馬玉芳+王海榮

[摘 要] 數(shù)學(xué)習(xí)題糾錯(cuò)，是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要內(nèi)容之一. 長期以來的以教師講評(píng)為主的課堂教學(xué)方式卻在糾錯(cuò)教學(xué)的效果上難如人意. 依托課題研究中引入的“學(xué)習(xí)金字塔理論”，進(jìn)行由學(xué)生主導(dǎo)的“說錯(cuò)”課堂教學(xué)實(shí)踐，把課堂還給學(xué)生，則有效地化解了傳統(tǒng)教學(xué)的弊端.

[關(guān)鍵詞] 說錯(cuò)；數(shù)學(xué)教學(xué)；學(xué)習(xí)金字塔理論；實(shí)踐

緣起

習(xí)題講評(píng)，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的重要內(nèi)容之一，習(xí)題講評(píng)中糾正學(xué)生做題中的典型錯(cuò)誤，則構(gòu)成了教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn).

傳統(tǒng)的教學(xué)過程，往往是由教師主導(dǎo)，在詳細(xì)分析了學(xué)生習(xí)題中的錯(cuò)誤之后，有針對(duì)性地進(jìn)行備課，然后在課堂上進(jìn)行講評(píng)、重申，換以不同角度剖析，設(shè)置針對(duì)性訓(xùn)練以強(qiáng)化，基本上就算完成了一個(gè)教學(xué)周期. 但是，這種糾錯(cuò)教學(xué)的效果，總是令人不甚滿意，許多典型的錯(cuò)誤，即使是教師在課堂上講評(píng)了，幾天或一周后再練，出錯(cuò)率仍舊很高. 根據(jù)我們一項(xiàng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，高三學(xué)生在數(shù)學(xué)習(xí)題上的二錯(cuò)率（即教師糾錯(cuò)講評(píng)后一周通過變式練習(xí)重新檢測(cè)該知識(shí)、技能、方法，仍舊出錯(cuò)的比率）達(dá)46%，以至于有教師無奈地嘆息：都講了N遍了，再考還錯(cuò).

“學(xué)習(xí)金字塔理論”啟示我們，傳統(tǒng)教學(xué)中的習(xí)題糾錯(cuò)，是典型的被動(dòng)式學(xué)習(xí)，教師在講評(píng)，但那是源于教師自己的認(rèn)知與經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的糾錯(cuò)，是基于教師認(rèn)知水平的思維，它不是學(xué)生的思維，尤其不是出錯(cuò)學(xué)生的思維與認(rèn)知路徑. 要達(dá)到效果好的主動(dòng)學(xué)習(xí)，就要追求“學(xué)習(xí)金字塔理論”中的最好階層——“講給別人聽”（也譯為“教授給他人”）. 只有出自于出錯(cuò)學(xué)生自己的認(rèn)知與思維，讓他們的思維用語言外化，把出錯(cuò)過程暴露出來，這樣的糾錯(cuò)，才可能更具有深刻性. 于是，讓學(xué)生“說錯(cuò)”，把習(xí)題講評(píng)的課堂交給學(xué)生，讓學(xué)生在典型錯(cuò)誤上“講給別人聽”，從而達(dá)到個(gè)體主動(dòng)學(xué)習(xí)的高效，引領(lǐng)其他學(xué)生的思維趨于深刻，就成為筆者的思考和嘗試. 本文中的“說錯(cuò)”的“錯(cuò)”，僅指學(xué)生在做數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)產(chǎn)生的典型錯(cuò)誤.

實(shí)踐

1. 日常習(xí)題

日常習(xí)題，即是非正規(guī)考試的日常作業(yè)類習(xí)題. 這類習(xí)題中的典型錯(cuò)誤，一般是由教師發(fā)現(xiàn)后，指定具有典型性錯(cuò)誤的某一學(xué)生先期準(zhǔn)備，然后，作為其后課堂教學(xué)的一個(gè)環(huán)節(jié)，讓有所準(zhǔn)備的該學(xué)生來講評(píng)，也就是來“說錯(cuò)”.

基本程序：學(xué)生展示其出錯(cuò)過程，分析出錯(cuò)原因，指出相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)、方法或技能，如何更正，其他學(xué)生補(bǔ)充，教師點(diǎn)評(píng).

例1：設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比.

師：請(qǐng)甲同學(xué)來講評(píng).

甲：這是我的解題過程（展示）：因?yàn)镾3+S6=2S9，所以+=2，

即q3（2q6-q3-1）=0. 因?yàn)閝≠0，所以 q=-或q=1.

