層面，這需要從兩種基本形式把握數(shù)學(xué)推理的實(shí)質(zhì)，并通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)與問(wèn)題解決來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)推理；經(jīng)驗(yàn)理解；智慧實(shí)施；培養(yǎng)途徑

“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式. ”這是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》對(duì)數(shù)學(xué)推理所作出的界定. 對(duì)這個(gè)界定有兩層理解：

（1）推理是思維方式；

（2）推理在學(xué)習(xí)與生活中經(jīng)常使用.

因?yàn)閿?shù)學(xué)推理形成于數(shù)學(xué)課堂而延伸于學(xué)生生活，因此數(shù)學(xué)推理是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分，這是一個(gè)基本的認(rèn)識(shí).

實(shí)際教學(xué)中，由于數(shù)學(xué)推理的普遍存在——利用數(shù)學(xué)知識(shí)解題，常常有著豐富的推理過(guò)程，因此教師對(duì)數(shù)學(xué)推理的理解與實(shí)施常常是經(jīng)驗(yàn)性的，而這個(gè)經(jīng)驗(yàn)通常又只是在純粹的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)與解題運(yùn)用中形成，因此經(jīng)驗(yàn)的理解必然帶有狹隘性，真正能從數(shù)學(xué)走向生活的推理其實(shí)并不多見(jiàn).

據(jù)此，筆者以為，數(shù)學(xué)推理要從經(jīng)驗(yàn)的角度走向智慧的實(shí)施. 本文試以初中數(shù)學(xué)教學(xué)為例，略談筆者的淺顯觀點(diǎn)與做法.

數(shù)學(xué)推理的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)與智慧理解

經(jīng)驗(yàn)視角下，數(shù)學(xué)推理是基于數(shù)學(xué)邏輯從一個(gè)命題獲得另一個(gè)命題的過(guò)程，比如最簡(jiǎn)單的“兩直線平行，同位角相等”這一命題，就是一個(gè)帶有邏輯推理的命題，因?yàn)閮芍本€平行，所以同位角相等，“因?yàn)椤浴本褪且环N邏輯關(guān)系. 同時(shí)，這個(gè)命題又是相關(guān)問(wèn)題解決的推理依據(jù)，即因?yàn)閮芍本€平行，同位角相等，所以……在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，像這樣的推理比比皆是. 我們不妨從學(xué)生的學(xué)習(xí)感受角度來(lái)看學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)推理的態(tài)度. 可以發(fā)現(xiàn)，相當(dāng)一部分學(xué)生因?yàn)楦杏X(jué)數(shù)學(xué)抽象、難學(xué)，因而感覺(jué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并無(wú)太多的樂(lè)趣，在這種情況下可以斷定，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)推理沒(méi)有多大興趣. 而事實(shí)上，數(shù)學(xué)推理是數(shù)學(xué)最基本的特征之一，是數(shù)學(xué)學(xué)科異于其他學(xué)科的重要表現(xiàn)之一. 數(shù)學(xué)推理之所以沒(méi)有獲得學(xué)生的興趣，很大程度上是因?yàn)閿?shù)學(xué)教師沒(méi)有用更好的形式來(lái)實(shí)施數(shù)學(xué)推理教育，而其本質(zhì)原因是因?yàn)榻處煂?duì)數(shù)學(xué)推理的理解過(guò)于經(jīng)驗(yàn)化.

與經(jīng)驗(yàn)理解相對(duì)的是智慧理解. 這里倒不是說(shuō)經(jīng)驗(yàn)與智慧是對(duì)立的，事實(shí)上，經(jīng)驗(yàn)常常是智慧的源泉，但是囿于經(jīng)驗(yàn)則與智慧的距離會(huì)越來(lái)越遠(yuǎn). 而筆者所理解的智慧理解，實(shí)際上也不外乎理論與實(shí)踐的結(jié)合. 筆者總認(rèn)為，作為數(shù)學(xué)教師，需要對(duì)一些基本概念進(jìn)行理論上的把握，像數(shù)學(xué)推理這樣重要的數(shù)學(xué)概念，需要理解其內(nèi)涵與外延，需要從具體的實(shí)例、概念角度建構(gòu)對(duì)其的理解.

