王雯宇 王絲雨 許 洋

(北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院，北京 100124)

教學(xué)研究

大學(xué)物理和場(chǎng)論課程中的協(xié)變性淺談

王雯宇 王絲雨 許 洋

(北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院，北京 100124)

本文主要論述了物理量的協(xié)變性質(zhì)在大學(xué)物理和場(chǎng)論教學(xué)中的重要性。 首先以圖示的辦法形象地講解電磁場(chǎng)的洛倫茲變換，同時(shí)指出協(xié)變性的理解可以使學(xué)生更加深刻理解電磁學(xué)理論的本質(zhì)。論文證明n階反對(duì)稱張量在行列式為1的矩陣變換下是不變的， 因此四階反對(duì)稱張量εμ νρ σ自然是協(xié)變的， 矢量和軸矢量的鏡像變換性質(zhì)是不一樣的。 論文還指出協(xié)變性是對(duì)物理公式變換性質(zhì)的表述，物理量會(huì)因?yàn)樾问讲煌胁煌膮f(xié)變性的理解。論文以場(chǎng)論散射截面的協(xié)變性質(zhì)為例， 指出不同理解的差別與聯(lián)系。

協(xié)變性；電磁場(chǎng)的變換；反對(duì)稱張量；散射截面

1 提出問題

對(duì)稱性是物理學(xué)研究的一項(xiàng)重要內(nèi)容。根據(jù)諾特爾定理[1]，每一個(gè)連續(xù)的對(duì)稱性都有一個(gè)守恒流與之對(duì)應(yīng)。 因此當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)了一種對(duì)稱性之后，就意味著找到了一個(gè)守恒量，從而揭示了一個(gè)深刻的物理規(guī)律。 對(duì)稱性如此重要，以至于當(dāng)我們研究一個(gè)物理系統(tǒng)或構(gòu)建一個(gè)物理模型的時(shí)候，對(duì)稱性是首要考慮的， 在寫一個(gè)公式或方程時(shí)，往往又要求公式寫成協(xié)變的形式。所謂的協(xié)變形式即物理量按照其相應(yīng)的對(duì)稱變換形式來表述。比如某物理量是一個(gè)矢量，就意味著該量既有大小，又有三維空間的指向，同時(shí)按照三維空間的旋轉(zhuǎn)操作變換。因其三維空間的矢量而具有的深刻物理性質(zhì)并不僅僅是有大小有方向那么簡(jiǎn)單， 三維空間旋轉(zhuǎn)協(xié)變性質(zhì)決定了其大部分的物理性質(zhì)。如果一個(gè)方程以若干矢量來表述，方程兩邊都是矢量運(yùn)算，那么這個(gè)方程自然是空間旋轉(zhuǎn)不變的，該物理系統(tǒng)也就是一個(gè)三維空間旋轉(zhuǎn)協(xié)變的系統(tǒng)。 在物理學(xué)教學(xué)中，對(duì)稱性對(duì)于物理學(xué)的重要性以及物理量協(xié)變性質(zhì)應(yīng)該向?qū)W生做深入的講解， 才能使學(xué)生深刻理解物理學(xué)的本質(zhì)。

本文以物理量的協(xié)變性質(zhì)為主題，以大學(xué)物理和場(chǎng)論教學(xué)中的兩個(gè)例子來闡示協(xié)變性質(zhì)講解的重要性。 首先作者以實(shí)際課堂經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，說明如何在電磁學(xué)最后一次課中講解電磁場(chǎng)的協(xié)變性質(zhì)， 進(jìn)而使學(xué)生初步理解電磁學(xué)理論的對(duì)稱性質(zhì)。第二個(gè)例子是在場(chǎng)論的教學(xué)中n階反對(duì)稱張量協(xié)變性質(zhì)的證明。在通常的教科書上，n階反對(duì)稱張量是直接引入的， 而張量有確定的協(xié)變性質(zhì)，所以對(duì)于一個(gè)常數(shù)是否可以稱為張量是需要證明的。 這一點(diǎn)作為場(chǎng)論教學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)需要補(bǔ)充。在量子場(chǎng)論的研究中，一個(gè)重要的物理量是粒子散射截面， 該量的協(xié)變性質(zhì)不同的物理學(xué)家有不同的理解。本文簡(jiǎn)單說明理解的異同，并說明如何以較為開放的態(tài)度來理解一個(gè)物理量的協(xié)變性質(zhì)。

