呂 娟

（江蘇省南京市伯樂中學(xué)，江蘇南京 210038）

引 言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織引導(dǎo)者?！眲偨拥浇萄袉T老師通知我要開設(shè)一節(jié)關(guān)于角的復(fù)習(xí)課時(shí)，我的心里很慌。角這個(gè)部分的知識點(diǎn)很多，一課時(shí)的復(fù)習(xí)很“擁擠”。如何安排這節(jié)課的復(fù)習(xí)，例題的選擇、練習(xí)的篩選都是我要考慮的問題。在備課一稿時(shí)，我選擇了最保守的思路：第一部分是自主學(xué)習(xí)，選取六道小題（選擇題和填空題），題目難度較小，目的是讓學(xué)生通過完成小題來復(fù)習(xí)角這一章的知識點(diǎn)，完成知識框圖的建立；第二部分是交流展示，主要選取了三道例題。例1的設(shè)計(jì)目的是考查角的和差關(guān)系以及等式的基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用。例2的設(shè)計(jì)目的是考查鄰補(bǔ)角的定義，以及根據(jù)題中給出的等量關(guān)系列出方程，靈活運(yùn)用方程的方法解題。例3主要考查角平分線的性質(zhì)和平角的知識。在三道例題后，我選擇了一道拓展延伸題，主要考查學(xué)生對角的計(jì)算的理解和掌握。

試上了一節(jié)課后，我發(fā)現(xiàn)效果一般，知識點(diǎn)太瑣碎、題量大，學(xué)生思考的時(shí)間長，影響課堂進(jìn)度。

一、案例描述

在毫無頭緒之時(shí)，我想到了三大終極問題：“我是誰，從哪兒來，到哪兒去?！贝藭r(shí)，一個(gè)念頭劃過。對，角是怎么產(chǎn)生的？兩條直線相交產(chǎn)生。整節(jié)課不就是圍繞一些角、線而展開的嗎?于是，我開始這樣處理這節(jié)課，拋棄前面的PPT課件，改用幾何畫板來完成課堂教學(xué)，只為體現(xiàn)從一變多的過程。

師：平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有幾種？生：（全員回答）平行與相交。師：很好，今天我們來研究直線相交的相關(guān)問題，首先我們看活動一。

活動一 ：如圖1，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，形成四個(gè)角，那么這四個(gè)角有何關(guān)系？

圖1

圖2

圖3

圖4

生：（迅速回答）對頂角相等，互為補(bǔ)角的兩個(gè)角的和是180°。師：非常好，反應(yīng)很快。（在黑板上補(bǔ)上結(jié)構(gòu)框圖中的“補(bǔ)角、對頂角”以及對頂角相等）如果我在圖上再加一條射線OE呢？（在幾何畫板上按下OE按鈕）若∠BOE=90°,則∠BOC與∠COE有何關(guān)系？生：（不假思索）∵∠BOE=90°，∴∠BOC+∠COE=90°，∴∠BOC與∠COE互余。師：對的，這就是余角的定義。（在黑板上補(bǔ)上結(jié)構(gòu)框圖中的“余角”）若我在這個(gè)圖上再加上一條射線，會發(fā)生什么？若OF⊥CD，則∠AOF與∠COE有何關(guān)系？請說明理由。生：（眼睛里滿是好奇）思考……師：能不能想想這題和剛才的題有何聯(lián)系？垂直能想到什么？生：（部分稀疏的聲音）90°。師：對的，90°能想到哪個(gè)知識點(diǎn)？生：余角。師：和∠AOF、∠COE有關(guān)的有幾對余角呢？生：∠AOF+∠EOF=90°，∠COE+∠EOF=90°。生：哦……∠AOF=∠COE。師：為什么呢？生：（異口同聲）同角的余角相等。師：非常好！這條性質(zhì)還可以繼續(xù)補(bǔ)充，應(yīng)該是……生：（全班齊答）同角（等角）的余角（補(bǔ)角）相等。師：正確?。ㄔ诤诎迳涎a(bǔ)上結(jié)構(gòu)框圖中的“同角[等角]的余角[補(bǔ)角]相等”）回到圖1，添上另一條射線OP，我們來看活動二。

