吳亞娟

在合情與演繹推理中深化概念教學(xué)

吳亞娟

數(shù)學(xué)概念是人對客觀事物中有關(guān)數(shù)量關(guān)系和空間形式方面本質(zhì)屬性的抽象。它既是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，又是數(shù)學(xué)的邏輯起點，更是發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)概念教學(xué)常用的兩種推理模式，即合情推理與演繹推理，雖然是兩種不同的推理路徑，但它們除了在不同的概念建構(gòu)中因其自身的特質(zhì)各自發(fā)揮著應(yīng)有的作用外，兩種推理路徑在概念的建構(gòu)中又是相輔相成的。

概念教學(xué)；合情推理；演繹推理

在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，學(xué)生思維能力的培養(yǎng)既離不開感性的合情推理，也離不開理性的演繹推理。數(shù)學(xué)推理模式本質(zhì)上有兩種，即演繹推理與合情推理，在一般情況下，人們是借助合情推理“預(yù)測”數(shù)學(xué)結(jié)果，借助演繹推理“驗證”數(shù)學(xué)結(jié)果。演繹推理和合情推理雖不相同，但是相輔相成的兩種推理，兩者不能人為割裂。

一、合情推理在概念建構(gòu)中的條件解析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2011年版）》（以下簡稱“2011版課標(biāo)”）中明確：歸納和類比是合情推理的主要形式，因此，小學(xué)階段有相當(dāng)一部分的概念必須通過比較、類比、聯(lián)想、歸納等創(chuàng)造性的思考來培養(yǎng)合情推理能力。其次，鑒于小學(xué)生的年齡與認(rèn)知特點，教材中的概念教學(xué)大量地采用了數(shù)學(xué)猜想、枚舉歸納、類比遷移等合情推理的方法。

1.合情在概念從特殊到一般時。

概念教學(xué)由過程開始，然后轉(zhuǎn)變?yōu)閷ο蟮恼J(rèn)知，因此，我們不應(yīng)把概念過早推給學(xué)生，而是應(yīng)該遵循從特殊到一般、從具體到抽象、從過程到結(jié)果的原則，逐步幫助學(xué)生明晰概念。如教學(xué)蘇教版五下《分?jǐn)?shù)的意義》時，我們必須通過列舉大量日常生活中平均分配的實例來說明“平均分”，抽象“單位1”，從而自然而然地引出“分?jǐn)?shù)”的概念。整個教學(xué)過程，教者充分運用合情推理從特殊到一般的模式，通過舉例、歸納、抽象出“分?jǐn)?shù)”的本質(zhì)概念，同時，借助“分?jǐn)?shù)”概念的建構(gòu)，學(xué)生的抽象概括能力、合情推理能力、總結(jié)提升能力都得到了有效提高。

2.合情在概念從特殊到特殊時。

當(dāng)某一概念必須根據(jù)兩個不同對象的某些方面（如特性、關(guān)系、屬性等）的相同或相似點，來推出它們在其他方面也可能有的相同或相似的思維形式時，從特殊到特殊的合情推理就應(yīng)運而生了。如在教學(xué)蘇教版六上《百分?jǐn)?shù)》一課時，當(dāng)教者借助大量的生活經(jīng)驗引入百分?jǐn)?shù)的概念后，又通過遷移舊知，讓學(xué)生認(rèn)識了百分?jǐn)?shù)的外在屬性，再通過回顧分?jǐn)?shù)意義，搭建分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，然后從具體到抽象，逐步完善百分?jǐn)?shù)的概念。但理解百分?jǐn)?shù)的概念如果就此打住，那么，這堂課就成了為教概念而教概念了。因此，教者啟發(fā)學(xué)生思考：百分?jǐn)?shù)定義中包含幾個數(shù)？表示兩個數(shù)之間怎樣的關(guān)系？接著出示例子“A是B的300﹪”，并將此例子與 “A是B的3倍”“A是B的”“A∶B=3∶1”等進(jìn)行對比，從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識之間的聯(lián)系。最后得出結(jié)論：百分?jǐn)?shù)與整數(shù)、分?jǐn)?shù)和比一樣，可以用來表示兩個數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，所以百分?jǐn)?shù)也叫百分率或百分比。至此，百分?jǐn)?shù)的概念就真正建構(gòu)得非常完整而又深刻了。整個教學(xué)過程，教者通過類比的合情推理，把概括而得的百分?jǐn)?shù)的本質(zhì)屬性推廣到整數(shù)、分?jǐn)?shù)、比等同類概念中去，它既是百分?jǐn)?shù)概念的運用過程，又是一個在高層次上抽象概括的過程，最后把新獲得的百分?jǐn)?shù)的概念納入到同一類別的概念體系中，建立新概念與原有概念之間的聯(lián)系，達(dá)到概念教學(xué)的高級階段。

