馮興進(jìn)　肖勁森

【摘要】 在觀摩初中“銳角三角函數(shù)”同課異構(gòu)實(shí)際教學(xué)的基礎(chǔ)上，就現(xiàn)行人教版數(shù)學(xué)教材對(duì)初中“銳角三角函數(shù)”一節(jié)的內(nèi)容設(shè)計(jì)和教師的實(shí)際教學(xué)進(jìn)行討論，并給出相應(yīng)的改進(jìn)方案，供各方數(shù)學(xué)教育工作者比較、參考.

【關(guān)鍵詞】 人教社；銳角；三角函數(shù)；教材；教法

【資金項(xiàng)目】 廣東省高等學(xué)校優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)計(jì)劃資助項(xiàng)目（NO.YQ2015117）.

一、引言部分

目前初中數(shù)學(xué)課堂普遍存在受考試指揮棒支配的現(xiàn)象，教師懼怕自己帶的學(xué)生考試成績(jī)掉下來(lái)，義無(wú)反顧地沿用傳統(tǒng)的教學(xué)方式——教學(xué)過(guò)程中重結(jié)論輕過(guò)程，然后，重復(fù)演練大量與考試同類型的題目.在新授課中，教師大多將數(shù)學(xué)作為一個(gè)已有的結(jié)論進(jìn)行傳授，學(xué)生唯一有機(jī)會(huì)進(jìn)行的思維活動(dòng)就是解決教師為他們所安排的應(yīng)用問(wèn)題.當(dāng)下，為了培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維，更是受新課標(biāo)的理念影響，一些教材以及部分一線教師漸漸地嘗試設(shè)計(jì)一些探究式教學(xué).數(shù)學(xué)探究式教學(xué)就是一種以數(shù)學(xué)問(wèn)題探究為主的教學(xué)方式.具體地說(shuō)是指學(xué)生在教師所創(chuàng)設(shè)的情境下，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、調(diào)查、信息搜索、合作與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，并經(jīng)過(guò)反思與重組而構(gòu)建新知識(shí)，發(fā)展情感與態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生用歸納、類比和猜想等合情推理的方法探究數(shù)學(xué)結(jié)論，用演繹推理的方法對(duì)結(jié)論做出證明，最后，對(duì)結(jié)果和解決問(wèn)題的思維過(guò)程進(jìn)一步的反思與交流.

銳角三角函數(shù)一節(jié)屬于數(shù)學(xué)概念課.正如文[2]所說(shuō)，任何一個(gè)重要概念都應(yīng)該說(shuō)清楚如下幾件事：（1）概念是怎么產(chǎn)生的？（2）如何恰當(dāng)?shù)囟x一個(gè)概念；（3）概念的內(nèi)涵是什么.換弗萊登塔爾的話來(lái)說(shuō)，也就是應(yīng)該把學(xué)生當(dāng)作數(shù)學(xué)家看待，讓學(xué)生通過(guò)再創(chuàng)造來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)而不是因襲和仿效，更不是把數(shù)學(xué)概念作為現(xiàn)成的產(chǎn)品強(qiáng)加給學(xué)生.用新課改中的三維課程目標(biāo)來(lái)說(shuō)，就是在落實(shí)三維目標(biāo)的過(guò)程中，要以“知識(shí)與技能目標(biāo)”為主線，滲透“情感、態(tài)度、價(jià)值觀”，并充分體現(xiàn)在學(xué)習(xí)探究的“過(guò)程與方法”中.新課標(biāo)的課程理念指出，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.

