曾倩宇

摘要：數(shù)學(xué)是高中課程中一門非常重要的基礎(chǔ)學(xué)科，具有很強(qiáng)的邏輯性、抽象性和概括性。這讓數(shù)學(xué)成為了很多學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，學(xué)生甚至是迫于升學(xué)的壓力才不得不學(xué)習(xí)的。而導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，也是高考的必考考點(diǎn)。高考趨勢(shì)表明，導(dǎo)數(shù)已經(jīng)上升到主角地位，成為分析問題和解決問題的重要工具。通過學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，還可以使學(xué)生學(xué)會(huì)以動(dòng)態(tài)的、變化的、無(wú)限的變量數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來(lái)研究問題，有利于學(xué)生更好地掌握函數(shù)思想，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的思維能力，進(jìn)而有利于學(xué)生學(xué)好其他學(xué)科。那么，如何才能使學(xué)生掌握好導(dǎo)數(shù)呢？在本文中，筆者就結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐提出導(dǎo)數(shù)在高考中的考查內(nèi)容及常見的解題方法。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)；考查內(nèi)容；解題方法

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）01-0110

一、導(dǎo)數(shù)在高考中的考試內(nèi)容

1. 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，研究函數(shù)最值和極值問題

在考試中經(jīng)常會(huì)遇到要求在一定條件下使“強(qiáng)度或功率最大”“用料最省或成本最低”“效率最高或生產(chǎn)過程最優(yōu)”等問題，即求函數(shù)的最大值與最小值問題。利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的最大值及最小值。先求出方程y=0在區(qū)間[a，b]內(nèi)的解，并計(jì)算出相應(yīng)的函數(shù)值，再與區(qū)間端點(diǎn)a、b處的函數(shù)值比較，即可選出最大值與最小值及相應(yīng)的x的值。

2. 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，研究曲線的切線斜率問題

高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一：求曲線的切線。例如，求曲線y=f（x）在點(diǎn)P（a，f（a））處的切線方程，過點(diǎn)（a，b）的直線與曲線y=f（x）的相切問題，或者求兩個(gè)曲線y=f（x）和y=g（x）的公切線問題。

3. 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，研究函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性在高考試卷中，所占的地位是比較重的。求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法：（1）確定函數(shù)f（x）的定義區(qū)間；（2）求f（x），令f（x）=0，解此方程，求出它在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根；（3）把函數(shù)f（x）的間斷點(diǎn)，即f（x）無(wú)定義點(diǎn)在橫坐標(biāo)上各實(shí)根按由小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f（x）的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間；（4）確定f（x）在各小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)f（x）的符號(hào)判斷f（x）在每個(gè)相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性。

4. 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立（或存在性）

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系，直接或間接等價(jià)變形后，結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)。通過導(dǎo)數(shù)運(yùn)算判斷出函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題。

二、常見的幾種解題方法

1. 求函數(shù)最值和極值

利用導(dǎo)數(shù)解決極值和最值問題的題型大概有三類：（1）求函數(shù)極值、最值?；舅悸罚捍_定定義域，找到疑似極值點(diǎn)，求出單調(diào)區(qū)間，求出極值，再求出最值。（2）已知函數(shù)極值，求系數(shù)值或范圍。可以利用導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程解問題，求出參數(shù)，再檢驗(yàn)；也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問題。（3）已知最值，求系數(shù)值或范圍。

例如：求函數(shù)f（x）=x3-3x在[-3，3/2]上的最大值和最小值。

解：由于f ′（x）=3x2-3=3（x2-1）=3（x+1）（x-1），則當(dāng)x∈[-3，-1）或（1，3/2]時(shí)，f（x）>0，所以[-3，-1]，[1，3/2]為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f ′（x）<0，所以[-1，1]為函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間。又因?yàn)閒（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（3/2）=-9/8，所以，當(dāng)x=-3時(shí)，f（x）取得最小值-18；當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得最大值2。

例如：函數(shù)f（x）=3x4+4（1-p）x3-6px2-12p（1-p）x+12，0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)。求實(shí)數(shù)p。

解：由于f ′（x）=12x3+12（1-p）x2-12px-12p（1-p），0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，所以，f ′（0）=12p（1-p）=0，p=1。

2. 求曲線的切線方程

這個(gè)內(nèi)容的題型可以分成三種：一是求曲線過某一點(diǎn)的切線，二是求兩個(gè)函數(shù)的公切線，三是過某一點(diǎn)的直線是否與曲線相切。例如：（1）求y=f（x）在x=a處的切線，直接求出f ′（x）在x=a處的值再帶入公式即可。（2）求兩個(gè)曲線y=f（x）和y=g（x）的公切線，解決這類問題的方法是設(shè)切點(diǎn)，用導(dǎo)數(shù)求斜率，建立等式關(guān)系。這時(shí)需要分別切這兩個(gè)函數(shù)的切點(diǎn)為（x1，f（x1））和（x2，f（x2））；再建立x1和x2的等式關(guān)系，即：（x2-x1） f ′（x1）=y2-y1，（x2-x1） f ′（x2）=y2-y1；求x2、x1，進(jìn)而求出公切線。