3.合情在概念從猜想到驗證時。

“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)”，因此有些概念在建構(gòu)的過程中必須要通過觀察、實驗、類比、歸納等手段提出猜想。教師應(yīng)該積極創(chuàng)設(shè)條件，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，縝密驗證，讓思維插上合情推理的翅膀。

例如在教學(xué)蘇教版五下“能被3整除的數(shù)的特征”時，學(xué)生易受能被2或5整除的數(shù)的特征影響，做出“個位是3的數(shù)都能被3整除”的猜想。因此，教學(xué)時，教師分別出示下列幾組數(shù)：（1）256、46、113、176、6、359、896； （2）21、18、129、36、243、234、342。當(dāng)驗證完第一組后，學(xué)生馬上意識到原先的猜想是錯誤的，心中充滿疑惑的同時，探求新知的欲望油然而生。這時，教師馬上引導(dǎo)學(xué)生去觀察、驗證第二組，看看這些數(shù)能否被3整除，這些數(shù)又有怎樣的特征。由此，新的猜想誕生了：可能與各個數(shù)位上的數(shù)的和有關(guān)，于是，第二輪驗證又如火如荼地開始了。整個教學(xué)過程，教者通過引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想、舉例驗證、總結(jié)提升，使合情推理的思維過程貫穿于教學(xué)的始終，“能被3整除的數(shù)的特征”這一抽象的概念在一次次的猜想、驗證、推理的過程中清晰建構(gòu)。

二、演繹推理在概念建構(gòu)中的條件解析

演繹推理是從一般到特殊的推理，雖然，小學(xué)階段以合情推理為主，但在2011版課標(biāo)中明確提出，第三學(xué)段有必要引導(dǎo)學(xué)生“體會證明的必要性，發(fā)展初步的演繹推理能力”。特別是學(xué)生在遇到一些內(nèi)容體系邏輯性較強、知識結(jié)構(gòu)高度抽象的概念時，演繹推理能發(fā)揮合情推理所不能起到的作用。

1．演繹在概念內(nèi)容體系邏輯較強時。

當(dāng)概念邏輯性較強時，學(xué)生學(xué)習(xí)的過程都是以演繹的方法展開的，這時學(xué)生既不必要完全經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)也不可能成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的唯一形式。這時，演繹推理則是展開數(shù)學(xué)知識體系的主要形式。如在教學(xué)蘇教版六上《長方體和正方體的認(rèn)識》時，我們一般是先引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、測量、比較得出長方體有6個面、8個頂點、12條棱，并且每個面都是長方形，其中相對的兩個面是完全相同的，這是從面和棱的角度認(rèn)識長方體。在此基礎(chǔ)上，用同樣的方法認(rèn)識正方體的特征。接下來，如何在演繹中尋求長方體和正方體的關(guān)系，從而打通相互間的邏輯體系，就顯得尤為重要了，因此“正方體具有長方體的所有特征嗎？”這一問題，就引發(fā)學(xué)生借助知識之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行深入思考，而學(xué)生的思考過程以及所獲得的結(jié)論就是一個演繹推理過程。這一基于知識本質(zhì)之間的推理，不僅有助于認(rèn)識長方體和正方體的特征，而且能進(jìn)一步厘清兩個概念之間的邏輯關(guān)系，從而培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力。