活動二：直線AB、CD相交于點(diǎn)O，若∠AOC=130°，OP平分∠BOC，求∠POC的度數(shù)。

師：怎么思考這道題？要求∠POC，只要求……生：(極少數(shù))要求∠BOC。師：對，∠BOC也是未知的，怎么求？生：我知道?！螧OC是∠AOC的補(bǔ)角，等于180°減去130°，也就是50°。師：很好，在做幾何題的過程中，就是要熟練地使用綜合法和分析法解題。同時(shí)，要注意書寫（補(bǔ)充板書中的結(jié)構(gòu)框圖“角平分線”，板書解題過程）至此，本節(jié)課的知識框圖全部完成。師：圖4中，我們只有一條角平分線，如果再……生：再加一條對角線（很是興奮）。師：很聰明，已經(jīng)知道老師的套路了。若OQ平分∠AOC，求∠POQ的度數(shù)。

圖7

圖5

圖6

圖8

隨后給出變式：直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OP、OQ分別平分∠BOC,∠AOC，求∠POQ的度數(shù)。

活動三：直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠BOC=α，∠BOE=β(β為銳角)，OP、OQ分別平分∠COE，∠BOE,求∠POQ的度數(shù)。

拓展提升：已知∠AOB=110°，∠BOC=40°，OP、OQ分別平分∠AOB,∠BOC，求∠POQ的度數(shù)。

關(guān)于拓展提升的處理，我讓學(xué)生自己完成作圖，主要考查角的計(jì)算。做題時(shí)，部分學(xué)生沒有分類討論。此題是對本節(jié)課的一個(gè)提升。

二、案例反思

對兩條直線相交的基本圖形的變形，是這次課堂教學(xué)中較成功的一筆。就是因?yàn)檫@一探索過程，對于我補(bǔ)充的練習(xí)屬中等難度的題型，班級中成績偏下的學(xué)生也能很好地掌握。而對于拓展提升練習(xí)，對于初學(xué)幾何的學(xué)生來說，難度有點(diǎn)大。一部分學(xué)生顯露出感興趣的神情，不少學(xué)生能很好地解答此類題。能夠達(dá)到如此好的效果，完全因?yàn)檗饤壛顺Ｒ?guī)的獨(dú)立例題，找到了一條神奇的線索，串起了整節(jié)課。

關(guān)于這節(jié)復(fù)習(xí)課，我有以下幾點(diǎn)想法。

1.剝繭抽絲，抓住重點(diǎn)

復(fù)習(xí)課不像新授課那么“新鮮”，而且內(nèi)容豐富，抓手太多，導(dǎo)致無從下手。從知識層面上說，教師應(yīng)思考的問題有以下幾點(diǎn)：初中階段的數(shù)學(xué)知識有哪些？在這些知識中，哪些是核心概念？核心的數(shù)學(xué)思想方法是什么？中考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)、難點(diǎn)是什么？教師要做的就是剝繭抽絲，從中抓住重點(diǎn)[1]。

2.找到線索，化難為易

抓住重點(diǎn)后，教師還應(yīng)思考如何呈現(xiàn)知識，如何引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會整理與歸納所學(xué)知識。化重點(diǎn)為線索，從一個(gè)基本圖形出發(fā)，講解一個(gè)知識點(diǎn)，之后不斷地對基本圖形進(jìn)行變形，全面覆蓋知識點(diǎn)，突出重點(diǎn)內(nèi)容。一題多變，讓一節(jié)課用一條線索串聯(lián)以來，使得教學(xué)的每個(gè)環(huán)節(jié)都不再是彼此獨(dú)立的部分。一節(jié)課環(huán)環(huán)相扣，循序漸進(jìn)，步步逼近課程教學(xué)目標(biāo)。一條線索串起課堂，借助一題多變，促進(jìn)學(xué)生探索能力的提高，學(xué)生的解題思路得到拓展，解題能力得到提高。一條線索串起課堂，化難為易，實(shí)現(xiàn)深入淺出。

3.重視綜合，融會貫通

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要注意基本概念、定律、公式的比較以及應(yīng)用，從具體到抽象等多層次、多維度、全方面地融會貫通。對于幾何復(fù)習(xí)，應(yīng)弄清來龍去脈，理清相互關(guān)系，注意表達(dá)形式，使每一個(gè)知識點(diǎn)聯(lián)系起來，達(dá)到以點(diǎn)成線、以線成面、以面成體的目的[2]。

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社, 2011.

[2] 張文鎮(zhèn).提高初中數(shù)學(xué)課堂分層教學(xué)效果的策略探析[J].中學(xué)生數(shù)理化(學(xué)研版),2013,(05):27.