錯(cuò)誤在于q=1時(shí)，已知條件變成3a1+6a1=2·9a1，這個(gè)條件不成立. 因?yàn)橥浟藱z驗(yàn).，所以導(dǎo)致了錯(cuò)誤.

師：講評(píng)得很好. 是不是要解完了題再加上檢驗(yàn)?zāi)兀浚嫦蛉w學(xué)生）

因?yàn)槭钦n堂的一個(gè)環(huán)節(jié)，故而為保證教學(xué)效果，課前，教師要幫助學(xué)生規(guī)范語言甚至教態(tài). 但必須注意的是，要保證學(xué)生對(duì)其錯(cuò)誤展示的原生態(tài)，是學(xué)生自己的思維而不是教師的思維. 學(xué)生的展示和剖析，雖然可能不如教師來得規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)，但是筆者恰恰以為，這才是最具有學(xué)生思維特點(diǎn)的教學(xué).

2. 考練習(xí)題

高三年級(jí)，尤其進(jìn)入備考階段，考試是很頻繁的. 無論是章節(jié)性考試，還是綜合性考試，都是課表上計(jì)劃的重要內(nèi)容. 這類考練，都由完整的試卷構(gòu)成，試卷暴露出來的錯(cuò)誤，構(gòu)成了后續(xù)教學(xué)的主要內(nèi)容. 因此，考試后的試卷講評(píng)，對(duì)習(xí)題中典型錯(cuò)誤的糾錯(cuò)，并以此展開更深入的、富有針對(duì)性的教學(xué)，往往有著非同一般的意義. 基于讓學(xué)生“講給別人聽”的理念，這類“說錯(cuò)”的課堂，基本流程如下：

一是學(xué)生學(xué)習(xí)小組承包. 考試之前，哪個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)小組承包本次試卷講評(píng)，就是很明確的，便于學(xué)生提前具有“說錯(cuò)”的思想準(zhǔn)備，也便于學(xué)生進(jìn)行“說錯(cuò)”的課堂準(zhǔn)備.

二是承包學(xué)習(xí)小組集體備課. 承包小組的這幾位學(xué)生，會(huì)有意識(shí)地在考試后、在參與試卷評(píng)判、在全班學(xué)生中，收集典型錯(cuò)例及其相關(guān)內(nèi)容，然后在教師的指導(dǎo)下集體備課，明確分工，剖析錯(cuò)誤.

三是承包課堂. 該學(xué)生小組承包其后的習(xí)題講評(píng)課，進(jìn)行“說錯(cuò)”教學(xué). 小組學(xué)生根據(jù)課前分工，分別對(duì)不同的題目、不同的錯(cuò)例，擔(dān)當(dāng)“教師”角色，在課堂上進(jìn)行“說錯(cuò)”教學(xué). 教師則做好點(diǎn)評(píng)、補(bǔ)臺(tái)以及安排針對(duì)性訓(xùn)練的工作. 要求教師的點(diǎn)評(píng)簡明扼要，不喧賓奪主.

例2：已知（x+2）2+=1，則x2+y2的取值范圍是__________.

錯(cuò)在哪里？不能小于零. 忘記了在原來?xiàng)l件中，無論x還是y，取值都是受限制的.

由已知，（x+2）2=1-，解得-3≤x≤-1. 這時(shí)，結(jié)論該是什么呢？（學(xué)生做）

師：分析得很清楚，隱含條件往往成為“陷阱”. 那么這個(gè)題目哪位同學(xué)還有不同思路呢？

生丙：類比sin2α+cos2α=1，可用三角代換.

生?。阂阎獮橐粋€(gè)橢圓方程，為橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方.

為了保證學(xué)生思維的完整性，要指導(dǎo)學(xué)生將“說錯(cuò)”的重點(diǎn)放在出錯(cuò)的過程上，展示出錯(cuò)的思維過程，以期達(dá)到認(rèn)識(shí)上的頓悟.

在更正部分盡量讓其他學(xué)生進(jìn)行補(bǔ)充，鼓勵(lì)解法的多樣性. 通過“一題多解”，會(huì)更好地加深對(duì)習(xí)題所承載知識(shí)與方法的理解與掌握，激發(fā)興趣. 這種“說錯(cuò)”，不僅會(huì)促進(jìn)交流，而且會(huì)增進(jìn)學(xué)生之間的思維交鋒，提高其思維的廣闊性.

