邵 艷

(天津大學(xué) 理學(xué)院，天津 300350)

價格敏感需求下零售商的最優(yōu)定價策略

邵 艷

(天津大學(xué) 理學(xué)院，天津 300350)

研究單個零售商單個制造商的二級供應(yīng)鏈的經(jīng)典報童模型，考慮單周期下報童模型的聯(lián)合最優(yōu)定價-訂購決策.分析了需求隨機且價格敏感情況下系統(tǒng)的最優(yōu)價格，給出了最優(yōu)決策的存在性的充分條件.區(qū)別于以往相關(guān)的研究，假設(shè)需求函數(shù)是更一般化的加乘型需求函數(shù).在一些合理的假設(shè)下，保證隨機需求情況下零售商的期望利潤函數(shù)是對數(shù)凸的.證明了由于需求除價格外隨機擾動的存在，零售商的期望收益總是小于僅受價格影響時可獲得的確定性收益.另外，假設(shè)需求的期望具有遞增的價格彈性，可以保證僅受價格影響時可獲得的確定性收益函數(shù)是擬凸的.本結(jié)論可以延伸到帶有缺貨懲罰的單周期報童模型的聯(lián)合最優(yōu)定價-訂購決策問題，在理論上更具有一般性，對研究多零售商的價格競爭決策問題和供應(yīng)鏈契約協(xié)調(diào)等問題提供了重要理論依據(jù).

報童模型；價格敏感；優(yōu)價格；對數(shù)凸;利潤函數(shù)

經(jīng)典的報童模型將零售價格考慮成外生變量，但在實際問題中，可以通過調(diào)整價格來增加或減少需求[1].首次在構(gòu)建報童問題時引入了銷售價格，建立了具有價格相關(guān)的需求函數(shù)，價格成為決策者的決策變量， 確定和價格有關(guān)的最優(yōu)的庫存量，然后再得出相應(yīng)的最優(yōu)價格.從此，聯(lián)合定價與訂購決策問題引起了學(xué)術(shù)界的廣泛興趣.我們考慮零售商需要同時確定價格和訂購量來最大化期望利潤，需求是價格敏感的并且是隨機的.目前有很多文獻考慮協(xié)調(diào)價格與庫存決策[2-9].

關(guān)于單周期下，報童模型的最優(yōu)定價-訂購聯(lián)合決策，主要解決兩個問題：1)如何描述依賴價格的隨機需求；2)如何獲得最優(yōu)的定價-訂購聯(lián)合決策.對于第一個問題，通常是把依賴價格的隨機需求D(p)分解成兩部分:一是與價格相關(guān)的均值需求μ(p)，二是與價格無關(guān)的隨機需求擾動項ε.因此大多數(shù)文獻常用的兩種需求函數(shù)是加型需求函數(shù)(D(p)=μ(p)+ε)和乘型需求函數(shù)(D(p)=μ(p)ε).這兩種需求形式的主要區(qū)別在于影響需求不確定性的方式的不同，加型模式下的需求的方差是常數(shù)，與價格p無關(guān)，而乘型模式下的需求的方差是關(guān)于價格p的函數(shù)，但變異系數(shù)是常數(shù).這些都將限制模型在實際中的應(yīng)用.Yao等[10]考慮乘型和加型需求函數(shù)，但并不限定均值需求μ(p)的具體表達形式.在模型求解中，他首先固定價格來獲得最優(yōu)的訂購量，然后再求得最優(yōu)的銷售價格.并且當(dāng)μ(p)具有遞增的價格彈性，同時具有遞增的一般失敗率情況下，報童模型存在唯一的最優(yōu)的零售價格.Kocabiyikoglu等[11]引入一個新的概念:缺貨率彈性，可以拋開加型，乘型需求函數(shù)和失敗率的假設(shè)，得到隨機需求下報童模型最優(yōu)決策的存在性與唯一性的充分條件.Young[12]提出了加乘模型，整合了加型和乘型中價格對于需求的影響，假設(shè)D(p)=μ(p)+εσ(p)，ε代表價格外的其他影響因素.一般地，假設(shè)均值需求μ(p)是關(guān)于價格p的減函數(shù).對于不同的產(chǎn)品，μ(p)可以具有不同的表達形式，同時服從不同的分布.Luo[13]用實際數(shù)據(jù)代入到模型中發(fā)現(xiàn)加乘模型可以產(chǎn)生更高的利潤，并且存在更好的定價決策.為保證零售商的期望利潤函數(shù)是凸的，做出了強烈的假設(shè).后來，Roels[14]代替或者放寬了一些假設(shè)，然而，這些為建立利潤函數(shù)的單峰性做出的新的假設(shè)并不能包括一些特例.

