楊海峰， 吳子燕， 孫 蓬， 張 坤

(1.西北工業(yè)大學力學與土木建筑學院 西安，710129) (2.西北工業(yè)大學計算機學院 西安，710129)

基于逆有限元的應變模態(tài)損傷檢測方法*

楊海峰1， 吳子燕1， 孫 蓬2， 張 坤1

(1.西北工業(yè)大學力學與土木建筑學院 西安，710129) (2.西北工業(yè)大學計算機學院 西安，710129)

基于光纖光柵傳感器(fiber Bragg grating,簡稱FBG)逆有限元方法(inverse finite element method,簡稱iFEM)，僅利用有限測點的應變數據進行全域應變場重構，得到近似完全測量應變模態(tài)，提高了直接采用實測應變數據來構建應變模態(tài)損傷指標的實用性。利用基于損傷應變模態(tài)差分原理的損傷指標法，只需用損傷后應變模態(tài)數據即能定位損傷，并給出了損傷指標數學模型。計算結果表明，基于光纖光柵傳感器和逆有限元方法可以快速進行全域應變場重構，為基于應變模態(tài)的損傷檢測提供數據保障，而應變模態(tài)差分曲線只在損傷處發(fā)生劇烈變化，損傷程度不同，曲線突變程度略有不同但規(guī)律一致。最后以某板的實驗結果證明了該方法的有效性。

逆有限元法；損傷檢測；應變模態(tài)；光纖光柵傳感器

引 言

結構損傷識別作為結構健康監(jiān)測系統(tǒng)的核心內容，在航空航天、機械和土木工程等領域得到應用。由于實際結構的早期微小損傷不容易被檢測出來，會對結構的安全性與可靠性產生影響，甚至引發(fā)重大事故。通常結構損傷會引起模態(tài)參數的變化，國內外學者提出了很多識別損傷的指標，如固有頻率、振型、位移類模態(tài)參數(模態(tài)柔度、位移、位移模態(tài))和應變類模態(tài)參數(曲率模態(tài)、應變、應變模態(tài))等[1-4]。

已有大量研究表明，固有頻率僅能識別損傷是否存在,而不能識別其位置和程度。模態(tài)柔度對單損傷有較好的識別能力，但對多損傷效果不明顯。位移模態(tài)僅能識別損傷位置和總體的損傷程度，但不能識別局部損傷程度。應變模態(tài)對損傷識別優(yōu)于位移模態(tài)，特別是在結構局部應力集中或裂紋檢測時，它能獲得結構的動應變，且應變值只在損傷附近變化明顯，遠離損傷處改變不大。

采用應變模態(tài)至少有兩方面的好處，其一是可免去由位移到應變計算過程中所帶來的誤差，而這種誤差往往是很難控制的。因為由位移到應變是微分過程，位移的微小改變將被放大，從而引起應變參數的顯著變化。因此，應變類參數(應變模態(tài)和曲率模態(tài))對結構局部微小損傷反應較敏感，而位移模態(tài)對此反應甚微。其二是可直接研究某些關鍵部位的應變，如應力集中問題和局部結構變動對附近受力情況的影響等。

應變類損傷指標大多需要利用損傷前后的模態(tài)數據。實際上，由于設計資料不全、施工離散性和材料劣化等問題，要得到損傷前的精確狀態(tài)非常困難。因此應變類損傷指標法在實際工程中尚難以推廣應用[5]。為此，筆者利用光纖光柵傳感器和逆有限元理論，提出基于逆有限元的應變模態(tài)損傷檢測方法，僅利用有限測點的應變數據且無需損傷前的模態(tài)數據即可進行損傷檢測。

1 基本理論

1.1 應變模態(tài)基本理論

應變是位移的一階導數,對應于每一階位移模態(tài)，必有其對應的固有應變分布狀態(tài)，這種與位移模態(tài)相對應的固有應變分布狀態(tài)稱之為應變模態(tài)，它能反映結構的固有特征。設彈性結構的變形位移為u，ν和w，運用模態(tài)疊加進行應變εx推導