3. 已知函數(shù)的零點(diǎn)，求系數(shù)或求零點(diǎn)個(gè)數(shù)

題型1：判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

可以采用方程法、函數(shù)圖像法、轉(zhuǎn)化法、存在性定理等方法進(jìn)行求解。

例如：設(shè)a∈R，f（x）=-1/3x^3+ax+（1-a）lnx。若函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)，求a的取值范圍。

首先，f（1）=-1/3+a，

（1）若a≥1/3，則由于當(dāng)x趨于正無(wú)窮時(shí)，f（x）趨于負(fù)無(wú)窮，且存在f（1）≥0，所以f（x）存在零點(diǎn)，也就是說a≥1/3滿足條件。

（2）若a<1/3，f ′（x）=-x2+a+（1-a）/x=（x-1）（-x2-x+a-1）/x，

由于a<1/3，所以-x2-x+a-1=0無(wú)實(shí)數(shù)解（因?yàn)棣?lt;0），所以令f ′（x）=0得x=1

于是，不難發(fā)現(xiàn)，f（x）在x=1取到唯一的極大值也是最大值。

所以，f（x）max=f（1）=-1/3+a<0，所以f（x）沒有零點(diǎn)。

綜合（1）（2）可知，a取值范圍為a≥1/3。

題型2：已知函數(shù)零點(diǎn)，求系數(shù)。

可以通過圖像法（研究函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)）；方程法；轉(zhuǎn)化法（由函數(shù)轉(zhuǎn)化方程，再轉(zhuǎn)化成函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性。）

例如：函數(shù)設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+ax-1在（0，1e）內(nèi)有極值。求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞）

求導(dǎo)函數(shù)f（x）=1/x-a/（x-1）2=x2-[（a+2）x+1]/x（x-1）2

∵函數(shù)f（x）=lnx+a/（x-1）在（0，1e）內(nèi)有極值

∴f ′（x）=0在（0，1e）內(nèi)有解，令g（x）=x2-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）

∵αβ=1，不妨設(shè)0<α<1e，則β>e

∵g（0）=1>0，

∴g（1/e）=1/e2-（a+2）/e+1<0，

∴a>e+1/e-2

4. 證明不等式恒成立

證明不等式的問題主要有以下三種方法：（上接第110頁(yè)）（1）構(gòu)造函數(shù)，研究單調(diào)性、最值、得出不等關(guān)系，有的涉及不等式放縮；（2）討論法，（3）研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的最值。如證f（x）>g（x），需證f（x）的最小值大于g（x）的最大值即可。

例如：設(shè)f（x）=-x（x-a）^2（x∈R）其中a∈R，當(dāng)a>3時(shí)，證明存在k∈[-1，0]使f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）對(duì)任意x∈R成立。

解：f ′（x）=-3x2+4ax-a2=（-3x+a）（x-a）

所以a/30函數(shù)為增函數(shù)

xa時(shí)候?yàn)闇p函數(shù)

由a>3得x<3/3=1的時(shí)候函數(shù)必為減函數(shù)

k-cosx與k2-cos2x在k∈[-1，0]時(shí)候的值都是在1以下

所以由f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）

得k-cosx≤k2-cos2x

也就是（k-cosx）（k+cosx-1）≥0而k+cosx-1≤0

所以k-cosx≤0

k≤cosx cosx∈[-1，1]

所以k=-1時(shí)能夠保證對(duì)于任意的x∈R都成立。

5. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

這方面的內(nèi)容主要有三大題型：（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（2）已知函數(shù)在某區(qū)間是單調(diào)，求參數(shù)的范圍問題?？梢匝芯繉?dǎo)函數(shù)討論，可以轉(zhuǎn)化為f ′（x）≥0或f ′（x）≤0在給定區(qū)間上恒成立的問題，也可以利用子區(qū)間（即子集思想）；首先求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集。（3）已知函數(shù)在某區(qū)間的不單調(diào)，求參數(shù)的范圍問題?？梢匝芯繉?dǎo)函數(shù)是零點(diǎn)問題，再檢驗(yàn)，也可以直接研究不單調(diào)，分情況討論。

總而言之，要學(xué)會(huì)導(dǎo)數(shù)部分，就必須找到合適的解題方法，加強(qiáng)練習(xí)。作為數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)該積極探索，提高自身的教學(xué)水平。

（作者單位：廣西欽州市欽州三中 535000）