理論研究表明，數(shù)學(xué)推理其實(shí)與判斷、命題等基本概念相關(guān). 所謂判斷，是指對(duì)客觀事件作出肯定或否定的思維形式；所謂命題，就是表示判斷的語(yǔ)句. 這樣的理論其實(shí)并不復(fù)雜，因?yàn)闊o(wú)論是面對(duì)數(shù)學(xué)命題還是生活中的事物，人們總會(huì)有肯定或否定的想法，也總會(huì)通過(guò)語(yǔ)言（語(yǔ)句）表達(dá)出來(lái)，于是判斷與命題就是學(xué)習(xí)或生活中的常見(jiàn)情形. 于是數(shù)學(xué)推理也就有了學(xué)科和生活意義. 在學(xué)習(xí)或生活中，基于一個(gè)或幾個(gè)命題，推出新的命題的過(guò)程就是數(shù)學(xué)推理的過(guò)程，這樣的理解異于經(jīng)驗(yàn)性的理解，因?yàn)槠涓吒爬ㄐ?，而這恰恰是理論的價(jià)值. 進(jìn)一步的理念研究表明，數(shù)學(xué)推理本身就是一種數(shù)學(xué)思想，也是一種數(shù)學(xué)方法，其在數(shù)學(xué)學(xué)科中的價(jià)值體現(xiàn)為服務(wù)于數(shù)學(xué)證明，在生活中的價(jià)值體現(xiàn)為服務(wù)于學(xué)生對(duì)生活事物的觀察與判斷.

這里不妨來(lái)看看當(dāng)前初中生在生活中運(yùn)用推理的能力. 仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)悖論：一個(gè)數(shù)學(xué)極為優(yōu)秀的學(xué)生可以在數(shù)學(xué)證明題中給出嚴(yán)絲合縫的證明過(guò)程，但在生活中卻有可能對(duì)一件簡(jiǎn)單的事物做出完全不合邏輯的判斷，譬如在聊天終端中對(duì)明明有邏輯漏洞的信息的轉(zhuǎn)發(fā)等. 這說(shuō)明學(xué)生從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成的推理能力其實(shí)并沒(méi)有有效遷移到生活中. 在筆者看來(lái)，這樣的數(shù)學(xué)推理教學(xué)即使不能說(shuō)是無(wú)效的，至少也是不完整的.

初中階段的數(shù)學(xué)推理教學(xué)，需要追求從數(shù)學(xué)到生活的完美演繹.

從推理的基本形式認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)推理

初中數(shù)學(xué)中的推理有合情推理與演繹推理兩種基本形式，合情推理在生活中其實(shí)非常常見(jiàn)，可以說(shuō)人們?cè)谏钪兴鞒龅拇蟛糠峙袛嗥鋵?shí)都是合情推理的結(jié)果，因?yàn)楹锨橥评碜罨镜奶卣骶褪瞧渑袛噙^(guò)程邏輯性未必很強(qiáng)，其判斷結(jié)果也未必準(zhǔn)確. 盡管如此，合情推理在生活以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用卻非常大，因?yàn)楹锨橥评砥鋵?shí)是人們利用歸納或者類比的辦法，借助生活或?qū)W習(xí)經(jīng)驗(yàn)做出的直覺(jué)性判斷，其價(jià)值正在于為“必然性”提供“或然性”基礎(chǔ). 而演繹推理則不同，其有著嚴(yán)格的推理程序，其結(jié)果具有必然性. 合情推理與演繹推理之間有著相輔相成的關(guān)系，數(shù)學(xué)教學(xué)讓這種關(guān)系體現(xiàn)得越明顯，那教學(xué)過(guò)程就越有效，學(xué)生也就越有可能獲得數(shù)學(xué)智慧.

如教學(xué)“利用‘合并同類項(xiàng)和‘移項(xiàng)解一元一次方程”時(shí)，人教版教材提供了中亞細(xì)亞數(shù)學(xué)家阿爾—花拉子米的一本《對(duì)消與還原》的書(shū)籍，并以“對(duì)消”與“還原”為關(guān)鍵詞引出了本課題. 從學(xué)習(xí)過(guò)程角度來(lái)看，學(xué)生的思維會(huì)在這兩個(gè)關(guān)鍵詞的引導(dǎo)之下逐步發(fā)展，而在具體事例提出之后，學(xué)生的數(shù)學(xué)推理過(guò)程常常是兩種思維方式并存. 如教材給出的例題是：某校三年共買(mǎi)計(jì)算機(jī)140臺(tái)，去年購(gòu)買(mǎi)計(jì)算機(jī)的數(shù)量是前年的2倍，今年購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量又是去年的2倍，前年這個(gè)學(xué)校購(gòu)買(mǎi)了多少臺(tái)計(jì)算機(jī)？根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生剛剛接觸到這個(gè)例題的時(shí)候，第一反應(yīng)往往是根據(jù)其中的倍數(shù)關(guān)系及自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)去“計(jì)算”，這個(gè)計(jì)算過(guò)程又不是嚴(yán)格地用算式去計(jì)算，而帶有試錯(cuò)的意味. 不少學(xué)生會(huì)用一個(gè)數(shù)字去嘗試，然后根據(jù)嘗試結(jié)果進(jìn)行修正. 這樣的思維過(guò)程其實(shí)很具跳躍性，正是合情推理的產(chǎn)物. 而待到教師引導(dǎo)學(xué)生從方程的角度去思考，利用未知數(shù)去建立等式的時(shí)候，則又是方程思想演繹的產(chǎn)物. 在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中，筆者以為需要給足學(xué)生時(shí)間，先讓學(xué)生多做一些試錯(cuò)的合情推理，然后給出方程解決問(wèn)題的思路，這樣可以讓學(xué)生對(duì)兩種推理方式都有充分體驗(yàn).