(1)

(2)

(3)

位移響應表示為

(4)

根據應力應變關系，得到應變響應表達式為

(5)

其中：εx，εy，εz為正應變；γxy，γyz，γzx為剪應變。

通常剪切應變無法直接測量，筆者將光纖光柵傳感器按照應變花的形式布置，如圖1所示，再利用平面應變理論推導出剪切應變。

圖1 光纖光柵傳感器布置形式Fig. 1 Placement of fiber Bragg grating sensor

由平面應變狀態(tài)幾何關系分析可知

其中：εα和γα分別為α截面上的線(正)應變和切應變。

將α=45°代入式(6)，可得

(8)

γxy=εx+εy-2ε45°

(9)

按筆者方式貼放光纖傳感器并結合式(9)，即可獲得待測點的應變εx,εy和γxy。

1.2 損傷應變模態(tài)差分數學模型

(10)

其中：xi為節(jié)點i的坐標值。

設xi+1-xi=h，并假定h充分小，不計三次冪項及更高次冪項，等間距差分式為

(11)

曲線的變化程度通常利用導數反映，但在未歸一化之前，各階應變模態(tài)差分曲線數量級存在差異，沒有可比性，此外還存在試驗或計算誤差等引起的突變假象問題，導致直接從差分曲線進行突變程度定量判定較為困難。為此引入有效極值點概念[6]：若差分曲線任意相鄰兩極值符號相異，則它們之間有且僅有一個零值點，該極值點稱為有效極值點。

基于有效極值點定義的損傷位置指標數學模型為

(12)

其中：ID(j)為某階應變模態(tài)差分曲線第j個有效零值點損傷位置指標值；xi,yi分別為差分曲線有效極值點與相應的極值；l為總體跨度尺寸。

該指標具有明確的位置坐標，且ID(j)值越大，損傷可能性越大，再結合差分曲線變化規(guī)律，即可判定損傷位置。

1.3 基于光纖光柵傳感器和逆有限元的應變模態(tài)損傷識別

將應變模態(tài)指標應用于實際結構損傷檢測，首先要解決測量手段問題。和傳統(tǒng)的應變片相比，光纖光柵對應力應變變化非常敏感，測量精度也非常高，應變測量分辨率已達1 με，利用光纖光柵傳感器復用技術還可同時測量多點應變，甚至埋入被測構件內部，實現(xiàn)構件內部應力應變測量[7-8]。

但若想獲取未布置傳感器區(qū)域的應力應變信息，以及區(qū)域內任一點的應力應變，要根據已知測點數據進行結構全域應力應變反演。在這個過程中，逆有限元法被證明是一種比較有效的方法。

離散應變測量值重構結構中每個結點的應變和位移屬于逆數學問題。在不必要滿足存在性、唯一性和穩(wěn)定性的意義上，逆問題是不適定的。對于這類問題，通常的解法是基于正則化算子構建近似解，但此近似解只有在測量數據變化小的情況下是穩(wěn)定的。Tessler等[9-11]基于有限元思想，結合變分原理，提出逆有限元法，其本質是首先根據傳感器布局，對結構進行合理的有限元網格劃分(劃分方式與傳感器布局有關，筆者采用均布方式)，然后利用實驗測得的結構表面應變，選取合適的有限元形函數對單元進行反演推導，再將單元方程擴展至結構整體方程，由此實現(xiàn)僅利用有限測點數據進行結構全域應力應變反演。其變分公式基于對最小二乘泛函求最小值，且該泛函僅使用符合一階線性剪切變形理論的應變測量數據。由于該公式容許橫向剪切變形，因此適用于薄的及適中厚度的板殼結構。變分原理的主要好處是適用于具有C0連續(xù)性的有限單元離散化，因此可以將魯棒性算法應用到復雜的民用和航空結構，特別適合針對下一代實時結構健康監(jiān)測系統(tǒng)的使用。

