朱曉昀

摘 要 數(shù)學(xué)能力也是理解結(jié)構(gòu)并進(jìn)行邏輯推理的思維能力，我們稱之為數(shù)商。本文圍繞什么是數(shù)商，數(shù)商的重要性，數(shù)商與智商情商的關(guān)系以及如何培養(yǎng)一個人的數(shù)商展開論述。

關(guān)鍵詞 數(shù)商 結(jié)構(gòu)理解 邏輯推理 培養(yǎng)訓(xùn)練

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.11.014

1 數(shù)商是什么

數(shù)商是一種數(shù)學(xué)能力的指標(biāo)。在正式給出數(shù)學(xué)能力的定義之前，我們先談?wù)勈裁词菙?shù)學(xué)。

數(shù)學(xué)作為一門學(xué)校教育的基本課程，從小學(xué)（甚至幼兒園）到大學(xué)的每個階段都有開設(shè)。對一個人的成才和發(fā)展具有如此重要性的數(shù)學(xué)到底是什么，每個人在人生的重要階段花十幾甚至二十幾年的時間去努力學(xué)習(xí)的這樣一門學(xué)科到底對人有怎樣的影響？

從現(xiàn)代意義上講，數(shù)學(xué)描述的是集合上的各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)以及它們之間的關(guān)系。比如從幼兒開始我們就教他們數(shù)學(xué)：大、小、多、少。這里說的“大小”，是直觀上體積的大小。體積的大小在數(shù)學(xué)上是給定單位下的一個正數(shù)，而正數(shù)作為實(shí)數(shù)的子集，具有一種“序”結(jié)構(gòu)。所以我們在教孩子認(rèn)識大小的區(qū)別的時候其實(shí)是在讓他理解“序”這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。同理，“多少”也是直線上的“序”結(jié)構(gòu)的體現(xiàn)。再比如初中數(shù)學(xué)的函數(shù)。這里的函數(shù)是直線（或者直線上的子集）到直線的一種映射關(guān)系。函數(shù)的單調(diào)性其實(shí)就是一種保序或反序的性質(zhì)；極值就是映射保序與反序的臨界點(diǎn)。中小學(xué)學(xué)生的抽象思維能力還不足夠發(fā)達(dá)，所以其數(shù)學(xué)內(nèi)容的安排多具有生活或者幾何直觀。大學(xué)數(shù)學(xué)的各個課程就更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)的這一特點(diǎn)。比如拓?fù)鋵W(xué)就專門研究空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)被保持（或部分保持）的映射；代數(shù)學(xué)就是研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)（比如群，環(huán)，域等）的學(xué)科。

數(shù)學(xué)的另外一個特征就是在給定結(jié)構(gòu)范圍內(nèi)進(jìn)行邏輯推理。對于賦予了多種結(jié)構(gòu)的集合，理解各種結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系就需要用到邏輯推理。比如剛才說到的直線上的序結(jié)構(gòu)，以及直線作為一個群具有加法這一群結(jié)構(gòu)，6+2與4+3誰大？對這個問題的邏輯分析是：先對數(shù)做群運(yùn)算（加法）得到結(jié)果，然后弄清這兩個結(jié)果數(shù)的序關(guān)系（大?。?shù)學(xué)中的證明題當(dāng)然是典型的邏輯推理了。

所以，一個人的數(shù)學(xué)能力也就是理解結(jié)構(gòu)并進(jìn)行邏輯推理的思維能力。這是一種極其理性的能力，我們稱之為數(shù)商（Mathematical Quotient）。這種能力越強(qiáng)，我們說數(shù)商越高；反之，這種能力越弱，數(shù)商就越低。數(shù)商包含以下幾個方面的能力：

第一，數(shù)學(xué)理解的能力，即對具體或抽象結(jié)構(gòu)的理解能力。一般說來，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)越具體越容易被理解，越抽象越難于理解。對大小多少的認(rèn)識，一個正常人都能做到。也就是說，序結(jié)構(gòu)是一種比較具體的，易于理解的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。但是，有多少人能很好地理解直線以及一般微分流形上的微分結(jié)構(gòu)呢？大多數(shù)數(shù)學(xué)專業(yè)本科生畢業(yè)也未必掌握。說明微分結(jié)構(gòu)比較抽象了，而一般人理解起來也更困難。更進(jìn)一步，像各種同調(diào)群結(jié)構(gòu)等就更難理解了。粗略地說，能理解的結(jié)構(gòu)越多或越抽象，數(shù)學(xué)理解力就越強(qiáng)。

