丁瑞芳

[摘 要] 解題是一種基本教學(xué)活動，它是指導(dǎo)教師提高教學(xué)基本功的必備路徑. 但是僅僅會解決問題還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還要從解決問題中去發(fā)現(xiàn)問題、反思問題，才能不斷提高教師專業(yè)化的水平.

[關(guān)鍵詞] 解題；品題；探究；數(shù)學(xué)；拋物線；推廣

解題是數(shù)學(xué)教師必備的基本功，也是所有基本功里面最重要的一種技能. 數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題，數(shù)學(xué)能力的提高更需要不斷通過解題去積累經(jīng)驗(yàn)，所以要提高教師自身的解題能力既能幫助教師自身的專業(yè)化發(fā)展，也能有助于學(xué)生對于解題的新認(rèn)識.

如何解題？這是波利亞提出的一個(gè)很寬泛的問題. 就一線教學(xué)來說，筆者認(rèn)為如何解題需要做好兩方面的工作：第一是解決問題，問題的解決可以是不同方法、不同思想的滲透，這樣當(dāng)然很好；第二是提高內(nèi)涵，即對解決后的問題進(jìn)行再思考，這種思考往往具備了問題的再開發(fā)，要繼續(xù)在原問題基礎(chǔ)上進(jìn)行再開發(fā)，勢必將原問題的理解提高到一個(gè)新的層面，在無形中提高了知識的運(yùn)用能力. 本文從筆者解的一道拋物線問題出發(fā)，談一談解題的探究活動.

解題

拋物線是中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的函數(shù)圖象，其性質(zhì)并不多，教材中介紹了其定義、頂點(diǎn)、對稱性、增減性、最大最小值等等. 由于拋物線的曲線形狀沒有圓形的規(guī)則，因此有關(guān)拋物線的問題很多是比較難以用初等方法來解決的. 本文是筆者在解決拋物線問題的過程中發(fā)現(xiàn)的一個(gè)拋物線性質(zhì)并對它進(jìn)行了推廣.

問題1：已知拋物線x2=4y，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為Q（0，1），準(zhǔn)線方程為：y=-1，記準(zhǔn)線與y軸交點(diǎn)為P，過點(diǎn)Q的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，連AP，BP，則有：

結(jié)論1：PQ是∠APB的平分線.

顯然上述兩個(gè)結(jié)論的證明不僅僅適用于問題一中的特定拋物線，而是適用于所有頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，而對于頂點(diǎn)不在原點(diǎn)的拋物線，通過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系變換，總能把拋物線的頂點(diǎn)變換到原點(diǎn)，因此，對所有的拋物線上述結(jié)論總是成立的.由此我們可以得出一條拋物線的有趣的性質(zhì).

此性質(zhì)是拋物線的固有性質(zhì)，與拋物線的形狀、位置無關(guān)，也與直線的斜率無關(guān).

對于上述性質(zhì)，我們可否對其進(jìn)行推廣呢？我們不妨把原拋物線向下平移幾個(gè)單位，然后過原點(diǎn)作一直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，在對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得∠APB被對稱軸平分？

品題

此性質(zhì)也與拋物線的形狀無關(guān)，由此我們還可以作這樣的猜想，是否與拋物線相交于對稱軸兩側(cè)兩點(diǎn)的直線都有這樣的性質(zhì)呢？

問題3：形如y=ax2+c的拋物線與直線y=kx+b在對稱軸兩側(cè)有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，直線與拋物線的對稱軸有交點(diǎn)為Q，則在拋物線的對稱軸上存在唯一的點(diǎn)P，使得∠APB被對稱軸平分，并且拋物線的頂點(diǎn)（0，c）是PQ的中點(diǎn).

品題1：問題3中的△ABP的三邊被y軸所分得的四條線段，在y軸同側(cè)的兩線段之和與另一側(cè)的兩條線段之差的積是定值，并且這個(gè)定值是PQ2.

品題2：形如y=ax2+c的拋物線與直線y=kx+b在對稱軸兩側(cè)有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，直線與拋物線的對稱軸有交點(diǎn)為Q，則在拋物線的對稱軸上存在唯一的點(diǎn)P，使得∠APB被對稱軸平分；并且拋物線的頂點(diǎn)（0，c）是PQ的中點(diǎn)；△ABP的三邊被對稱軸所分得的四條線段，在對稱軸同側(cè)的兩線段之和與另一側(cè)的兩條線段之差的積是定值，并且這個(gè)定值是PQ2.

以上性質(zhì)的證明，也具有一般性，限于篇幅筆者不再做類似的證明展開，有興趣的讀者可以類比前面證明求解.對于其他更普通的拋物線，我們可以通過一定的坐標(biāo)變換，總能轉(zhuǎn)化成y=ax2+c的形式，并適用于本文所證明的性質(zhì).

總之，問題的解決是依賴不斷的思索和實(shí)踐的，從原始問題1出發(fā)，將問題轉(zhuǎn)換為一般情形的研究，到品味問題更為一般化的性質(zhì)，這種思索的途徑值得我們教師思考，從解題到品題，教師讓自身的數(shù)學(xué)思維又有了新的鍛煉，讓數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到了提升.