喬培君，金 秋

(1.武漢理工大學(xué) 汽車工程學(xué)院，湖北 武漢 430070；2.武漢理工大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢430070；3.現(xiàn)代汽車零部件技術(shù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430070)

零度弧齒錐齒輪是中點(diǎn)螺旋角為零度的弧齒錐齒輪，用于相交軸之間傳遞運(yùn)動(dòng)，具有傳動(dòng)效率高、傳遞平穩(wěn)、工作可靠、噪音小等優(yōu)點(diǎn)，在輪船、汽車、礦山、農(nóng)機(jī)等方面發(fā)揮著極其重要的作用[1]。由于其齒面形狀是不規(guī)則的圓弧形、錐狀，因此其幾何建模比較困難，不利于其優(yōu)化設(shè)計(jì)與加工制造的實(shí)現(xiàn)。目前，零度錐齒輪實(shí)體建模方法有以下兩種：一種是基于球面漸開(kāi)線形成原理，利用三維造型軟件進(jìn)行實(shí)體建模[2]，該方法將輪齒進(jìn)行參數(shù)化設(shè)計(jì)，沒(méi)有涉及嚙合原理、機(jī)床加工體系，不利于齒形優(yōu)化設(shè)計(jì)與齒輪機(jī)床加工制造的進(jìn)行；另一種方法是以空間嚙合原理與機(jī)床加工體系為基礎(chǔ)[3-4]，利用微分幾何進(jìn)行矩陣變換，得到齒面方程，由數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合成齒面模型，該方法得到的齒面更加光滑精確。第二種方法通過(guò)將弧齒面在機(jī)床平面上進(jìn)行旋轉(zhuǎn)投影，選取由頂錐面、根錐面、外錐面、內(nèi)錐面的投影線作為邊界構(gòu)成的區(qū)域來(lái)求解齒面點(diǎn)坐標(biāo)，這種方法在確定區(qū)域邊界時(shí)較為復(fù)雜繁瑣，且存在誤差。筆者將第二種方法進(jìn)行改進(jìn)、延伸，通過(guò)設(shè)計(jì)全齒高等參數(shù)確定加工刀盤的刀刃高度和刀具參數(shù)t的范圍；依據(jù)產(chǎn)形原理，在“刀盤-搖臺(tái)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換”示意圖中確定刀盤轉(zhuǎn)角φm的范圍，以此來(lái)確定邊界條件，因此該方法更為精確，曲面參數(shù)范圍的選取更為簡(jiǎn)潔，建模過(guò)程的控制更為嚴(yán)格。根據(jù)銑齒加工原理，由刀盤軸截面方程及截面參數(shù)推導(dǎo)出零度錐齒輪的大小輪齒面方程，在確定刀盤轉(zhuǎn)角范圍的前提下，運(yùn)用MATLAB計(jì)算齒坯凹凸面的點(diǎn)坐標(biāo)，在Pro/E里建立了零度錐齒輪的精確幾何模型[5]。

1 零度弧齒錐齒輪的加工原理

零度弧齒錐齒輪是在銑齒機(jī)上加工的，如圖1所示，在機(jī)床的搖臺(tái)機(jī)構(gòu)上可以模擬出一個(gè)假想齒輪，某一時(shí)刻刀盤的一個(gè)旋轉(zhuǎn)錐面相當(dāng)于假想齒輪的一個(gè)齒面。工件與假想齒輪以某傳動(dòng)關(guān)系各自旋轉(zhuǎn)同時(shí)進(jìn)行嚙合，刀盤此時(shí)在工件輪坯上切出一個(gè)齒槽。如此運(yùn)動(dòng)，刀盤就能加工出來(lái)輪齒齒面。這種加工方法稱為展成法，該假想齒輪稱為產(chǎn)形輪[6-8]。在大輪與小輪嚙合部位之間模擬出一個(gè)平面產(chǎn)形輪如圖2所示。當(dāng)小輪與大輪以一定的傳動(dòng)比做嚙合運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)形輪可以替代任意一個(gè)工件進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，而不影響兩個(gè)齒輪的整體嚙合效果。其中，大輪、小輪、產(chǎn)形輪共用一個(gè)錐頂O，重合部分是接觸點(diǎn)P，ω1、ω2、ωg分別為小輪、大輪和產(chǎn)形輪的轉(zhuǎn)速。

圖1 機(jī)床設(shè)計(jì)原理

圖2 產(chǎn)形輪展成原理

2 齒面方程的建立

2.1 大輪齒面方程的推導(dǎo)

2.1.1 大輪刀盤切削錐面方程

圖3為加工零度弧齒錐齒輪大輪所用的雙面銑刀盤的截面示意圖，圖中，r2v為加工左旋大輪所用的刀盤半徑，α為刀面齒形角，值為20°。刀盤截面分為內(nèi)刀面、外刀面與齒槽底面，其中，內(nèi)刀面加工大輪的凸面，外刀面加工大輪的凹面。S1為大輪大端齒槽厚，ht為全齒高，ha2為大輪齒頂高，hf2為大輪齒根高，通過(guò)這些變量求出刀刃處刀頂距w2的值，t為刀盤齒形變量，可得刀盤截面方程為：

圖3 大輪所用刀盤軸截面

將刀盤截面繞Zt軸旋轉(zhuǎn)一周，得到刀盤切削錐面方程和刀盤切削曲面單位法矢量分別為：

(2)

(3)