2．演繹在概念知識結(jié)構(gòu)高度抽象時。

實踐表明，概念的本質(zhì)特征越多，學(xué)習(xí)越容易，非本質(zhì)特征越多，學(xué)習(xí)越困難，這時，演繹推理就能在一定程度上發(fā)揮其應(yīng)有的作用。比如在教學(xué)蘇教版五下《圓的認(rèn)識》時，我們應(yīng)讓學(xué)生知道：在同一個圓中，半徑的長度都相等，直徑的長度都相等，直徑的長度等于半徑的2倍。如果教學(xué)時，我們單純地通過量一量、比一比，或者借助多媒體演示得出結(jié)論，那么，學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法的感受和抽象能力的培養(yǎng)上，就屬于較低層次。由此，教學(xué)時，我們可以通過畫、量、對比、歸納得出半徑的長度都相等，然后可以根據(jù)直徑和半徑的定義推理得出：直徑的長度是半徑的2倍，接著根據(jù)“等量的同倍量相等”，由上述兩個結(jié)論通過演繹推理得出：直徑的長度都相等。教學(xué)中，如果我們能像上述教學(xué)過程一樣契合實際地正確把握這種結(jié)構(gòu)，用演繹推理的手段組織學(xué)習(xí)過程，不但能幫助學(xué)生掌握思考方法，理解高度抽象的概念內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)，還能提高學(xué)生的模式辨認(rèn)能力，縮短推理過程，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性、抽象性、邏輯性，并較好地發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力。

當(dāng)然，在概念教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力，不僅要注意層次性，而且要關(guān)注學(xué)生的差異，要使每個學(xué)生都能體會證明的必要性，從而使學(xué)習(xí)演繹推理成為學(xué)生的自覺要求，克服“為了證明而證明”的盲目性。

三、合情與演繹的有機融合在概念建構(gòu)中的條件解析

2011版課標(biāo)對推理能力的內(nèi)涵作了如下闡述：“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例?！边@就是說，學(xué)生獲得數(shù)學(xué)結(jié)論應(yīng)當(dāng)經(jīng)歷合情推理到演繹推理的過程，這雖然是兩種不同的推理路徑，但它們除了在不同的概念建構(gòu)中因其自身的特質(zhì)各自發(fā)揮著應(yīng)有的作用外，兩種推理路徑在概念的建構(gòu)中又是相輔相成的。

如在教學(xué)蘇教版四下“三角形內(nèi)角和”一課時，教師先讓學(xué)生匯報兩種三角板每個角的度數(shù)，再說出每個三角板三個內(nèi)角的和，引發(fā)學(xué)生猜想：“你認(rèn)為每個三角形的內(nèi)角和是多少？”學(xué)生紛紛猜測是180°，接著引導(dǎo)學(xué)生小組合作，任意剪出不同的三角形，并把每個三角形的三個內(nèi)角剪下來拼在一起，學(xué)生通過觀察驚奇地發(fā)現(xiàn)，任意三角形三個內(nèi)角拼在一起都是平角，至此“三角形內(nèi)角和是180度”這個結(jié)論自然而然地被學(xué)生接受了，接著讓學(xué)生獨立計算“已知三角形的兩個角分別是72°和34°，求出第三個角”的練習(xí)，再要求學(xué)生說說自己計算的根據(jù)，最后再讓學(xué)生量一量算出的角度數(shù)，進(jìn)一步感受結(jié)論的正確性。整個教學(xué)過程，教者先引導(dǎo)學(xué)生在觀察、分析、類比的基礎(chǔ)上，得出符合猜想的合情推理，然后讓學(xué)生自行計算、度量，演繹推理出結(jié)論的正確性。我們不難發(fā)現(xiàn)，這兩種推理方法的有機結(jié)合，學(xué)生更好地掌握了新知識，鍛煉了學(xué)生的推理能力，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

在概念的建構(gòu)過程中，如果我們能準(zhǔn)確把握每種推理路徑的實質(zhì)，并在各自的領(lǐng)域發(fā)揮其應(yīng)有的作用，有時為了需要還能把這兩種推理路徑有機地結(jié)合起來，那就能使我們的概念教學(xué)，甚至是整個數(shù)學(xué)的教學(xué)過程達(dá)到一個知識與能力、思想與方法、過程與結(jié)果的完美統(tǒng)一。

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1005-6009（2017）81-0035-03

吳亞娟，江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)橫林實驗小學(xué)（江蘇常州，213161）校長，高級教師，常州市骨干教師。