曹辰

摘 要：對(duì)于初中生而言，幾何推理的學(xué)習(xí)存在一定的難度。利用幾何直觀，可以幫助學(xué)生把復(fù)雜的幾何問(wèn)題變得簡(jiǎn)明形象，有助于學(xué)生進(jìn)行幾何推理的學(xué)習(xí)。針對(duì)如何在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和推理能力進(jìn)行了一些探索。通過(guò)尺規(guī)作圖，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“先直觀，再推理”的分析方法，提高學(xué)生解決幾何問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：幾何直觀能力；推理能力；尺規(guī)作圖

一、研究背景

按照《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的規(guī)定，幾何直觀主要是指利用圖形來(lái)分析問(wèn)題。恰當(dāng)?shù)乩脦缀沃庇^，可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，特別是抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容；同時(shí)，借助幾何直觀還可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明形象，有助于提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。在中學(xué)數(shù)學(xué)階段，教師不僅要關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的培養(yǎng)，也要關(guān)注學(xué)生高層次能力的培養(yǎng)。其中，培養(yǎng)學(xué)生的幾何推理和幾何直觀能力是新課程標(biāo)準(zhǔn)的重要目標(biāo)。

“尺規(guī)作圖”一直是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)幾何推理和幾何直觀能力的陣地之一。在初中數(shù)學(xué)教材中，與“尺規(guī)作圖”相關(guān)的內(nèi)容主要有：（1）作一條線段等于已知線段；（2）作一個(gè)角等于已知角；（3）作一個(gè)角的平分線；（4）作一條線段的垂直平分線；（5）過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線；（6）利用三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；（7）已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；（8）已知一直角邊和斜邊作直角三角形。

在教師的實(shí)際教學(xué)中，幾何直觀和幾何推理常常難以調(diào)和。前者注重直觀形象，后者注重嚴(yán)密邏輯。在許多教師眼中，“尺規(guī)作圖”常常被視為學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐和操作的載體，而忽視作圖中的幾何推理部分。本文采用引導(dǎo)學(xué)生先通過(guò)尺規(guī)作圖，直觀感受幾何圖形的變化規(guī)律，再通過(guò)幾何推理證明規(guī)律，最后在具體情境中應(yīng)用規(guī)律的方式，對(duì)尺規(guī)作圖在初中數(shù)學(xué)幾何直觀與推理能力培養(yǎng)上的應(yīng)用進(jìn)行了探索。

二、問(wèn)題提出

問(wèn)題：如圖1，平面上存在三條互相平行的直線m，n，i，點(diǎn)A為平面上的直線i上確定的一點(diǎn)。以A為頂點(diǎn)，利尺規(guī)作圖畫出等邊△ABC，使得頂點(diǎn)B在直線m上，頂點(diǎn)C在直線n上。

在此題中，點(diǎn)A的位置已經(jīng)確定。為了構(gòu)造等邊三角形，隨著點(diǎn)B在直線m上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也會(huì)隨之改變。因此，直接確定點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C分別在三條平行線上的具體位置會(huì)有很大的難度。那么，當(dāng)點(diǎn)B在直線m上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是什么呢？為了更好地研究點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)情況，筆者將原有問(wèn)題進(jìn)行了改變。

三、問(wèn)題轉(zhuǎn)化

問(wèn)題：如圖2，平面上存在兩條互相平行的直線i，m，點(diǎn)A為直線i上一點(diǎn)。點(diǎn)B在直線m上運(yùn)動(dòng)。以A、B為頂點(diǎn)，利用尺規(guī)作圖畫出等邊△ABC。探究點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

在改變后的問(wèn)題中，可以先在直線m上確定點(diǎn)B的位置，再通過(guò)作圖去確定點(diǎn)C的位置。因此，需要在直線m上至少選取三個(gè)點(diǎn)B1，B2，B3（圖3），各自完成等邊三角形的作圖，再根據(jù)點(diǎn)C1，C2，C3的位置（圖4），通過(guò)幾何直觀去判斷點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

在教學(xué)過(guò)程中，當(dāng)筆者完成作圖后，學(xué)生得到的初步判斷是：根據(jù)幾何直觀，點(diǎn)C1，C2，C3的位置在同一條直線上。在通過(guò)推理對(duì)猜想進(jìn)行證明，可以先將圖4中的等邊三角形△AB2C2忽略，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等邊三角形公共頂點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，如圖5。

