(渤海大學(xué) 教育與體育學(xué)院，遼寧 錦州 121000)

基于初中教材提升學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法

申依平

(渤海大學(xué) 教育與體育學(xué)院，遼寧 錦州 121000)

在新課程理念下，掌握數(shù)學(xué)思想方法是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的必要條件。近年來，中高考的命題逐漸趨向數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，這就要求教師增強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)意識(shí)，在教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)容，在解決例題中強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法，并逐步內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；滲透

數(shù)學(xué)思想是在解題過程中所采用的解題策略，而數(shù)學(xué)方法是解題的步驟、程序，可以說數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體表現(xiàn)，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的抽象概括，二者統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法。在新課程標(biāo)準(zhǔn)下的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要求不斷強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。新課標(biāo)在繼承我國數(shù)學(xué)教育注重“雙基”傳統(tǒng)的同時(shí)，提出“四基”與“四能”。“四基”即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，“四能”即發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。更加突出了培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，提出使學(xué)生理解和掌握“基本的數(shù)學(xué)思想方法”，獲得“基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。在實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生雖然做題不計(jì)其數(shù)，但最終的效果卻不盡如人意，其原因在于：數(shù)學(xué)課堂上著重于精講多練的方法，而忽略了數(shù)學(xué)思想方法的滲透。在初中數(shù)學(xué)教材例題中，蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)思想方法，這就要求教師在解決數(shù)學(xué)問題的同時(shí)，還要對(duì)其所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行提煉與總結(jié)，并不斷向?qū)W生滲透這種思想方法，使數(shù)學(xué)思想內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、轉(zhuǎn)化化歸思想方法

化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思想策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式。當(dāng)面對(duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)，若已有知識(shí)不能或不易解決該問題時(shí)，往往將需要解決的問題不斷轉(zhuǎn)化形式，把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問題，使一種數(shù)學(xué)對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學(xué)對(duì)象。它們均是將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”、將“陌生”轉(zhuǎn)化為“熟悉”、將“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡單”的解題方法。

在計(jì)算異分母的分式加減法時(shí)，首先要找到各分式的最簡公分母，將分式進(jìn)行通分，進(jìn)而將異分母的分式加減法轉(zhuǎn)化為同分母的分式加減法。同理，在解決分式方程問題時(shí)，第一個(gè)步驟就是將不熟悉的分式方程的等號(hào)兩側(cè)同時(shí)乘上分式的最簡公分母，由此可將分式方程問題轉(zhuǎn)化成較為熟悉的整式方程的問題，進(jìn)而求解。這些過程都是將“陌生”轉(zhuǎn)化為“熟悉”，因此在教學(xué)過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生逐步思考，將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的形式，提示學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)解決新的問題。

再如求平行四邊形面積，在不知道平行四邊形的面積公式的情況下，通過演示割補(bǔ)、平移的過程，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化為長方形問題，并且引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式。這樣，在探究新知過程中，既能培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，又能較好地培養(yǎng)學(xué)生的化歸意識(shí)。

二、分類討論思想方法

分類的思想是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)研究中經(jīng)常用到的，又叫作邏輯劃分。不論從宏觀上還是從微觀上對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類，都是深化研究對(duì)象、發(fā)展科學(xué)必不可少的思想。因此分類討論既是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想。當(dāng)問題的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類進(jìn)行分別研究，最終綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答。在初中階段的三角形和絕對(duì)值問題中，就存在需要分類討論的情況，此類問題往往有多解答案是學(xué)生沒有考慮全面的，因此較容易丟分。在平時(shí)的解題過程中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)多種情況進(jìn)行分析并分類求解，使學(xué)生會(huì)區(qū)分在何種情況下需要進(jìn)行分類討論。

例1：在等腰三角形中，已知其中一個(gè)角的度數(shù)為30°，那么其他兩個(gè)角的度數(shù)為多少？

像此類三角形問題中，首先要分兩種情況討論：(1)頂角為30°；(2)底角為30°。尤其在做填空題時(shí)，多解問題是學(xué)生最易忽略的，因此在平時(shí)練習(xí)中，對(duì)于此類相關(guān)問題要不斷提醒學(xué)生要將三角形的種類考慮全面。

例2：若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于-4與2之間，求|a+4|+|a-2|的值。

本題存在兩組絕對(duì)值，根據(jù)題意可知，需分三種情況討論：

(1)a=-4； (2)-4

在這三種情況下分別求值，最終綜合所有結(jié)果得出結(jié)論。

三、數(shù)形結(jié)合思想方法

“數(shù)無形不直觀，形無數(shù)難入微。”數(shù)形結(jié)合的思想是重要的數(shù)學(xué)思想，將數(shù)量關(guān)系與空間形式巧妙地結(jié)合起來。在數(shù)學(xué)教材中，尤其注意這種思想的滲透，借助空間幾何直觀的特點(diǎn)，將數(shù)形結(jié)合的思想更好地反映出來。利用圖形的直觀性來體現(xiàn)出數(shù)量之間的聯(lián)系，將抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，實(shí)現(xiàn)代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化、相互滲透，為研究和探究數(shù)學(xué)問題開辟重要途徑。