二、主題背景

探究式教學(xué)要使得學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中含有直接創(chuàng)造的側(cè)面，更不能為了探究而探究，實(shí)踐也表明，并不是所有的數(shù)學(xué)知識(shí)都適合探究式教學(xué).在課堂中實(shí)行探究式教學(xué)的初衷應(yīng)該是為了突破教學(xué)的重點(diǎn)、化解教學(xué)的難點(diǎn).這是三維目標(biāo)中的“過(guò)程與方法”，目的是為了在這個(gè)探究過(guò)程中達(dá)成“知識(shí)與技能”和“情感態(tài)度與價(jià)值觀”的目標(biāo).無(wú)論是教材還是教師，嘗試實(shí)行探究式教學(xué)的初衷肯定是非常值得贊賞的，但在具體的設(shè)計(jì)中難免存在一些值得我們商榷的地方.以下是摘自人教版初中九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第二十八章“銳角三角函數(shù)”的內(nèi)容[1]：

教材通過(guò)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題和一個(gè)學(xué)生已學(xué)定理（直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）很好地把銳角三角函數(shù)所討論的三角形定型為直角三角形.這種巧妙的引入雖然降低了銳角三角函數(shù)知識(shí)引入的難度和時(shí)間，但是喪失了它原有的數(shù)學(xué)思想性.本章的標(biāo)題為銳角三角函數(shù)，任何三角形都會(huì)存在銳角，課本卻選擇了這種直奔直角三角形的形式，雖然奔得巧妙，但把銳角三角函數(shù)知識(shí)的廣泛適用性埋沒(méi)了，從而把學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的必要性和重要性也隱藏了，更是閹割了銳角三角函數(shù)產(chǎn)生和形成的過(guò)程性.

隨后，教材繼續(xù)通過(guò)兩個(gè)思考題的進(jìn)一步引導(dǎo)和深入研討，給出了一個(gè)問(wèn)題：“當(dāng)∠A取其他一定度數(shù)的銳角時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值？”然后，進(jìn)入了探究環(huán)節(jié).看似探究其實(shí)就是一道證明題，看似可以探究其實(shí)只能進(jìn)行驗(yàn)證，因?yàn)橐仓挥醒堇[推理能為該問(wèn)題下定論.

就銳角三角函數(shù)一節(jié)，教學(xué)上真正的難點(diǎn)甚至真正的教學(xué)內(nèi)容并不是學(xué)生是否接受正切、正弦和余弦的值是不是三角形某邊與某邊的比值，而是在數(shù)學(xué)發(fā)展的長(zhǎng)河中，我們?nèi)祟愂侨绾巫⒁獾桨涯尺吪c某邊進(jìn)行聯(lián)系起來(lái)的.例如，正弦，是什么東西在提示我們注意到用對(duì)邊與斜邊進(jìn)行比值運(yùn)算.這也正是銳角三角函數(shù)一節(jié)要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究的出發(fā)點(diǎn)和主要內(nèi)容.以至后面內(nèi)容在絲毫不體現(xiàn)函數(shù)特征的情況下就干脆對(duì)正弦、余弦和正切硬性規(guī)定為銳角三角函數(shù).這些都顯示了新課改之后，我們的教材并沒(méi)有擺脫急于呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)，急于讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解題以便應(yīng)付考試的傳統(tǒng).這樣是明顯實(shí)現(xiàn)不了新課改中的三維課程目標(biāo)的，至多算是新潮一點(diǎn)的舊雙基教育.

教材是教師最先接觸的知識(shí)載體，在具體運(yùn)用中，教師對(duì)教材的處理也會(huì)顯示出自己的創(chuàng)造性和批判性.但就一些觀摩課來(lái)看，授課教師在教材處理上要么顧此失彼，要么只是進(jìn)行機(jī)械性彌補(bǔ).例如，有的教師引導(dǎo)學(xué)生分小組探究不同的直角三角形的銳角所對(duì)的直角邊與斜邊的比值、小組內(nèi)探究固定銳角所對(duì)的直角邊與斜邊的比值是否是固定的，但是，由于人為誤差造成在探究中固定角度所對(duì)的直角邊與斜邊的比值并非是一個(gè)穩(wěn)定值，所以，教師實(shí)際課堂上只能引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)其為穩(wěn)定值，隨后再證明其為定值.這一環(huán)節(jié)相比于教材，引入得更為快速和簡(jiǎn)潔.但這位教師這樣的探究安排更多是為了后面在小組之間的探究中發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)比值是會(huì)隨著角度的變化而變化的，從而凸顯銳角三角函數(shù)中的函數(shù)特征，最終使得學(xué)生形成銳角三角函數(shù)的概念（如下圖①）.這一點(diǎn)是比教材更好的.再如，也有的教師按教材的設(shè)計(jì)得出銳角三角函數(shù)概念之后，再跟學(xué)生一起討論為什么該函數(shù)要在直角三角形的前提下（如下圖②）給出定義.