圖5中，在連接C1C3后，易證明△AB1B3≌△AC1C3與∠AB3B1=∠AC3C1，進(jìn)而可以證明直線C1C3與直線m的夾角是60°。同理，若忽略等邊三角形AB3C3的存在（圖6），也可以證明直線C1C2與直線m的夾角是60°。因此，直線C1C3、直線C1C2與直線m的夾角都是60°，所以點(diǎn)C1，C2，C3共線。這個(gè)結(jié)論說(shuō)明，當(dāng)點(diǎn)B在直線m上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡即為圖5、6中的直線C1C3。

四、深層探究

難道每次分析問(wèn)題時(shí)都要畫出兩個(gè)等邊三角形后才能確定點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡？能不能在確定點(diǎn)A的位置后，直接作出點(diǎn)C所在的直線？筆者帶領(lǐng)學(xué)生在原來(lái)的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究：

在圖7中，設(shè)直線C1C3與直線m的交于點(diǎn)M，與直線i交于點(diǎn)N。作AD⊥直線m，AE⊥直線C1C3。在證明△AB1B3≌△AC1C3后，可得兩個(gè)三角形的面積相等且底邊B1B3=C1C3，因此垂線段AD=AE。

在圖7中連接線段AM，根據(jù)角平分線逆定理，AM平分∠B1MC3；因此∠B1MC3=60°。再根據(jù)直線m∥i，可證明△AMN為等邊三角形。

因此，在確定了點(diǎn)A的位置后，只要以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，在平行直線m與直線i間構(gòu)造等邊△AMN即可。為了構(gòu)造該等邊三角形，需要先構(gòu)造∠MAN=60°。作圖過(guò)程如圖8所示。圖8中新出現(xiàn)的直線即為點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡。

最后，筆者帶領(lǐng)學(xué)生重新審視最開始問(wèn)題，根據(jù)上面的研究，可以根據(jù)點(diǎn)A與直線m的位置，直接作出點(diǎn)C的軌跡直線，如圖9。再結(jié)合原題，可以得到如下結(jié)論：點(diǎn)C既會(huì)出現(xiàn)在直線n上，又會(huì)出現(xiàn)在軌跡直線上。因此，點(diǎn)C位于軌跡直線與直線n的交點(diǎn)上。

在確定了點(diǎn)C的位置后，線段AC即為等邊三角形的邊長(zhǎng)。之后再利用圓規(guī)，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧。其與直線m的交點(diǎn)即為點(diǎn)B的位置。順次連接線段，即得到符合題目要求的等邊△ABC，如圖10。

五、研究反思

在幾何教學(xué)過(guò)程中，教師往往對(duì)于幾何直觀缺乏應(yīng)有的重視。教師習(xí)慣于關(guān)注推理的方法和結(jié)論，而對(duì)學(xué)生推理的思考過(guò)程有所忽視。對(duì)于一個(gè)完整的思考過(guò)程而言，往往是從對(duì)事物的初始認(rèn)識(shí)開始的。尤其對(duì)初中生而言，正在經(jīng)歷從“算術(shù)”到“數(shù)學(xué)”，從具體到抽象的過(guò)渡。受學(xué)生邏輯思維能力的限制，很多學(xué)生在幾何推理的學(xué)習(xí)上是有一定困難的。因此，在教師的幾何教學(xué)過(guò)程中，借助于幾何直觀、幾何解釋，讓學(xué)生通過(guò)“眼見為實(shí)”，幫助學(xué)生更好地理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，通過(guò)“圖象語(yǔ)言，符號(hào)語(yǔ)言，數(shù)學(xué)語(yǔ)言”三結(jié)合的方式去學(xué)習(xí)幾何，尤其是進(jìn)行幾何推理的學(xué)習(xí)。在探究教學(xué)過(guò)程中，可以讓學(xué)生根據(jù)作圖，先對(duì)結(jié)論進(jìn)行直觀判斷，再對(duì)結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)格證明。這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和借助幾何直觀進(jìn)行推理論證的能力有很大的促進(jìn)作用。使用這種“先直觀，后推理”的方式，我們可以解決很多類似的尺規(guī)作圖問(wèn)題。例如，在平面內(nèi)任意三條直線上各取一個(gè)點(diǎn)，利用尺規(guī)作圖使得這三個(gè)點(diǎn)為等邊三角形、直角等腰三角形的頂點(diǎn)；或者在平面內(nèi)的三個(gè)圓上各取一個(gè)點(diǎn)，尺規(guī)作圖使得這三個(gè)點(diǎn)為等邊三角形、等腰直角三角形的頂點(diǎn)。希望有興趣的老師可以和筆者一起研究。

參考文獻(xiàn)：

[1]秦德生，孔凡哲.關(guān)于幾何直觀的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2005.

[2]劉曉玫.對(duì)“幾何直觀”及其培養(yǎng)的認(rèn)識(shí)與分析[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2012.