本文作以下安排：第2節(jié)以兩個(gè)典型協(xié)變性的案例分析來說明協(xié)變性質(zhì)的重要性；第3節(jié)說明如何表述協(xié)變性并分析粒子散射截面的協(xié)變性； 第4節(jié)給出本文的總結(jié)。

2 兩個(gè)協(xié)變性案例分析

2.1 電磁場(chǎng)協(xié)變性質(zhì)補(bǔ)充

當(dāng)前大學(xué)物理電磁學(xué)課程通常從靜電學(xué)開始，隨后講授磁場(chǎng)，電磁感應(yīng)，最后以麥克斯韋方程組結(jié)束。 這實(shí)際上是經(jīng)典電磁學(xué)的內(nèi)容[2]，因?yàn)楠M義相對(duì)論已經(jīng)在力學(xué)部分講授過，所以電磁學(xué)課程通常不再包含相對(duì)論的內(nèi)容。但是在相對(duì)論課程中，一般都會(huì)提到電磁場(chǎng)滿足洛倫茲變換， 這是狹義相對(duì)論課程的重要基礎(chǔ)知識(shí)之一。如果在電磁學(xué)課程結(jié)尾處不做回應(yīng)的話，課程體系有失完整，因此在電磁學(xué)最后一課安排20分鐘簡(jiǎn)單講解電磁學(xué)的狹義相對(duì)論理論是必須的。而在這樣短短的時(shí)間內(nèi)完成這個(gè)任務(wù)是困難的。作者根據(jù)實(shí)際課堂講授經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)以一個(gè)靜止點(diǎn)電荷為例，圍繞靜電場(chǎng)的洛倫茲變換展開講述有著不錯(cuò)的效果。而協(xié)變性概念的講解尤為重要。如果學(xué)生從講解中加深了力學(xué)中已經(jīng)得到的協(xié)變性的理解，就可以認(rèn)為講課達(dá)到了理想的效果。下面簡(jiǎn)述一下講課思路，讓學(xué)生考慮一個(gè)靜止的電量為e的點(diǎn)電荷在空間中形成的庫侖場(chǎng)。若電荷附近有觀測(cè)者乘火車勻速通過，詢問觀測(cè)者看到的還是不是一個(gè)靜電場(chǎng)；如果不是，火車上的觀測(cè)者看到的現(xiàn)象與相對(duì)點(diǎn)電荷靜止的觀測(cè)者看到的靜電場(chǎng)有什么關(guān)系。接著指出根據(jù)運(yùn)動(dòng)電荷的畢奧-薩伐爾定律可以計(jì)算空間中還分布著磁場(chǎng)。然后利用圖1 來說明不同參考系的觀測(cè)者看到的是同一種物質(zhì)：電磁場(chǎng)。電磁場(chǎng)構(gòu)成了協(xié)變張量Fμ ν[3]:

(1)

