高振山

本文介紹三角形頂點(diǎn)與其對(duì)邊定比分點(diǎn)連線(xiàn)的三條直線(xiàn)的一個(gè)性質(zhì)，以下簡(jiǎn)稱(chēng)“定理”（發(fā)現(xiàn)時(shí)間：2004年5月），這個(gè)定理給出了此三條直線(xiàn)的位置關(guān)系的判別，并且還給出了這三條直線(xiàn)所圍成三角形的面積公式.它有一定的應(yīng)用價(jià)值，可以說(shuō)它是塞瓦定理及其逆定理的推廣.

定理如圖，若D、E、F分別為△ABC的三邊BC、CA、AB所在直線(xiàn)上的點(diǎn)（不在△ABC的頂點(diǎn)），并且D、E、F分別分有向線(xiàn)段BC、CA、AB的定比為λ1、λ2、λ3（即：BDDC=λ1，CEEA=λ2，AFFB=λ3），則

（1）直線(xiàn)BE和CF相交（平行）1+λ2+λ2λ3≠0（1+λ2+λ2λ3=0）；

（2）直線(xiàn)CF和AD相交（平行）1+λ3+λ3λ1≠0（1+λ3+λ3λ1=0）；

（3）直線(xiàn)AD和BE相交（平行）1+λ1+λ1λ2≠0（1+λ1+λ1λ2=0）；

（4）若直線(xiàn)BE和CF交于點(diǎn)A′，直線(xiàn)AD和CF交于點(diǎn)B′，直線(xiàn)AD和BE交于點(diǎn)C′，則

S△A′B′C′=（1-λ1λ2λ3）2|（1+λ1+λ1λ2）（1+λ2+λ2λ3）（1+λ3+λ3λ1）|·S△ABC.

證明以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線(xiàn)為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0），設(shè)A、C的坐標(biāo)分別為（a，b）、（c，0）（b>0，c>0），則S△ABC=12bc，并且由有向線(xiàn)所以由以上可得（4）成立.

（ⅱ）當(dāng)三條直線(xiàn)AD、BE、CF至少有一者與x軸垂直時(shí)，同理可得（1）、（2）、（3）、（4）均成立.

推論1（塞瓦定理）若O為△ABC三邊所在直線(xiàn)外一點(diǎn)，直線(xiàn)AO、BO、CO分別與直線(xiàn)BC、CA、AB交于（異于△ABC頂點(diǎn)的）點(diǎn)D、E、F，則BDDC·CEEA·AFFB=1.

推論2（塞瓦定理逆定理）若D、E、F分別為△ABC的三邊BC、CA、AB所在直線(xiàn)上的點(diǎn)（異于△ABC頂點(diǎn)的），且BDDC·CEEA·AFFB=1，則三條直線(xiàn)AD、BE、CF交于一點(diǎn)或互相平行.

推論3（塞瓦定理及其逆定理的推廣）已知D、E、F分別為△ABC的三邊BC、CA、AB所在直線(xiàn)上的點(diǎn)（不在△ABC的頂點(diǎn)），并且D、E、F分別分有向線(xiàn)段BC、CA、AB的定比為λ1、λ2、λ3（即BDDC=λ1，CEEA=λ2，AFFB=λ3）.

（1）若三條直線(xiàn)AD、BE、CF交于一點(diǎn)或互相平行，則λ1λ2λ3=1.

（2）若λ1λ2λ3=1，則

①當(dāng)1+λ1+λ1λ2≠0（AD和BE相交）時(shí)，三條直線(xiàn)AD、BE、CF交于一點(diǎn)；

②當(dāng)1+λ1+λ1λ2=0（AD和BE平行）時(shí)，三條直線(xiàn)AD、BE、CF互相平行.