在推導(dǎo)平方差公式和完全平方公式時(shí)，教材中從用兩種方法求出所給長方形的面積入手，再根據(jù)面積相等最終得出兩種結(jié)果相等，由此使學(xué)生自主探究，得出平方差公式和完全平方公式。在這一推導(dǎo)過程中，學(xué)生能很輕松地獲得新知，并且圖形的直觀性也能使學(xué)生進(jìn)一步理解公式。

此外，在剛引入絕對(duì)值的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，學(xué)生可能難以理解，如若引入數(shù)軸來直觀地觀察，絕對(duì)值的概念就能較為輕易地理解。找到數(shù)軸上的一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離即為絕對(duì)值，利用數(shù)形結(jié)合的思想使學(xué)生理解絕對(duì)值的幾何意義的同時(shí)了解絕對(duì)值的意義。

在解決一元一次不等式的相關(guān)問題時(shí)，也可與一次函數(shù)圖像建立聯(lián)系。教師利用一次函數(shù)的圖像，對(duì)圖像與不等式間的關(guān)系進(jìn)行適當(dāng)聯(lián)系，在圖像中找出不同的x值所對(duì)應(yīng)的y值情況，向?qū)W生展示分析過程。在傳授知識(shí)和做題過程中向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用這種方法，在獨(dú)立解題過程中可以將抽象的數(shù)量問題利用直觀的圖形來找到答案。

四、函數(shù)與方程思想方法

所謂的方程思想也就是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過適當(dāng)設(shè)元建立起方程(組)，然后再通過解方程(組)使問題得到解決。這種思想方法是解決數(shù)量關(guān)系問題的一種非常基礎(chǔ)又有效可行的方法，由于它思路清晰、關(guān)系明確，多數(shù)學(xué)生習(xí)慣運(yùn)用方程來解題，而這種思想在解決生活實(shí)際問題中也有著廣泛的應(yīng)用。

例3：某電信公司有甲、乙兩種手機(jī)收費(fèi)業(yè)務(wù)。甲種業(yè)務(wù)規(guī)定月租費(fèi)10元，每通話1min收費(fèi)0.3元；乙種業(yè)務(wù)不收月租費(fèi)，但每通話1min收費(fèi)0.4元。你認(rèn)為何時(shí)選擇甲種業(yè)務(wù)更合算？何時(shí)選擇乙種業(yè)務(wù)更合算？

例4：某公司40名員工到一景點(diǎn)集體參觀，景點(diǎn)門票價(jià)格為30元/人。該景點(diǎn)規(guī)定滿40人可以購買團(tuán)體票，票價(jià)打八折。這天恰逢婦女節(jié)，該景點(diǎn)做活動(dòng)，女士票價(jià)打五折，但不能同時(shí)享受兩種優(yōu)惠，請(qǐng)你幫他們選擇購票方案。

在解決此類生活實(shí)際問題時(shí)，通常利用函數(shù)的思想方法，根據(jù)題意分別列出兩種情況下的函數(shù)關(guān)系式，再利用不等式的知識(shí)對(duì)兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行比較，最終聯(lián)系實(shí)際得出答案。在教學(xué)過程中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立找出題中的數(shù)量關(guān)系，并列出函數(shù)關(guān)系式，培養(yǎng)學(xué)生利用函數(shù)與方程的思想方法解決相關(guān)實(shí)際問題。

五、類比聯(lián)想思想方法

波利亞曾說過，“類比是一個(gè)偉大的引路人”。在研究某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，通常根據(jù)知識(shí)間的相似點(diǎn)提出假設(shè)和猜想，從而把已知的知識(shí)類比推廣到類似的新問題中，促使發(fā)現(xiàn)新結(jié)論?？梢哉f類比思想是一種猜想、推理，從一個(gè)已知的領(lǐng)域去探索另一個(gè)領(lǐng)域。類比的思想體現(xiàn)出“以舊引新”的原則，在教學(xué)過程中，提供學(xué)生思維發(fā)生的背景材料，回憶和利用舊知，引導(dǎo)學(xué)生利用已有知識(shí)去探索新知識(shí)。