2.1.2 大輪機(jī)床的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系

通過(guò)圖4機(jī)床坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換位置圖可知，大輪的齒面方程與嚙合方程分別為：

r2b(φ2m,t,θ)=T2b2a(φ2)×T2a2m×

T2m20(φ2m)×T202×r2(t,θ)

(4)

n2b(φ2m,t,θ)=L2b2a(φ2)×L2a20×

L202m(φ2m)×L2m2×n2(t,θ)

(5)

圖4 加工大輪的機(jī)床轉(zhuǎn)換關(guān)系

式(4)中，T202為刀盤坐標(biāo)系到搖臺(tái)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣；T2m20為搖臺(tái)坐標(biāo)系到機(jī)床坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，T2a2m為機(jī)床坐標(biāo)系到輔助坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，T2b2a為輔助坐標(biāo)系到輪坯坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。式(5)中，Lij為各轉(zhuǎn)換矩陣提取前三行與前三列所構(gòu)成的子矩陣。其中，φ2=-i2×φ2m，i2為機(jī)床滾比，φ2m為產(chǎn)形輪的轉(zhuǎn)角。

大輪的嚙合方程為：

n2b(φ2m,t,θ)×V2b2m(φ2m,t,θ)=0

(6)

(7)

式(6)中，n2b為產(chǎn)形輪與大輪在嚙合點(diǎn)的公共單位法矢量；V2b2m為產(chǎn)形輪與大輪在嚙合點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度[9]；其求解方法見(jiàn)式(7)，τ為時(shí)間變量。將式(4)與式(6)聯(lián)立，在MATLAB軟件中求解，可消除參數(shù)φ2m，得到由曲面參數(shù)t和θ表示的大輪齒面方程r2b(t,θ)。

2.2 小輪齒面方程的推導(dǎo)

小輪的齒面方程推導(dǎo)過(guò)程與大輪的齒面方程推導(dǎo)過(guò)程的原理是一樣的，但是小輪的加工情況比大輪復(fù)雜，右旋小輪使用單刀刀面法加工，即內(nèi)刀面與外刀面分別加工出小輪的凸面與凹面。加工小輪的刀盤軸截面如圖5所示，小輪的刀盤截面方程與切削錐面方程分別為：

(8)

(9)

圖5 小輪所用刀盤軸截面

那么小輪的齒面方程與嚙合方程為：

r1b(φ1m,t,θ)=T1b1a(φ1)×T1a1m×

T1m10(φ1m)×T101×r1(t,θ)

(10)

n1b(φ1m,t,θ)×V1b1m(φ1m,t,θ)=0

(11)

將式(10)與式(11)聯(lián)立，在MATLAB軟件中求解，可得到由參數(shù)和表示的小輪齒面方程。

大輪和小輪的主要參數(shù)與主要機(jī)床調(diào)整參數(shù)如表1和表2所示。

表1 齒輪副的基本參數(shù)

3 齒面點(diǎn)的求解

表2 機(jī)床調(diào)整參數(shù)

圖6 刀盤-搖臺(tái)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系

在MATLAB[10]里面編寫循環(huán)程序，設(shè)定t和θ的步長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算，得到齒面點(diǎn)在輪坯坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值。

4 齒輪實(shí)體模型的建立

(1)以大輪為例將計(jì)算得到的點(diǎn)坐標(biāo)值按照X,Y,Z排列成3列N行的形式，保存為Pro/E能識(shí)別的“ibl”文件。用記事本打開(kāi)該文件進(jìn)行以下的編輯操作：

open

arclength

begin section!1

begin curve!15.4608498e+01-2.8226705e-01 1.7203320e+02

5.8056706e+01-1.9763803e+00 1.7124564e+02

6.1504915e+01-3.6704936e+00 1.7045809e+02

……

begin curve!25.3586427e+01 -8.2940911e-01 1.6881336e+02

5.7023882e+01 -2.5292791e+00 1.6799194e+02

……

將該文件導(dǎo)入到Pro/E中，生成齒面網(wǎng)格線，通過(guò)邊界混合命令生成的輪齒齒面，最后形成應(yīng)當(dāng)去除材料的部分曲面，編輯生成齒槽實(shí)體如圖7所示。

圖7 齒槽實(shí)體

(2)在Pro/E中建立齒坯實(shí)體模型。對(duì)齒坯模型進(jìn)行去除材料操作，陣列形成大輪三維實(shí)體模型如圖8所示，用同樣的方法得到小輪的三維實(shí)體模型如圖9所示。

圖8 大輪實(shí)體模型

(3)將大小齒輪裝配后，在Pro/E里進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，如圖10所示。

圖9 小輪實(shí)體模型

圖10 齒輪裝配體模型

5 結(jié)論

(1)根據(jù)零度弧齒錐齒輪的銑齒加工原理，建立了齒輪加工的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，由刀盤軸截面方程及截面參數(shù)推導(dǎo)出零度錐齒輪的齒面方程。

(2)基于展成法加工原理，確定銑刀盤轉(zhuǎn)角范圍，運(yùn)用MATLAB編程計(jì)算齒面點(diǎn)的坐標(biāo)值。

(3)將點(diǎn)坐標(biāo)值以一定的格式導(dǎo)入到Pro/E中，生成齒廓曲線，通過(guò)邊界混合功能生成完整齒面，最后得到完整的實(shí)體模型，為零度弧齒錐齒輪的傳動(dòng)分析提供了理論依據(jù)。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用Pro/E建立了零度錐齒輪的大小齒輪模型，并進(jìn)行裝配與運(yùn)動(dòng)仿真，為零度錐齒輪的傳動(dòng)分析與加工制造提供理論依據(jù)。

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