圖1 形象圖示電磁場(chǎng)不同參考系之間變換

在這里簡(jiǎn)單說明張量的定義及性質(zhì)：張量就是按照時(shí)空對(duì)稱性變換的量。標(biāo)量是變換不變的量； 矢量是一階張量，有大小，有方向，用洛倫茲變換矩陣變換；更高階的張量可以帶更多的指標(biāo)， 每個(gè)指標(biāo)的變換都遵循時(shí)空對(duì)稱變換規(guī)律。這么解釋當(dāng)然不夠淺顯易懂，那就指出電磁場(chǎng)張量就類似于圖1中二維空間某矢量A，電場(chǎng)和磁場(chǎng)類似于矢量A在不同坐標(biāo)軸上的投影，一個(gè)類比電場(chǎng)強(qiáng)度E，另一個(gè)類比磁感應(yīng)強(qiáng)度B，變換參考系相當(dāng)于選取不同的坐標(biāo)系。 如在圖1(a)中由實(shí)線坐標(biāo)系變換到虛線坐標(biāo)系的時(shí)候， 坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)進(jìn)行二維平面旋轉(zhuǎn)變換即可得到不同坐標(biāo)系下每個(gè)分量的變換關(guān)系。 當(dāng)參考系合適時(shí)，如圖1(b)，某個(gè)分量坐標(biāo)為零，對(duì)應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為零， 這正是靜止點(diǎn)電荷的情形。

下面可以給出Fμ ν的洛倫茲變換的具體形式:

(2)

(3)

最后用變換之后的電場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度：

(4)

與庫侖場(chǎng)進(jìn)行對(duì)比，并說明圖1只是個(gè)形象的表示，真正的變換是以公式(2)來進(jìn)行的。這樣雖然時(shí)間較短，但是可以把電磁學(xué)與力學(xué)作一次較為完整且簡(jiǎn)單的聯(lián)接。

不僅如此，大多數(shù)非理論物理專業(yè)人士可能并不能深刻理解協(xié)變性質(zhì)的重要性。正如引言中所說， 當(dāng)我們定義某物理量時(shí)，其相應(yīng)的協(xié)變性質(zhì)已經(jīng)決定了該物理量的大部分物理性質(zhì)。這些性質(zhì)并未為大多數(shù)人所理解，以至于必須以“定律或定理”的形式加以明確。一個(gè)典型的例子就是電磁學(xué)的相對(duì)論理論。從理論上講如果已經(jīng)知道了力學(xué)的相對(duì)性理論，那么把質(zhì)點(diǎn)力學(xué)理論推廣到四維平直時(shí)空的場(chǎng)論，則一個(gè)四維矢量場(chǎng)Aμ(x)的模型應(yīng)該是什么樣的呢？其實(shí)四維時(shí)空的對(duì)稱性就決定了Aμ的拉格朗日量最簡(jiǎn)單的形式(動(dòng)能項(xiàng)加一個(gè)外源場(chǎng))為

(5)

Fμ ν是公式(2.1)所述電磁場(chǎng)張量也是Aμ的動(dòng)能項(xiàng)即場(chǎng)強(qiáng)：

Fμ ν=?μAν-?νAμ

(6)

jν(x)為四維電流源場(chǎng)。(這里不考慮有磁單極存在的情況，磁單極情況請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[4]) 利用變分原理可以得到Aμ的運(yùn)動(dòng)方程：

?νFμ ν=μ0jμ

(7)

這實(shí)際上只是麥克斯韋方程組的兩個(gè)方程：

而麥克斯韋方程組的另外兩個(gè)方程：

其實(shí)就是四維時(shí)空矢量場(chǎng)的協(xié)變性質(zhì)(與具體是什么場(chǎng)無關(guān))決定的一個(gè)恒等式：

?λFμ ν+?μFν λ+?νFλ μ=0

(12)

數(shù)學(xué)家一定很奇怪物理學(xué)家竟然把一個(gè)恒等式作為一個(gè)基本定律寫入理論！ 如果人們深刻理解了協(xié)變性，那么電磁學(xué)相對(duì)論理論基礎(chǔ)就是四維相對(duì)論時(shí)空矢量場(chǎng)論。麥克斯韋方程組則是該基礎(chǔ)之上的動(dòng)力學(xué)方程以及一個(gè)由協(xié)變性質(zhì)決定的恒等式了。 當(dāng)選定某個(gè)參考系，分開來看四維矢量場(chǎng)的Aμ(x)分量：

Aμ=(φ,A)

(13)