對于需求函數(shù)是加乘模型，直接考慮利潤函數(shù)的凸性是很復(fù)雜的，甚至是不可行的.考慮利潤函數(shù)的對數(shù)凸性，為此做出了三條假設(shè)：1)(p-c)μ(p)是對數(shù)下凸的，在經(jīng)濟學(xué)中這一條件對于許多價格-需求模型都是成立的，如線性模型和分類評定模型等等；2)假設(shè)變異系數(shù)cv(p)是對數(shù)上凸的，這一假設(shè)對于以下情況是成立的，例如當(dāng)μ(p)是對數(shù)下凸的，并且σ(p)=a[μ(p)]b，其中a>0,b<1.3)假設(shè)隨機變量ε服從一系列分布，如正態(tài)分布，均勻分布，logistics分布，指數(shù)分布，關(guān)于0對稱的triangular Rayleigh分布以及分布， Gamma分布(k=2)盡管這些分布均滿足遞增的失敗率(IFR)，但我們可以發(fā)現(xiàn)假設(shè)與IFR并不等價.本文結(jié)論的重要應(yīng)用是在多個零售商面對隨機的并且價格敏感的需求時價格競爭的模型中，保證了在這樣一個價格博弈中納什均衡的存在性，另一應(yīng)用是比較在確定性系統(tǒng)中零售商的最優(yōu)價格p1與在隨機系統(tǒng)中零售商的最優(yōu)價格p*的關(guān)系.

1 問題描述及需求模型

考慮存在單個制造商(M)和單個競爭零售商(R)的組成的二級供應(yīng)鏈系統(tǒng)，兩方信息是對稱的.制造商提供給零售商一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的單位訂購成本是c，零售商對產(chǎn)品的售價分別為p，假設(shè)在銷售季節(jié)末，既不會產(chǎn)生殘值也不會產(chǎn)生處理成本，缺貨時也不會產(chǎn)生任何缺貨成本或銷售機會損失成本.在銷售季節(jié)來臨前，零售商R要同時決定零售價格p和訂貨量y.零售商R面臨的需求具有價格敏感和隨機性，需求均值和標(biāo)準(zhǔn)差都依賴于價格p.假設(shè)為

D(p)=μ(p)+εσ(p)

此時假設(shè)E(ε)=0并且Var(ε)=1，因此μ(p)代表需求的期望，而σ(p)代表需求的方差.

2 最優(yōu)決策分析

假設(shè)訂貨量為y，零售價為p，零售商的期望利潤函數(shù)為

π(p,y)=E[pmin{y,D(p)}-cy].

固定價格p，可以得到最優(yōu)的訂購量，記為y*，則有

y*=μ(p)+zσ(p)

其中：z=Φ-1(1-c/p)，Φ(x)是ε的分布函數(shù).同時，記φ(x)為ε的概率密度函數(shù).

把y*的表達式代入零售商的期望利潤函數(shù)式子，可以得到，

π(p)=πdet(p)(1-f(p)cv(p)).

定義1 需求的價格彈性是指需求量變動相對于價格變動的反映程度，即

e(p)=-limΔp→0(d(p+Δp)-d(p))/d(p)Δp/p=-pd′(p)d(p)

命題1 由于需求隨機擾動的存在，零售商的期望收益總是小于僅受價格影響時可獲得的收益.

?f(p)?p=?g(z)?z?z?p=

其中第三個等號利用了分部積分.

因此f(p)關(guān)于p是遞減的.考慮當(dāng)p趨于正無窮大時，此時f(p)取最小值，

其中第二個等式是根據(jù)著名的洛必達法則來求極限.所以有f(p)>0,1-f(p)cv(p)<1,從而π(p)<πdet(p)

另外同理我們可以考察當(dāng)p趨向于c時，此時f(p)趨向于-Φ-1(0).

由于期望利潤函數(shù)表達式為乘積形式并且比較復(fù)雜，直接分析其性質(zhì)會比較困難.為便于分析，本文對利潤函數(shù)進行了對數(shù)變換，構(gòu)成新問題，由于變換是單調(diào)的，新問題與原問題同解.則目標(biāo)函數(shù)變?yōu)椋?/p>

logπ(p)=logπdet(p)+log(1-f(p)cv(p))

下面的假設(shè)可以保證目標(biāo)利潤函數(shù)π(p)的對數(shù)凸性.

假設(shè)1 (i)logf(p)是上凸的；

(ii)logπdet(p)是下凸的；

(iii)logcv(p)是上凸的.

定理1 在假設(shè)1的條件下，logπ(p)在區(qū)間(c,+∞)上是凸的.

證明：根據(jù)假設(shè)1，因為logcv(p)和logf(p)是上凸的，所以f(p)cv(p)是對數(shù)凸的，根據(jù)Boyd等[15]研究結(jié)果可知，兩個對數(shù)凸函數(shù)的乘積還是對數(shù)凸的，再根據(jù)logπ(p)的表達式，并且logπdet(p)是下凸的，所以有l(wèi)ogπ(p)是凸的.

命題2 假設(shè)1中的(i)成立，當(dāng)且僅當(dāng)對任意的z，下面式子成立:

定理2 假設(shè)μ(p)具有遞增的價格彈性，即e=-pμ′(p)/μ(p)關(guān)于p是單調(diào)遞增的，則有πdet(p)關(guān)于p是擬下凸的，其中p∈[c,p]，其中p是使得需求的期望為零的最低的銷售價格，即μ(p)=0.

