徐麗峰+唐恒鈞

【摘要】“探究教學(xué)”是我們高三課堂的重要課堂形式.通過數(shù)學(xué)思維框架建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生提出問題，解決問題的能力，推動探究課堂有效進(jìn)行.同樣，切實有效的“探究教學(xué)”促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)與思考，完善學(xué)生的數(shù)學(xué)思維框架.

【關(guān)鍵詞】探究教學(xué)；數(shù)學(xué)思維；起點性問題；通性通法

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》指出“倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式”.單純被動地吸收知識，并予以不斷重復(fù)強化的學(xué)習(xí)，很難真正內(nèi)化為學(xué)生自己頭腦中的知識.只有讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究活動，知識才能真正得以內(nèi)化，也才可能有所創(chuàng)造.目前中學(xué)數(shù)學(xué)的探究教學(xué)還存在比較多的問題.比如，由于起點性探究問題創(chuàng)設(shè)不恰當(dāng)，導(dǎo)致學(xué)生探究目的不明確、探究低效；又如探究過程中教師引導(dǎo)過多，探究只有“形式”而缺乏實質(zhì)；再如，在探究活動中學(xué)生只是完成教師給出的探究問題，而缺乏對問題提出過程的經(jīng)歷與思考.要讓學(xué)生有效探究，并使其在不斷深入的探究中發(fā)展數(shù)學(xué)能力，這需要教師創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)奶骄棵}絡(luò).這里的脈絡(luò)既包括探究的起點問題，也包括使學(xué)生由起點問題引發(fā)新的探究問題的思維框架.本文將以筆者曾經(jīng)實施的一次教學(xué)實踐為例，探索通過數(shù)學(xué)思維框架助推學(xué)生有效探究的一些經(jīng)驗.

1案例簡述

1.1起點性問題探究

1.2自然生成問題及其探究

1.3一般化問題的提出及解決

1.4課堂小結(jié)

師：經(jīng)過一節(jié)課的探究學(xué)習(xí)，同學(xué)們有什么收獲？

生11：這節(jié)課以“拋物線”為例，探究圓錐曲線中一類定點問題.解題方法常規(guī)，并沒有涉及特別復(fù)雜計算.就橢圓部分比較麻煩，字母運算復(fù)雜，變量與參量容易搞混.但只要我們分清變與不變，大膽計算，成功離我們只有一步之遙.

生12：在問題探究過程中，體現(xiàn)很多數(shù)學(xué)思想方法，比如“逆向思維”、“一般化思維”、“特殊化思維”、“類比思維”.體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與劃歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，這是我們解決數(shù)學(xué)問題的通性通法.這些方法指引我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，解決數(shù)學(xué)問題，帶領(lǐng)我們領(lǐng)略數(shù)學(xué)的奧秘……

師：這節(jié)課從拋物線展開，探究橢圓與雙曲線.除了運用了解析法、“設(shè)而不求”等策略解題外，在從第一個關(guān)于特殊拋物線的定點問題到一般圓錐曲線的定點問題的討論過程中，我們還可以看到問題變化過程中的逆向思維、一般化思維、特殊化思維、類比思維等一些基本思維方式.

2若干反思

2.1關(guān)注起點性探究問題的創(chuàng)設(shè)與提出

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要養(yǎng)成善于思考、善于提出問題的習(xí)慣.李渺和單墫教授曾說過，不斷地，持續(xù)地“思之、思之、思之、思之”，定有意想不到的收獲[1]. “起點性探究問題”是探究型課堂的關(guān)鍵， 它應(yīng)具備以下幾個特點（1）起點性問題需要具有可變性、可拓展性，只有這樣的問題才能形成有生命力的探究活動.（2）在實際教學(xué)中，起點性問題可以由老師提出，使后續(xù)探究活動具有一定指向性.中學(xué)課堂時間緊，課堂內(nèi)容緊湊，這使得高中課堂探究活動不能完全自由，而需要有預(yù)設(shè)性的指向.比如本文中的競賽題，問題指向一定范圍，有助于觸發(fā)學(xué)生有效思考與提問.生6圍繞起點性問題的條件與結(jié)論互換，生7、生8將特殊問題推廣至一般問題.教師平時要注意收集經(jīng)典的好題和教學(xué)案例等素材，注意掌握引導(dǎo)學(xué)生開展探究性活動的經(jīng)驗.并通過起點性問題的設(shè)計，在教師引導(dǎo)與學(xué)生探究間取得平衡.

2.2關(guān)注以數(shù)學(xué)思維框架作為學(xué)生探究活動的先行組織者

數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操，高質(zhì)量數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以數(shù)學(xué)思維作為首要基礎(chǔ).練習(xí)數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的較低層次，更重要的是在解題過程中形成具有一般意義的數(shù)學(xué)思維框架.通過對2013年浙江省數(shù)學(xué)競賽第18題的探索，生6逆向思維和生7、生8特殊問題一般化思維、類比思維，推廣得到任意拋物線、乃至一般圓錐曲線中有關(guān)定點的結(jié)論，這些都體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維方法在數(shù)學(xué)解題以及提出問題中的價值.在這節(jié)課中，通過教師的引導(dǎo)與學(xué)生的實踐，試圖讓學(xué)生形成用三種思維進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的探究：（1）學(xué)會一般性與特殊性轉(zhuǎn)換思維，復(fù)雜即簡單，簡單即復(fù)雜.（2）學(xué)會逆向思維，從條件到結(jié)論，從結(jié)論到條件，理解問題的基本結(jié)構(gòu).（3）學(xué)會通過一般化思維、類比思維，使問題得到推廣.教師要充分挖掘來源于學(xué)生提問、數(shù)學(xué)作業(yè)等探究性資源，以此為契機，建構(gòu)循序漸進(jìn)研究問題的數(shù)學(xué)思維框架，增強學(xué)生自我破體能力[2].

2.3關(guān)注在一類問題的探究過程中并形成通性通法

通性通法，是指具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)試題的形式和知識背景可能會千變?nèi)f化，但其中運用的數(shù)學(xué)思想方法卻往往是相同的.例如本題中，貫徹“設(shè)而不求”解題，將直線方程代入圓錐曲線方程，整理成一元二次方程，再利用根的判別式、求根公式、根與系數(shù)的關(guān)系等通性通法.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和解題過程中思維起主導(dǎo)作用，老師在教學(xué)時要更多地注重“一題多變”；更多地注重引導(dǎo)學(xué)生體驗問題提出及解決過程中所滲透的一般性的數(shù)學(xué)思維方法，以及一類問題的通性通法.

總之，探究性學(xué)習(xí)有助于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展.本文試圖通過一次教學(xué)實踐案例，討論如何讓學(xué)生通過起點性問題的探究，在數(shù)學(xué)思維框架的引導(dǎo)下生成新的、更具挑戰(zhàn)性問題，并在解決這類問題的過程中學(xué)習(xí)通性通法.當(dāng)然，這方面的研究還需要更多的實踐探索.

參考文獻(xiàn)

[1]李渺，單墫.解題中的形象思維[J].數(shù)學(xué)通報，2006（5）：51-53.

[2]孫小龍.問題打破預(yù)設(shè)，師生生成探究[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2016（8）：19-22.