第二，數(shù)學(xué)邏輯推理能力。邏輯推理是另一個本質(zhì)的數(shù)學(xué)能力。現(xiàn)實(shí)世界是復(fù)雜的，每一個事物一般都具有多種結(jié)構(gòu)。如果我們僅僅具有認(rèn)識理解結(jié)構(gòu)的能力，而不能理解各種結(jié)構(gòu)之間的相互（影響的）關(guān)系，那還是不能真正把握事物。比如初等數(shù)學(xué)在平面上定義了長方形的面積之后，其它的一些常見幾何對象的面積可以通過邏輯推理得到：通過切割、填補(bǔ)等推理可以得到平行四邊形、三角形、梯形等的面積公式。但要得到圓和一般曲線所圍的平面圖形的面積則需要用到極限（積分）的推理運(yùn)算。學(xué)習(xí)三角形等面積公式對一般初中甚至小學(xué)生都能接受，但用極限的推理過程得到圓的面積公式對有的大學(xué)生（特別是文科）就有些困難了。由此看出，邏輯推理能力的高低是決定數(shù)學(xué)能力的兩個因素之一。

2 數(shù)商的重要性

（1）數(shù)商在學(xué)習(xí)中的重要性。我們這里著重談數(shù)商對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性。對其他科目學(xué)習(xí)的影響我們以后會專門撰文討論。根據(jù)前面所述，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)上是理解一些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)并進(jìn)行邏輯推理，所以數(shù)商的高低就直接反映了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的強(qiáng)弱。數(shù)商高，對結(jié)構(gòu)的理解和想象的能力就越強(qiáng)。比如在平面幾何中，幾何圖形可以看作是一種具體的狹義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。如果一個學(xué)生對空間的想象能力很強(qiáng)，那么他就可以針對問題對幾何圖形作出各種變形思考，這對作輔助線解題有極大的幫助。再比如在學(xué)習(xí)微積分中的導(dǎo)數(shù)的時候，如果我們理解了直線的微分結(jié)構(gòu)，那么導(dǎo)數(shù)作為從定義域的切空間到值域的切空間上的線性映射的理解也就很自然了。另一方面，數(shù)商高，邏輯推理能力就強(qiáng)。邏輯推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中解題的基本而關(guān)鍵的技能。這里的邏輯推理能力強(qiáng)不單指能正確給出問題的邏輯推導(dǎo)，還要能在已有的框架下，找到簡潔快速推導(dǎo)出結(jié)果的能力。這樣就不僅能正確得到答案，而且還能較快地獲得結(jié)果。無疑對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是重要的。

（2）數(shù)商與日常生活及工作管理。數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到日常生活的例子我們已經(jīng)見到很多了，比如優(yōu)選法，統(tǒng)計(jì)方法等。事實(shí)上，數(shù)學(xué)的思維方式更是普遍和深刻地應(yīng)用于日常生活和工作。數(shù)學(xué)思維表現(xiàn)為抽象性和邏輯性。比如你是一個做銷售的公司員工，你所面對的工作關(guān)系主要有公司上司、客戶、和同行業(yè)的其他公司（及其銷售員工），上司的要求、客戶的需求、同行業(yè)其它公司的需求與行動是你要考慮的對象，然后你可以對他們分別建立數(shù)學(xué)指標(biāo)，應(yīng)用邏輯推理來確定你的行動方式。

（3）數(shù)商對未來的規(guī)劃。對一個還未出生社會的學(xué)生來說，未來規(guī)劃極其重要。數(shù)商高的學(xué)生往往能為自己做出一個好的未來計(jì)劃。為什么呢？首先，一個人的優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)、周圍環(huán)境的有利和不利因素、社會的過去和現(xiàn)在的趨勢等都是一些抽象的東西，如果他（她）具有較好的抽象理解和思維能力，就能對自己的所處的現(xiàn)狀和未來有一個較好的全面把握。其次，較強(qiáng)的邏輯推理能力有助于正確制定出達(dá)到自己未來目標(biāo)的行動方式。于是，這樣的規(guī)劃取得成功是水到渠成的。

3 數(shù)商與其他能力標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系

現(xiàn)在的研究學(xué)者對于人的能力標(biāo)準(zhǔn)提出了許多概念，比如智商、情商、靈商、文商等?？偨Y(jié)起來主要分為兩類：理性的和感性的。這里面最具代表性的是智商和情商。下面我們談?wù)剶?shù)商跟這兩者的關(guān)系。