φ(x)為標(biāo)量場(chǎng)，A(x)為矢量場(chǎng)。三維空間的協(xié)變性質(zhì)決定了恒等式：

此即靜電場(chǎng)的環(huán)路定理和磁場(chǎng)的高斯定律。若學(xué)生可以從這個(gè)角度理解電磁學(xué)， 則對(duì)電磁理論就有了更加深刻的理解，也為后續(xù)的量子電動(dòng)力學(xué)等前沿理論的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。

2.2n階反對(duì)稱張量的協(xié)變性

事實(shí)上，一提到“協(xié)變性”的概念大家可能首先想到的是相對(duì)論，這是因?yàn)榱W(xué)和 (有以太存在的)電磁學(xué)都是完備理論，相對(duì)論理論關(guān)鍵點(diǎn)在于要求力學(xué)和電磁學(xué)滿足四維時(shí)空變換的對(duì)稱性，因此協(xié)變性貫穿相對(duì)論始終。在此基礎(chǔ)上，我們也明白了牛頓力學(xué)方程是三維空間協(xié)變的，現(xiàn)代量子場(chǎng)論中時(shí)空對(duì)稱性和規(guī)范對(duì)稱性是理論的第一要求。當(dāng)構(gòu)建一個(gè)滿足某種對(duì)稱性的模型時(shí)， 方程往往被要求寫成協(xié)變形式，而張量形式是實(shí)現(xiàn)這一要求的有力數(shù)學(xué)工具。 大家可以看到麥克斯韋方程組公式(8)～公式(11)方程的時(shí)空變換性質(zhì)不是明顯的，而與之等價(jià)的公式(7)和公式(12)方程則是明顯協(xié)變的， 這就是因?yàn)閮蓚€(gè)公式等號(hào)兩邊都是四維協(xié)變的張量。

現(xiàn)在的問題在于，像一階張量(矢量Aμ)或二階張量(Fμ ν)因?yàn)槠浞至繛樽兞?，因此其性質(zhì)可以由變換性質(zhì)來聲明而不會(huì)出現(xiàn)問題。 但是在狹義相對(duì)論理論里有兩個(gè)常數(shù)張量度規(guī)張量gμ ν和四階反對(duì)稱張量εμ νρ σ都滿足四維時(shí)空的洛倫茲協(xié)變性。 這不是明顯的，因?yàn)檫@兩個(gè)張量的每個(gè)分量都是常數(shù)，如果對(duì)其做任意的洛倫茲變換仍然要保持其為常數(shù)看上去似乎不合理。gμ ν的協(xié)變性質(zhì)容易理解，因?yàn)樗膮f(xié)變性實(shí)際上是洛倫茲對(duì)稱性的定義要求的。光速不變?cè)硪髸r(shí)空間隔不變：

(16)

很容易得到：

(17)

這就是度規(guī)張量的協(xié)變性質(zhì)。而反對(duì)稱張量εμ νρ σ的協(xié)變性質(zhì)在很多教科書上都一筆帶過，或者甚至不提，直接就作為一個(gè)背景知識(shí)用作協(xié)變張量了。 下面給出一個(gè)簡(jiǎn)單的證明，以方便讀者教學(xué)使用。

n階全反對(duì)稱張量εα1α2…αn又被稱為L(zhǎng)evi-Civita張量。它是由常數(shù)組成的矩陣，主要性質(zhì)為： 任意兩個(gè)指標(biāo)交換，它的數(shù)值改變符號(hào)；任意兩個(gè)指標(biāo)相等，值為零?？梢约s定：

ε01…(n-1)=1

(18)

則n階Levi-Civita張量可表示為

(19)

偶排列的意思是α0α1…αn-1任意兩指標(biāo)交換改變偶數(shù)次得到01…(n-1)的排列，奇排列亦然。

其實(shí)Levi-Civita張量在任意一個(gè)行列式為1的變換矩陣(幺模)變換下都是不變的。 我們考慮一個(gè)行列式為1的n×n矩陣A，行列式的計(jì)算可以表示為

(20)

此時(shí)我們假定εα0α1…αn-1按照矩陣A變換即：

(21)

由公式20自然有關(guān)系：

(22)