①

②

三、再論“銳角三角函數(shù)”一節(jié)的教材與教法

以下是在對(duì)“銳角三角函數(shù)”一節(jié)原有的教材與實(shí)際教法進(jìn)行研究分析的基礎(chǔ)上，給出的新的教材與教法.對(duì)于教學(xué)，以下行文并非能直接采用的教案或教材，僅從教材和教法角度提供一些參考、比較和啟示.

三角學(xué)像其他數(shù)學(xué)分支一樣，也不是任何一個(gè)人或一個(gè)民族的工作.公元前2世紀(jì)的三角學(xué)之父希帕克斯，亞歷山大城的梅涅勞斯和托勒密在一定程度上也只是三角學(xué)的集大成者和開(kāi)拓者.在數(shù)學(xué)史書上也難以尋找到三角學(xué)產(chǎn)生的最原始?xì)v程，往往也只是以一筆帶過(guò)，就如下述一段文字所示：“三角學(xué)是一門非常古老的科學(xué)，這門科學(xué)在埃及達(dá)到了高度的繁榮.由于兩門重要學(xué)科的需要促進(jìn)了它的發(fā)展，天文學(xué)的需要產(chǎn)生了球面三角理論，大地的測(cè)量需要產(chǎn)生了平面三角的理論.”僅此而已.

其實(shí)，對(duì)于平面三角的創(chuàng)造，可以追溯到約公元前1650年古埃及的一部紙草書.由于紙草書的發(fā)現(xiàn)者，它又命名為《萊因德數(shù)學(xué)紙草書》，該草書中按順序排列了85道題，其中56—60題的內(nèi)容是涉及三角學(xué)知識(shí)的，是圍繞金字塔的建造而展開(kāi)的.如，

在金字塔的建造過(guò)程中，保持金字塔四個(gè)側(cè)面相對(duì)于水平面的傾斜度不變是一個(gè)非常關(guān)鍵的步驟.由于在建筑學(xué)的實(shí)踐中，測(cè)量隨著高度增加而帶來(lái)的水平偏離是更為容易進(jìn)行的，所以草書中的4道題目都是關(guān)于底角的余切值而展開(kāi)，并非正切、正弦和余弦.

這說(shuō)明了古埃及人的初等三角函數(shù)知識(shí)是源于生活實(shí)踐，更是說(shuō)明了古埃及人在三角形邊與角的聯(lián)系上得到了實(shí)質(zhì)上的認(rèn)識(shí).由于金字塔的建造隨著高度的不斷上升，在測(cè)量上得到的就是一系列的相似直角三角形（如下圖）.實(shí)踐表明，任意的三角形都可以分拆成至少兩個(gè)直角三角形，這不僅僅體現(xiàn)前面學(xué)習(xí)的畢達(dá)哥拉斯定理的重要性，也體現(xiàn)我們將要學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的重要性.所以，金字塔的形狀，我們可以進(jìn)行如下的簡(jiǎn)化分拆.