證明：因為e=-pμ′(p)/μ(p)關(guān)于p嚴格單調(diào)遞增，則考慮其一階導(dǎo)恒大于或者等于零，即

dedp=-[pμ″(p)+μ′(p)]μ(p)-p(u′(p))2μ2(p)≥0

進行化簡整理可得，

μ″(p)≤[pμ′(p)μ(p)-1]μ′(p)p.

現(xiàn)在我們考察πdet(p)關(guān)于p的一階導(dǎo)，得到，

dπdet(p)dp=μ′(p)(p-c)+μ(p)

同樣地，考察πdet(p)的一階導(dǎo)在區(qū)間邊界處的取值情況，當(dāng)p=c和p=p，dπdet(p)dp|p=c=μ(p)>0,dπdet(p)dp|p=p=μ′(p)(p-c)<0,此時假設(shè)μ′(p)小于零.一般說來隨著價格p的增大，需求的均值一定是逐漸減小的.只要dπdet(p)dp是連續(xù)的，則一定存在pd∈(c,p)，使得dπdet(p)dp=0，即pd可以通過求解方程dπdet(p)dp=0得到.為說明πdet(p)關(guān)于p是擬下凸的，計算πdet(p)的二階導(dǎo)函數(shù)：

d2πdet(p)dp2=μ″(p)(p-c)+2μ′(p)

把上面第二個不等式代入，則有，

d2πdet(p)dp2≤(p-c)[pμ′(p)μp-1]μ′(p)p+2μ′(p)=μ′(p)p[p(p-c)μ′(p)μ(p)+p+c]

當(dāng)dπdet(p)dp=0時，則表明(p-c)μ′(p)μ(p)=-1，從而得到，

d2πdetdp2|dπdet(p)dp=0≤μ′(p)p[-p+p+c]≤0

所以說πdet(p)關(guān)于p是擬下凸的，并且dπdet(p)dp=0有且僅有一個解pd

定理3 定義目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)價格決策為p*，p1是使得logπdet(p)取得最大值的價格，即需求確定時的最優(yōu)價格決策，p2是使得log(1-f(p)cv(p))取得最大值的價格，則有p*∈[min{p1,p2},max{p1,p2}].

證明：根據(jù)定理1，由于logπdet(p)是下凸的，并且在p1處取得最大值，則有l(wèi)ogπdet(p)在[c,p1]上是單調(diào)遞增的，在[p1,+∞]是單調(diào)遞減的；同理，log(1-f(p)cv(p))是下凸的，在p2處取得最大值，所以log(1-f(p)cv(p))在[c,p2]上是單調(diào)遞增的，在[p2,+∞]是單調(diào)遞減的.根據(jù)logπ(p)=logπdet(p)(1-f(p)cv(p)),則logπ(p)在區(qū)間[c,min{p1,p2}]上是單調(diào)遞增的，在區(qū)間[max{p1,p2},+∞]是遞減的，由于logπ(p)的凸性，則表明p*∈[min{p1,p2},max{p1,p2}]，因此，如果p1≤p2，則p1≤p*≤p2；反之，若p1≥p2，則表明p1≥p*≥p2.

3 結(jié) 語

本文考慮需求模型是更一般化的加乘模型，得出了一些常見的概率分布，以及一些常用并且合理的假設(shè)條件下的報童模型問題的目標(biāo)函數(shù)是對數(shù)凸的.此外，論證了需求隨機擾動的存在使得零售商的期望收益總是小于僅受價格影響時可獲得的收益.同時表明了在確定性系統(tǒng)中，利潤函數(shù)關(guān)于價格是擬下凸的，最后給出了最優(yōu)價格的取值區(qū)間.本模型是在原有文獻的基礎(chǔ)上做了進一步的改進，使得結(jié)論更為一般化，同時保證了在多個零售商價格競爭模型中納什均衡的存在性，為更深層次的研究提供了理論依據(jù).

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Optimal pricing strategy of retailer with price-sensitive demand

SHAO Yan

(School of Science, Tianjin University, Tianjin 300350, China)

The classical newsvendor model a two-echelon supply chain system formed by one manufacturer and a single retailer and the problem about the optimal pricing and ordering decisions during a sing selling season were researched. The demand for the product was regarded as price-dependent and stochastic, and the existence of the optimal strategy was proved. Unlike previous research, this paper supposed that the stochastic demand function was the additive-multiplicative model, which was more general. Three reasonable conditions establish the log-concavity of the retailer’s expected profit function. Due to the presence of exogenous random disturbance of demand, it turns out that the retailer’s expected profit is always less than the deterministic profit which is only affected by price. In addition, if the mean demand has increasing price elasticity, the deterministic profit is quasi-concave. These results can be extended in the single period newsvendor model with shortage penalty, and provide important theory evidence for other related research such as multi-retailer competition and supply chain contract coordination.

newsvendor model; price-dependent; optimal pricing; log-concavity; profit function

2016-03-07.

邵 艷(1990-)，女，碩士，研究方向：物流與供應(yīng)鏈管理、決策分析等.

O211.9

A

1672-0946(2017)01-0113-04