實(shí)際上由此關(guān)系就可以得到εα0α1…αn-1的全部性質(zhì)。如ε′0…(n-1)上任意的兩個(gè)指標(biāo)i,j進(jìn)行交換

(23)

(24)

這實(shí)際上是行列式的性質(zhì)之一：矩陣的兩行或者兩列交換行列式反號(hào)。 所以εα0α1…αn-1的指標(biāo)全部不同的情況就與公式(19)的要求相同了。

下面看εβ0β1…βn-1指標(biāo)中有任意的兩個(gè)指標(biāo)相同的情況， 比如βi=βj，則矩陣A的變換

(25)

這其實(shí)是把矩陣A中一行(列)作為兩行(列)來進(jìn)行行列式計(jì)算， 行列式計(jì)算中若有兩行(列)相同，線性相關(guān)結(jié)果為零。 這樣就得到Levi-Civita的全部性質(zhì)：

(26)

以上證明也可以讓我們理解二階三階反對(duì)稱張量εij，εijk的協(xié)變性質(zhì)，比如三階反對(duì)稱張量可以方便地說明矢量積的矢量性質(zhì)。兩個(gè)矢量的矢量積也是一個(gè)矢量，如：

C=A×B

(27)

矢量C的大小為

(28)

C的方向與A、B的方向滿足右手螺旋準(zhǔn)則。 如果要從這個(gè)定義出發(fā)來證明C滿足矢量的協(xié)變性質(zhì)是不容易的，因?yàn)檫@需要證明C和A、B滿足同樣的三維空間旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)。但是如果用三階反對(duì)稱張量把矢量積寫成協(xié)變形式：

Ci=εijkAjBk

(29)

(公式中對(duì)j,k指標(biāo)求和。)由三階反對(duì)稱張量的協(xié)變性質(zhì)我們就對(duì)C的性質(zhì)非常清晰了。不僅如此，εijk也給了一個(gè)很好的工具來表述三維空間的手征性質(zhì)。 這一點(diǎn)大多數(shù)教科書其實(shí)是較少涉及的，即嚴(yán)格地說，如果A、B是兩個(gè)矢量，則C是一個(gè)軸矢量。矢量和軸矢量的區(qū)別在于空間的鏡像(宇稱) 變換性質(zhì)?？臻g作一個(gè)分立變換

r→r′=-r

(30)

兩種矢量的變性質(zhì)換是不一樣的，如圖2。圖中間虛軸是對(duì)稱軸，從圖上可以看出矢量A的變換為

A→A′=-A

(31)

圖2 矢量和軸矢量的鏡像變換

軸矢量C的變換為

C→C′=C

(32)

即A的宇稱為負(fù)，而C的宇稱為正。這個(gè)變換性質(zhì)很容易從軸矢量C的定義公式(29)中看出來。由此可知牛頓力學(xué)的基本動(dòng)力學(xué)方程是一個(gè)矢量方程：

(33)

角動(dòng)量動(dòng)力學(xué)方程是一個(gè)軸矢量方程：

(34)

其中L是角動(dòng)量，M是力矩。 聯(lián)立這兩個(gè)動(dòng)力學(xué)方程把牛頓力學(xué)按照手征性質(zhì)寫為一個(gè)方程組:

注意公式中1/r是為了配平量綱。公式(35)可以定義為右手方程，它的鏡像變換為公式(36)左手方程(定義)，反之亦然。若只取其中一個(gè)方程， 則得不到牛頓力學(xué)的基本方程，而且宇稱也不守恒了。 理解這一點(diǎn)對(duì)同學(xué)以后理解量子理論中弱相互作用宇稱不守恒等現(xiàn)象是很有幫助的。這是一個(gè)簡(jiǎn)單的反對(duì)稱張量應(yīng)用的例子，n階反對(duì)稱張量在理論物理高級(jí)課程中的還有其它的重要應(yīng)用，這里就不細(xì)述了。