在學(xué)生剛剛接觸分式，進(jìn)行分式的加減法時(shí)可能存在一些困難。那么，可以類比分?jǐn)?shù)的加減法，先進(jìn)行通分，通分為同分母的分式時(shí)再進(jìn)行運(yùn)算。此時(shí)，不僅運(yùn)用了類比較為熟悉的分?jǐn)?shù)的思想方法，同時(shí)也運(yùn)用了將異分母加減法轉(zhuǎn)化為同分母加減法的轉(zhuǎn)化的思想方法。而在研究分式的分母為何值才有意義時(shí)，也可以類比分?jǐn)?shù)的情況，當(dāng)分?jǐn)?shù)分母不為0時(shí)，分?jǐn)?shù)才有意義，同理分式的分母也不能為0。

在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的時(shí)候，求函數(shù)解析式是利用待定系數(shù)法；研究函數(shù)圖像是通過“列表、描點(diǎn)、用光滑曲線連接”的方法畫出的。那么在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)與二次函數(shù)時(shí)，完全可以類比一次函數(shù)來研究。

六、整體思想方法

整體思想就是根據(jù)題目與所求直接的聯(lián)系，通過整體處理來解決問題，從整體出發(fā)，再局部研究，最后再回到整體。解題過程中要具備整體觀念，很多數(shù)學(xué)思想都與其有著緊密的聯(lián)系。在考慮數(shù)學(xué)問題時(shí)，不著眼于它的局部特征，而是將著眼點(diǎn)放在問題的整體結(jié)構(gòu)上，通過對(duì)其全面深刻的觀察，把彼此獨(dú)立但實(shí)質(zhì)上又相互緊密聯(lián)系著的量作為整體來處理，整體的思想在處理數(shù)學(xué)問題上應(yīng)用廣泛。

例：甲、乙兩人相距100 km，兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲每小時(shí)走6 km，乙每小時(shí)走4 km；甲帶的一只狗，同甲一起出發(fā)，每小時(shí)走10 km，碰到乙時(shí)它往甲方向走，碰到甲時(shí)它又往乙方向走，如此連續(xù)往返，到甲、乙兩人相遇時(shí)，這只狗一共走了多少千米？

本題是有關(guān)整體思想方法的一道經(jīng)典例題，在讀題后學(xué)生往往沒有頭緒，不知小狗每次往返時(shí)甲、乙兩人相距多遠(yuǎn)，如果能從整體入手，本題就極易理解了。首先將甲、乙二人看做為一個(gè)整體，那么兩人的總速度就為10 km/h，以此速度作為整體速度，那么這個(gè)速度走過100 km的路程所需的時(shí)間為10 h。而在此期間小狗一直在跑沒有停歇，那么小狗走的路程就能很輕易地利用小狗的速度和總時(shí)間得出100 km。

數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)體系中占據(jù)著重要地位，蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)當(dāng)中。在教材例題中，蘊(yùn)含了化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、類比等多種數(shù)學(xué)思想方法。因此，在教學(xué)過程中，要挖掘教材中的思想方法，作為教師首先要更新觀念，提高對(duì)滲透數(shù)學(xué)思想方法的重要性的認(rèn)識(shí)，提高對(duì)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的自覺性。教師要重視和加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的滲透與培養(yǎng)，通過解題與反思活動(dòng)歸納、總結(jié)解題方法，切實(shí)把握好上述幾個(gè)典型的數(shù)學(xué)思想方法。注重滲透過程，使學(xué)生更加深刻地領(lǐng)會(huì)解題過程中隱含的思想方法以及由此形成的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。同時(shí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三，感悟數(shù)學(xué)思想方法在解題過程中的重要作用。

[1]寧春芳.初中數(shù)學(xué)思想方法例舉[J].山西教育，2004，(2).

[2]錢佩玲.數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2000.

[3]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

PromotingStudents’MathematicalThinkingMethodBasedonJuniorHighSchoolTextbooks

SHEN Yi-ping

(School of education and physical education, Bohai University, Jinzhou 121000, China)

Under the new curriculum idea, grasping mathematical thinking method is the essential condition to enhance the students’s mathematics literacy. In recent years, the proposition of high school/college entrance examination gradually tends to the application of mathematical thinking methods. It requires teachers to enhance the teaching consciousness of mathematical thinking, infiltrate the content of mathematical thought in the course of teaching,strengthen mathematical way of thinking in solving examples and gradually internalize mathematical thinking method.

mathematical thinking method; mathematical literacy; infiltrate

10.3969/j.issn.1008-6714.2017.10.038

G633.6

A

1008-6714(2017)10-0084-03

2017-06-07

申依平(1994—)，女，遼寧錦州人，碩士研究生，從事學(xué)科教學(xué)(數(shù)學(xué))研究。

〔責(zé)任編輯：李海波〕