思考

（1）文中“說錯(cuò)”的平臺(tái)是“說題”，其中的關(guān)鍵詞是學(xué)生的“說”. 學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，就是不斷接受新認(rèn)知、不斷糾正錯(cuò)誤、不斷完善知識(shí)建構(gòu)的過程. 在這個(gè)過程中，思維是核心，出錯(cuò)也是思維的結(jié)果. 只不過，“思維是無聲的語言”，這種無聲是內(nèi)在，沒能充分調(diào)動(dòng)外在感官的參與，因此，“講給別人聽”的“說錯(cuò)”，讓言語成為出聲的思維，這就契合了課堂教學(xué)的特質(zhì). 不僅“說錯(cuò)”的學(xué)生達(dá)到了很高的學(xué)習(xí)效率，而且由于學(xué)生有著相近甚至相同的思維模式，對(duì)于“聽錯(cuò)”的學(xué)生來說，也達(dá)到了由教師講評(píng)糾錯(cuò)所達(dá)不到的教學(xué)效果.

事實(shí)上，嘗試與實(shí)踐一個(gè)學(xué)期后，筆者再次調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的二錯(cuò)率最高也不超過20%，更為可喜的是，由學(xué)生進(jìn)行“說錯(cuò)”而帶來的一些變化超乎原來預(yù)料. 比如，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情、參與課堂教學(xué)的熱情大大提高了. 比如，“說錯(cuò)”有效地訓(xùn)練了學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)與交流能力，“說”的自信明顯增強(qiáng)，鍛煉了學(xué)生的口頭表達(dá)能力. 口頭表達(dá)，難度比書面表達(dá)更大，更能反映學(xué)生的理解程度.

（2）這個(gè)讓學(xué)生“說錯(cuò)”的教學(xué)實(shí)踐，只是筆者在做課題《高中數(shù)學(xué)教學(xué)中基于“教授給他人”的主動(dòng)學(xué)習(xí)研究》中的一個(gè)小片段，嘗試的時(shí)間較短，介入的班級(jí)也較少，相關(guān)的實(shí)踐途徑?jīng)]有進(jìn)一步拓展. 因此，結(jié)論還顯得稚嫩，實(shí)踐也難免粗陋. 但是，對(duì)于提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果，感覺前景很廣闊.

（3）“說錯(cuò)”的理論依據(jù)是“學(xué)習(xí)金字塔理論”，但筆者感覺，“說錯(cuò)”是“講給別人聽”的一種途徑，要真正構(gòu)建“學(xué)習(xí)金字塔理論”下的數(shù)學(xué)高效課堂，僅有“途徑”是不夠的，需要學(xué)生在教師的指導(dǎo)和幫助下，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方方面面，養(yǎng)成“講給別人聽”的主動(dòng)學(xué)習(xí)習(xí)慣. 當(dāng)學(xué)生把內(nèi)部思維語言轉(zhuǎn)化為外部表述語言時(shí)，就有機(jī)會(huì)認(rèn)識(shí)自己是怎么想的，自己的想法是怎樣起作用的，也就對(duì)自己的認(rèn)知活動(dòng)進(jìn)行了再認(rèn)識(shí)，所以，“說錯(cuò)”的有效性源于“元認(rèn)知開發(fā)”.

“說錯(cuò)”，不僅要求學(xué)生說清楚出錯(cuò)的過程，還要讓其他學(xué)生聽得明白，逼迫學(xué)生去追溯自己的思維過程，逼迫學(xué)生整理自己的思路以形成一個(gè)完整的流程，將內(nèi)隱的、個(gè)體的思維轉(zhuǎn)化為外顯的、規(guī)范的言語及教學(xué)行為，將自己一個(gè)個(gè)跳躍的、不連貫的思維點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一個(gè)連續(xù)的思維過程，并用數(shù)學(xué)語言嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇硎銮宄?，這些內(nèi)容都屬于元認(rèn)知的范疇. 不僅可以讓學(xué)生對(duì)典型錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)深入骨髓，久而不忘，而且，還鍛煉了學(xué)生“看得見的思維”. “做題十遍，不如講說一遍”.

（4）為使課堂上學(xué)生“說錯(cuò)”能順利進(jìn)行，教師在教學(xué)過程中，要盡量少用提示語，克制隨時(shí)介入教學(xué)的沖動(dòng)，盡量保持學(xué)生思維呈現(xiàn)的原生態(tài). 學(xué)生限于認(rèn)知上的局限，尤其在“說錯(cuò)”的開始階段，難免會(huì)表達(dá)不流利，數(shù)學(xué)語言不規(guī)范，加上怯場(chǎng)，影響展示效果. 這時(shí)，需要教師對(duì)課堂氛圍進(jìn)行營造，對(duì)“說錯(cuò)”的學(xué)生進(jìn)行鼓勵(lì)，以及在課前進(jìn)行較為具體的“說”的指導(dǎo).