3 物理公式的協(xié)變性

本質(zhì)上講，沒有“物理量”協(xié)變不協(xié)變的說法，而應(yīng)該是“公式形式”是不是協(xié)變形式的問題。因?yàn)樵谀硞€(gè)理論框架內(nèi)研究某個(gè)“物理量”，這個(gè)物理量在任何參考系的變換下都會(huì)按照該理論框架的基本變換性質(zhì)變換，所以都是協(xié)變的。比如說在相對(duì)論理論中，能量、 動(dòng)量等物理量都有相應(yīng)的洛倫茲變換性質(zhì)，單純問“能量是否協(xié)變”是不合適的，而應(yīng)該問某公式是否具有協(xié)變形式。因?yàn)槿我夥菂f(xié)變形式的公式原則上都可以寫成協(xié)變形式， 而且可以寫成不同的協(xié)變形式。比如兩個(gè)粒子有動(dòng)量:

(37)

(38)

(39)

也許有讀者對(duì)任意形式的物理量都可以寫成協(xié)變形式表示懷疑。 下面這個(gè)例子更加可以說明問題?，F(xiàn)在來計(jì)算一個(gè)明顯不協(xié)變的物理量： 粒子動(dòng)量PxPy之和：

Px+Py

(40)

這是一個(gè)明顯不協(xié)變的量，但是可以找到兩個(gè)協(xié)變矢量:

在該參考系下:

(43)

則Px+Py可以寫為

(44)

也是協(xié)變形式，當(dāng)然也可以找到其他協(xié)變形式。所以原則上只要在某個(gè)理論框架下計(jì)算若干個(gè)物理量， 都可以寫成協(xié)變形式，討論某個(gè)“物理量”是否協(xié)變的意義不大。

以上的討論雖然簡(jiǎn)單，甚至近似于詭辯，但是在處理具體的物理問題上， “物理量”的協(xié)變性與“物理公式”形式的協(xié)變性往往會(huì)引起人們的混淆。 物理量如果寫成協(xié)變形式則說是協(xié)變的，如果不明顯協(xié)變，則說不是協(xié)變的。 因此同樣的一個(gè)計(jì)算過程可能會(huì)因?yàn)橛?jì)算的表述形式不一樣，得到了完全不一樣的協(xié)變性的解釋。 量子場(chǎng)論中對(duì)于散射截面的協(xié)變性理解就是一個(gè)明顯的例子。 高能物理中一個(gè)重要的物理量就是粒子的散射截面，粒子散射是這樣一個(gè)過程： 一個(gè)速度為va的粒子a(粒子流a約化為一個(gè)粒子。) 和一束流速為vb橫截面積為A的粒子流b在一條直線上 (Z軸)發(fā)生碰撞，如圖3。單位面積上在δt時(shí)間內(nèi)粒子間發(fā)生相互作用的可能性δP正比于與a粒子碰撞的b粒子數(shù)目，即

(45)

圖3 沿z軸粒子流a和b的對(duì)撞

其中,nb是b粒子的數(shù)密度;σ是比例系數(shù)。把b粒子也約化為一個(gè)粒子，然后把比例系數(shù)σ提取出來定義為粒子散射截面。它表示單位時(shí)間內(nèi)單位面積上發(fā)生一個(gè)粒子散射過程的概率。 比如一個(gè)a+b→1+2+…+n的過程，具體截面σ的計(jì)算公式為

(46)

(47)

這個(gè)因子被稱為流因子。對(duì)于流因子的協(xié)變性質(zhì)不同是場(chǎng)論教科書給出了不同的回答。 比如國(guó)內(nèi)比較流行的Peskin的《量子場(chǎng)論導(dǎo)論》[5]一書中就明確表明截面σ不是洛倫茲不變的，而僅僅是沿對(duì)撞軸Z軸平動(dòng)不變。這看上去也很合理，因?yàn)榻孛媸敲娣e的量綱，做洛倫茲平動(dòng)當(dāng)然會(huì)因尺縮效應(yīng)而改變。流因子F的形式為

(48)