讓學(xué)生同時(shí)體驗(yàn)合情推理與演繹推理，無(wú)疑可以促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，因而可以認(rèn)為是智慧的教學(xué). 事實(shí)上，如果從數(shù)學(xué)史中發(fā)現(xiàn)合情推理與演繹推理的價(jià)值，可以發(fā)現(xiàn)在人們提出“三段論”（演繹推理的基本形式）之前，人們所用的推理方式多是合情推理，而在“三段論”被提出之后，數(shù)學(xué)及其研究就進(jìn)入了理性時(shí)期，進(jìn)入了邏輯時(shí)期，因此“三段論”常常被認(rèn)為是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)具有劃時(shí)代意義的理論. 而學(xué)生的思維發(fā)展其實(shí)與歷史發(fā)展經(jīng)常具有某種相似性，初中數(shù)學(xué)是學(xué)生從合情推理進(jìn)入演繹推理的重要時(shí)期，是默會(huì)的合情推理進(jìn)入顯性的演繹推理的重要階段. 筆者以為，初中階段的數(shù)學(xué)推理教學(xué)，一定要堅(jiān)持從生活中來(lái)，到生活中去的思路，既要充分利用好學(xué)生在生活中形成的合情推理能力，并在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生能在合情推理與演繹推理之間有效轉(zhuǎn)換，還要最終將這種推理能力反映到生活當(dāng)中，這樣，學(xué)生的推理能力就能在數(shù)學(xué)課堂上開(kāi)花，在數(shù)學(xué)課堂之外結(jié)果，這才是真正有效的數(shù)學(xué)推理教學(xué).

學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力形成的基本途徑

在初中階段要幫學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)推理能力，筆者以為有如下兩個(gè)基本途徑：

一是精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng). 當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)不是知識(shí)的傳遞，尤其是對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，數(shù)學(xué)活動(dòng)已經(jīng)成為學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的重要方式. 但需注意的是，本文所說(shuō)的數(shù)學(xué)活動(dòng)并不強(qiáng)調(diào)“活動(dòng)”的形式，而是強(qiáng)調(diào)“活動(dòng)”背后的思維含量，即強(qiáng)調(diào)合情推理與演繹推理有充分的用武之地，這也是數(shù)學(xué)活動(dòng)保持?jǐn)?shù)學(xué)味的關(guān)鍵. 方程教學(xué)中可基于等量關(guān)系到生活中尋找學(xué)生熟悉的事例，函數(shù)教學(xué)中基于數(shù)形結(jié)合過(guò)程的設(shè)計(jì)讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)是如何通過(guò)數(shù)與形去描述函數(shù)特征的，這才是數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)所在.

二是豐富數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程. 問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最核心的內(nèi)容之一，問(wèn)題解決的過(guò)程就是學(xué)生運(yùn)用推理解決問(wèn)題的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的回憶、挑選與運(yùn)用是演繹推理運(yùn)用的關(guān)鍵環(huán)節(jié)；而在此過(guò)程中，學(xué)生的合情推理往往又會(huì)發(fā)揮先導(dǎo)性作用. 這種具有跳躍特征的推理形式，往往是學(xué)生尋找解題方向的關(guān)鍵. 根據(jù)筆者對(duì)所教初一至初三十幾位優(yōu)秀學(xué)生的跟蹤發(fā)現(xiàn)，這些學(xué)生在遇到復(fù)雜問(wèn)題的時(shí)候，往往都是靠合情推理去尋找解題思路，而演繹推理更多的是幫他們判斷合情推理是否正確的后續(xù)環(huán)節(jié).

最后需要強(qiáng)調(diào)的是，推理能力的培養(yǎng)需要貫穿整個(gè)初中階段，如果仔細(xì)分析可以發(fā)現(xiàn)，幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)其實(shí)都有數(shù)學(xué)推理的機(jī)會(huì)，就看教學(xué)中如何根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況去判斷與把握了.