運用逆有限元法進行結構全域應力應變場反演的主要理論推導過程如下。

首先，使用由Mindlin理論應變值和對應的應變測量值構成的最小二乘差分項構建誤差泛函，其中Mindlin應變值以位移的形式表示。受懲罰參數控制的正則化項強迫其服從橫向剪切應變的約束條件，由于這個設定，使所有應變協(xié)調關系自然明確地得到滿足，所以該方法與材料的彈性和慣性特性無關[9]。

平板殼單元的變形按Mindlin理論中的位移向量定義為

(13)

其中：u=u(x,y),v=v(x,y)分別為中平面x和y方向上的位移；θx=θx(x,y)，θy=θy(x,y)分別為以x軸負方向和y軸正方向為法線的轉角；w=w(x,y)為撓度變量，其沿厚度坐標z∈[-t,t]恒定不變；2t為板殼的總厚度。

應變位移關系式為

(14)

與中平面拉伸相關聯(lián)的膜應變?yōu)?/p>

Leu

(15)

同理，彎曲曲率及橫向剪切可分別寫為k(u)≡Lku和g(u)≡Lgu。

圖2 使用應變花測量板的上下表面應變Fig.2 Measurement of strain of using FBG strain flower

結構單元位移向量由最小二乘泛函取極值時獲得，可表示為

(16)

利用位移有限單元法，通過使用適當的形函數插值式(16)中的位移場，可得

(17)

其中：N為具有C0連續(xù)性的非等參形函數矩陣。

Keue=fe

(18)

其中：Ke僅為位置坐標的函數；fe為坐標和實測應變值的函數。

最后，通過標準有限單元集成操作，將離散的單元矩陣組裝到整體線性方程系統(tǒng)中，即可實現(xiàn)位移自由度從單元局部坐標系到總體坐標系的轉換。通過施加Mindlin位移邊界條件，位移自由度解存在且唯一。一旦得到結點位移，可通過單元級別的簡單計算得到平滑的單元應變。這些計算都基于線性方程，因此計算效率很高。

運用逆有限元方法進行全域反演之后，可獲取近似完全測量的應變模態(tài)，解決了傳統(tǒng)應變模態(tài)損傷指標需要完備的實測振型問題，大大提高直接采用測量數據構建應變模態(tài)損傷指標進行損傷檢測的實用性。

2 算例及分析

以圖3所示的懸臂板為例，對筆者提出的算法進行驗證。板尺寸為65 cm×30 cm×0.68 cm，左端采用三點固定，材料彈性模量E=210 GPa，泊松比ν=0.3，測試儀器包括光纖傳感器、光纖光柵波長解調儀等。損傷設置情況為在兩個單元(1157號、809號)處的單元剛度分別降低20%和50%(如圖4所示)，其位置(x,y)坐標分別為(51 cm×17 cm，28 cm×12 cm)。在距右端5 cm處(距上邊緣10 cm)施加集中力P，采用懸掛標準砝碼的方式施加激勵，模擬集中作用力(實驗所用的板右側有一微孔可以吊裝標準砝碼荷載)。

圖3 構件尺寸圖(單位：cm)Fig.3 Size chart of plate(unit:cm)

圖4 實驗現(xiàn)場與有限元模型圖Fig.4 Experimental field and finite element model (FEM)

首先，利用布置在板上的光纖傳感器(每個測點為一組應變花)測得18個點的應變值；然后，利用逆有限元法進行結構全域應力應變反演與重構，以獲取近似完全測量的應變模態(tài)，逆有限元法反演重構的撓度圖以及損傷后的各階應變模態(tài)如圖5，6所示。

從圖5可以看出，利用逆有限元法對懸臂板撓度的反演重構結果與有限元仿真軟件計算的撓度結果非常接近(從數據上對比顯示平均相對誤差僅為1.73%，因數據量過多，此處未列出)，表明逆有限元法在全域反演方面具有非常好的效果。

通過逆有限元法反演可得到近似完全測量的應變模態(tài)，這是普通應變測量無法做到的。利用反演后的損傷應變模態(tài)數據計算三維應變差分結果及應變模態(tài)差分曲線結果如圖7，8，9所示。應變模態(tài)差分曲線及損傷位置指標為曲線形式，因此只取經過損傷點的二維應變模態(tài)差分曲線上的數據進行計算。