εμxyν正是上文所計(jì)算的四階協(xié)變?nèi)磳?duì)稱張量。因?yàn)榈?、3指標(biāo)只取x,y分量，F(xiàn)當(dāng)然不是協(xié)變的。 但是在劍橋大學(xué)出版社出版的《現(xiàn)代粒子物理》[6]一書中就明確說明F是洛倫茲不變的， 并給出了嚴(yán)格的證明，即寫成了協(xié)變形式。為了明確啟見，這里給出詳細(xì)的推導(dǎo)過程。

(49)

則

(50)

因?yàn)?/p>

(51)

把上式中2EaEbPaPb代入公式(50)可得

因此流因子F可以寫為

(52)

這是協(xié)變的。注意這里并沒有說僅沿對(duì)撞軸Z軸平動(dòng)協(xié)變。那到底是誰錯(cuò)了？抑或都對(duì)？

正如上文所述，任何物理量都可以寫成協(xié)變形式。所以關(guān)于散射截面σ協(xié)變與否就有了不同的解釋，而在實(shí)際的物理研究中往往大家關(guān)注的都是沿著對(duì)撞軸的洛倫茲變換， (由質(zhì)心碰撞參考系變換到靶粒子參考系。)所以二者雖然結(jié)論不一樣，但并不影響最終的物理結(jié)果。但是因?yàn)榻孛孢@個(gè)物理量如此重要， 在此文中，必須明確其協(xié)變性質(zhì)。不妨定義一個(gè)物理量為

(53)

顯然Πμ ν是協(xié)變的，而F=Πxy僅是Πμ ν的一個(gè)分量， 當(dāng)然不是明顯協(xié)變的。Peskin因此說F=Πxy是明顯不協(xié)變的。 但是Πμ ν的其他分量(非Πxy,Πyx分量) 在以z軸為對(duì)撞軸的過程中(Px=Py=0)均為零。 這就類似于2.1節(jié)所述的對(duì)于靜止點(diǎn)電荷的電磁場(chǎng)張量磁感應(yīng)強(qiáng)度分量為零的情形。所以Πxy可以加上Πμ ν的其他所有的零分量寫為協(xié)變形式

(54)

讀者可以驗(yàn)證上式就與公式(52)一致了。所以對(duì)于截面σ的協(xié)變性的討論， 我們應(yīng)只討論其形式的協(xié)變性，沿z軸平動(dòng)，才可以說散射截面是協(xié)變的。 圖4以直觀的方式來說明差別：如同我們要研究矢量A和B組成的平行四邊形的面積?？梢远x的量是

(55)

或者

(56)

圖4 矢量積和面積的計(jì)算

如果A和B僅在xOy平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)則兩種定義的計(jì)算結(jié)果是一樣的， 如果在整個(gè)空間做任意的旋轉(zhuǎn)，則計(jì)算結(jié)果明顯不同。關(guān)于這個(gè)四邊形面積協(xié)變性的表述則因?yàn)槎x的不同而有不同的理解。 從2.1節(jié)靜電場(chǎng)的洛倫茲變換和散射截面的案例可以看出，當(dāng)一個(gè)協(xié)變形式的張量某些分量為零的時(shí)候，特別容易引起該量是否協(xié)變的爭(zhēng)議。 這一點(diǎn)在電磁學(xué)和場(chǎng)論課堂上加以說明，可以加深學(xué)生對(duì)協(xié)變性質(zhì)的理解。

4 結(jié)論

本文以物理量的協(xié)變性質(zhì)為主題，以大學(xué)物理和場(chǎng)論教學(xué)中的兩個(gè)例子來闡示協(xié)變性質(zhì)講解的重要性。 第一個(gè)案例中，論文用圖示的辦法形象地講解電磁場(chǎng)的洛倫茲變換，同時(shí)指出了協(xié)變性的理解可以使學(xué)生更加深刻理解電磁學(xué)理論的本質(zhì)，為后續(xù)的量子電動(dòng)力學(xué)做好鋪墊。 第二個(gè)