在金字塔還停留在圖紙中時(shí)，埃及人民是如何確定當(dāng)金字塔頂從B點(diǎn)建造上升到B′時(shí)，B′點(diǎn)是否還與A，B兩點(diǎn)共線的呢？我們可能會(huì)注意到，當(dāng)△ABC與△A′B′C′相似且如圖∠A與∠A′重合時(shí)，B′就必定還在A，B所在的直線上.

在人教版初中九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第二十七章“相似”中，剛剛學(xué)習(xí)了相似三角形的相關(guān)知識(shí)，學(xué)生很清楚：兩個(gè)三角形相對(duì)應(yīng)的邊相互成比例，那么兩三角形就會(huì)相似.但是現(xiàn)在作為兩個(gè)不是同時(shí)出現(xiàn)的三角形，后出現(xiàn)的三角形在建造中應(yīng)該具備 什么屬性或者按照什么數(shù)據(jù)進(jìn)行建造，才會(huì)使得后出現(xiàn)的三角形成型后一定與先出現(xiàn)的三角形相似呢？（注意：對(duì)于金字塔的建造而言，我們幾乎是不允許重來(lái)的）

這個(gè)屬性肯定是某一組相似三角形所共有的，現(xiàn)將先后建造出來(lái)的金字塔分拆成一組相似三角形，如圖△ABC～△AB′C′，由相似三角形的性質(zhì)知：對(duì)應(yīng)邊成比例（如 AB′ AB = B′C′ BC ）.這種相似三角形之間邊的聯(lián)系（ AB′ AB = B′C′ BC ）很好地把其中一個(gè)三角形的屬性傳遞給了另一個(gè)與它相似的三角形，這個(gè)屬性的真面目是 BC AB = B′C′ AB′ .那也就是說(shuō)，相似三角形自身都會(huì)有一個(gè)屬性k= BC AB = B′C′ AB′ =….

所以，對(duì)于先后出現(xiàn)的△ACB，△AC′B′，△AC″B，我們?nèi)菀子腥缦碌慕Y(jié)論：

所以，只要在建造中，不斷地滿足這個(gè)屬性，那么無(wú)論得到的三角形有多大規(guī)格有多少數(shù)量，它們都是相似的，只要相似，那么各個(gè)塔頂B，B′，B″，…就肯定在同一直線上.

我們不妨把這個(gè)屬性歸納并定義為：

以∠A為參考系，它的對(duì)邊與斜邊的比叫作∠A的正弦.記作sinA，即

sinA= ∠A的對(duì)邊 斜邊 = a c .

對(duì)于我們選定的參考系∠A來(lái)說(shuō)，已知sinA= ∠A的對(duì)邊 斜邊 = a c ，我們約定c邊是不變的（如上圖），也就是說(shuō)隨著∠A大小的變化，只有a邊在變化，那么對(duì)某特定大小的∠A，我們也就有某特定長(zhǎng)度的對(duì)邊a，也就有了某一特定的比值 a c .從函數(shù)的角度看來(lái)，我們可以稱這種以∠A為自變量（由于初中還沒(méi)有引進(jìn)角的弧度制，我們?cè)诖艘餐耆梢园炎宰兞康谋举|(zhì)解析為相似三角形中變化的邊長(zhǎng)），∠A的對(duì)邊與斜邊的比值為函數(shù)值的函數(shù)為∠A的銳角三角函數(shù).

我們可以得到另一個(gè)類似的屬性，不妨歸納并定義為：以∠A為參考系，∠A的鄰邊與斜邊的比叫作∠A的余弦，記作cosA，即

同理，我們還可以得到相似三角形的第三個(gè)屬性：以∠A為參考系，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比叫作∠A的正切，記作tanA，即

同樣，正切也是一個(gè)函數(shù)，我們都稱它為∠A的銳角三角函數(shù).

【參考文獻(xiàn)】

[1]義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（九年級(jí)下冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，2009.

[2]何勇，曹廣福.數(shù)學(xué)課堂如何兼顧學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)與應(yīng)試能力[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（2）：67-69.