圖5 逆有限元法反演重構撓度與有限元軟件數值分析結果Fig. 5 Deflection results of iFEM method and FEM software

圖6 損傷后應變模態(tài)Fig. 6 Strain model shape before and after damage

圖7 五階應變模態(tài)的三維應變差分圖Fig. 7 3D Strain difference diagram of order 5

圖8 第1階應變模態(tài)差分曲線Fig.8 Strain modal difference curve of first order

圖9 第3階應變模態(tài)差分曲線Fig.9 Strain modal difference curve of third order

類別損傷程度20%50%1階ID(1)18.457.60ID(2)26.8232.21ID(3)18.567.3ID(4)3.525.253階ID(2)9.1110.81ID(3)30.1743.52ID(4)10.1211.33ID(5)22.866.23

黑體數字對應損傷位置

從圖6可以看出，僅僅從應變模態(tài)圖中很難發(fā)現(xiàn)損傷情況(應變模態(tài)圖中左邊界處的3個峰值是由于板的左端采用三點固定夾持方式導致)，在假設能夠獲取損傷前模態(tài)數據的前提下或許還可以利用損傷前后的數據對比分析來判斷損傷情況，但在無法獲取損傷前數據時，僅根據模態(tài)數據來分析損傷將非常困難。應變差分圖中，雖然一階模態(tài)差分曲線并不能明顯看出損傷，但在三階模態(tài)差分曲線中可以發(fā)現(xiàn)在損傷發(fā)生的位置曲線有明顯的突變(由于噪聲干擾及數據降噪處理后，20%損傷處的突變較小)。這也說明無論是單一損傷還是多個損傷，都可以在應變模態(tài)差分曲線中得到體現(xiàn)，表明筆者提出方法的有效性。

由圖8，9還可知，在歸一化之前，各階應變模態(tài)差分數據的數量級相差懸殊，無法統(tǒng)一對比，只能借助歸一化之后的損傷指標ID(j)進行分析。若某點在某階或多階ID值越大，損傷可能性越大。實際計算結果如表1所示，可以看出，各階的損傷處ID值均為最大值(1階的ID(2)和3階的ID(3)，分別對應著剛度降低20%和50%的兩處損傷位置)。節(jié)點處損傷可通過其余階指標值ID(j)定位，再結合差分曲線變化規(guī)律判定出損傷位置。

3 結束語

基于光纖光柵傳感器和逆有限元方法，利用有限測點的應變數據進行全域應變場重構，得到近似完全測量應變模態(tài)，解決了傳統(tǒng)應變模態(tài)損傷指標需要完備的實測振型問題。利用基于損傷應變模態(tài)差分原理的損傷指標法，僅用損傷后的數據進行了損傷定位。計算結果表明，逆有限元法是根據已知測點數據進行結構全域應力應變反演比較有效的一種方法，通過逆有限元全域反演可得到近似完全測量的應變模態(tài)，這是普通應變測量無法做到的。還發(fā)現(xiàn)除支座附近外，應變模態(tài)差分曲線只在損傷處發(fā)生劇烈變化，損傷程度不同，突變程度略有不同但規(guī)律一致。懸臂板的實驗結果也證明所提方法的有效性。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.01.023

*國家自然科學基金資助項目(51278420);中央高校基本科研業(yè)務費專項資金資助項目(3102015BJ(II)MYZ13); 西北工業(yè)大學研究生創(chuàng)意創(chuàng)新種子基金資助項目(Z2016094);西北工業(yè)大學基礎研究基金資助項目(JCY20130125)

2015-11-23；

2016-05-31

O327;TH17

楊海峰，男，1976年9月生，博士。主要研究方向為結構健康監(jiān)測與結構損傷檢測。曾發(fā)表《基于MIGA算法的結構模型修正研究及其應用》(《振動、測試與診斷》2012年第32卷第2期)等論文。 E-mail: hfyang@nwpu.edu.cn