例子論文證明了在行列式為1的矩陣變換下n階反對(duì)稱張量是不變的。因?yàn)槁鍌惼澗仃囆辛惺綖?，所以四階反對(duì)稱張量εμ νρ σ自然是協(xié)變的。 由此也可以明白矢量和軸矢量的區(qū)別，牛頓力學(xué)方程也可以寫成手征形式。 這個(gè)證明在場(chǎng)論的高級(jí)課程中可以方便地解釋二階、三階以及其他反對(duì)稱張量的應(yīng)用。 在第三部分中，論文指出協(xié)變性是對(duì)物理公式變換性質(zhì)的表述，而某一個(gè)物理量會(huì)因?yàn)樾问讲煌胁煌瑓f(xié)變性的理解。論文以場(chǎng)論散射截面的協(xié)變性質(zhì)為例，指出不同理解的差別與聯(lián)系。 這一點(diǎn)希望能得到同行的認(rèn)可。

[1] Goldstein, et al. Classical Mechanics[M]. New York: Pearson Education International. 344.

[2] 張三慧.大學(xué)物理學(xué)—電磁學(xué)[M].3版.北京：清華大學(xué)出版社.

[3] 郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)[M].3版.北京：高等教育出版社.

[4] 王青.電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué)中的磁單極-Ⅰ[J].物理與工程，2013， 23(6)：8-11； Wang Qing. Magnetic monopole in electromagnetism and electrodynamics-Ⅰ[J]. Physics and Engineering，2013，23(6)：8-11. (in Chinese) 電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué)中的磁單極-Ⅱ[J].物理與工程，2014， 24(5)：29-33； Wang Qing. Magnetic monopole in electromagnetism and electrodynamics-Ⅱ[J]. Physics and Engineering，2014，24(5)：29-33. (in Chinese) 電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué)中的磁單極-Ⅲ[J].物理與工程，2015， 25(4)：19-24； Wang Qing. Magnetic monopole in electromagnetism and electrodynamics-Ⅲ[J]. Physics and Engineering，2015，25(4)：19-24. (in Chinese) 電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué)中的磁單極-Ⅳ[J].物理與工程，2015， 25(5)：33-40. (in Chinese) Wang Qing. Magnetic monopole in electromagnetism and electrodynamics-Ⅳ[J]. Physics and Engineering， 2015，25(5)：33-40.

[5] Peskin M, et al.量子場(chǎng)論導(dǎo)論(影印版)[M]. 新加坡： 世界圖書出版社，106.

[6] Thomson M. Modern Particle Physics[M]. Cambridge: Cambridge University Press， 70-72.

■

ON THE TEACHING OF COVARIANCE IN COLLEGE PHYSICS AND FIELD THEORY

Wang Wenyu Wang Siyu Xu Yang

(College of Applied Science, Beijing University of Technology, Beijing 100124)

This paper mainly talked about the importance of covariance in the course of college physics and field theory. We used a figure to show that how to understand the Lorentz Transformation at the end of the course of Electromagnatics. Then we showed that Levi-Civita anti-symmetric tensor is invariant under a transformation matrix which determinant equals one, thusεμ νρ σis a Lorentz covariant tensor, vector and axial-vector have different mirror transformation. At last, we argued that a physical variable will have different properties of covariance under different formulation. As a demonstration, we showed the difference and the relation in the understanding on the cross section in quantum field theory.

covariance； electro-magnetic tensor； levi-civita tensor； cross section

2016-12-01

國(guó)家自然科學(xué)基金(11375001)和北京市教委青年拔尖項(xiàng)目。

王雯宇，男，副教授，主要從事理論物理的研究和教學(xué)工作，主要研究方向?yàn)楦吣芪锢?，超出?biāo)準(zhǔn)模型新物理，wywang@mail.itp.ac.cn。

王雯宇，王絲雨，許洋. 大學(xué)物理和場(chǎng)論課程中的協(xié)變性淺談[J]. 物理與工程，2017，27(1)：30-36.