（1）數(shù)商與智商的關(guān)系。智商是一種綜合的智力體現(xiàn)。它的定義和測定都是在一個廣泛的范圍內(nèi)進(jìn)行的，從這個方面講，數(shù)商具有智商的一些特點(diǎn)：數(shù)值高說明人在某方面更聰明。但數(shù)商有兩個不同的特點(diǎn)：更具體、更理性。從定義上看，數(shù)商考慮的是抽象結(jié)構(gòu)和邏輯推理兩方面的思維能力，這是更具體，更容易判斷出高低的一個能力指標(biāo)。另外，數(shù)商的這種能力是純理性，更是大腦左半球最直接的能力體現(xiàn)。此外，數(shù)商是可以訓(xùn)練提高的，但一般意義下的智商的提高難以有比較切實(shí)可行的方法。

（2）數(shù)商與情商的關(guān)系。情商是一種帶有較強(qiáng)主觀意識的人的能力體現(xiàn)。所以數(shù)商跟情商是一個人不同方面能力的描述。他們對一個人的成功都具有重要作用。數(shù)商像清泉，情商像巖漿。沒有情商帶來的熱情與情懷，高數(shù)商的人可以是領(lǐng)域?qū)＜?、行業(yè)精英，但難以統(tǒng)領(lǐng)以人為核心的工作團(tuán)隊(duì)；沒有數(shù)商的理性思維之水，巖漿般的情商只會帶來毀滅。所以，數(shù)商對成功具有基礎(chǔ)的作用。而在社會上要想取得大的成功，數(shù)商與情商應(yīng)配合運(yùn)用與培養(yǎng)。

4 如何培養(yǎng)人的數(shù)商

4.1 從小開始，適合終生訓(xùn)練

數(shù)商的訓(xùn)練沒有年齡限制，但越早開始越好，中學(xué)是訓(xùn)練數(shù)商的黃金時期。

開發(fā)大腦左半球的數(shù)學(xué)理性思維可以說是越早越好。在孩子有意識開始就讓其理解大小多少等樸素的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并通過實(shí)物舉例告知若“A>B且B>C”則“A>C”這樣的邏輯推理。在孩子稍微懂事的時候就開始引導(dǎo)其對日常生活中的事情用數(shù)學(xué)的方式加以思考。上學(xué)之后的數(shù)學(xué)課學(xué)習(xí)中就明確要求有意識地進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象思考和抽象的邏輯推理。為什么說中學(xué)是訓(xùn)練數(shù)商的黃金時期呢？因?yàn)橹袑W(xué)已經(jīng)接觸到了一定量的數(shù)學(xué)概念，同時人在這個時期的大腦（包括進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的左腦）也進(jìn)入一個迅猛發(fā)育時期，所以對數(shù)商的訓(xùn)練是有素材且結(jié)果能對一生具有持久的效果。

4.2 培養(yǎng)抽象出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和進(jìn)行邏輯推理的習(xí)慣

數(shù)商的訓(xùn)練除了在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)外，還應(yīng)該養(yǎng)成在生活中隨時注意抽象和邏輯推理的習(xí)慣。比如散步時從A到B地可能有幾種不同的路徑，那么哪一個路徑是最近的？這時就可以抽象為數(shù)學(xué)中曲線（包括折線、直線段）的長度問題來思考。再比如，沿操場跑步的時候，同樣是跑一圈，沿外圈比沿內(nèi)圈跑要多跑多少？這些問題當(dāng)抽象為數(shù)學(xué)概念時，都是簡單的，但長期堅(jiān)持這樣的思考方式有助于數(shù)商的提高。實(shí)際上，歷史上許多著名的科學(xué)家數(shù)學(xué)家都有這樣的習(xí)慣，比如牛頓的蘋果落地；歐拉解決哥尼斯堡七橋問題；龐卡萊研究太陽地球和月亮的運(yùn)動軌跡；中科院院士王元買瓜等。

4.3 讓孩子專注

數(shù)學(xué)的推理是在一定假設(shè)條件下按一定的邏輯規(guī)則進(jìn)行嚴(yán)格推理的過程。這種純思維的思考需要人精力的高度專注，任何一個旁來的干擾都有可能影響邏輯的正確運(yùn)算。在孩子初期訓(xùn)練時可以先給予一定的安靜環(huán)境，讓其進(jìn)行專注的獨(dú)立思考。等孩子的思考能力變得強(qiáng)大的時候，就在有一定干擾的環(huán)境下也能正確思考和推斷了。這樣以后遇到復(fù)雜的環(huán)境，他就有能力抓住主要問題進(jìn)行正確的邏輯推理。

5 總結(jié)

數(shù)學(xué)描述的是集合上的各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)以及它們之間的關(guān)系。一個人的數(shù)學(xué)能力也就是理解結(jié)構(gòu)并進(jìn)行邏輯推理的思維能力，稱之為數(shù)商。這種能力越強(qiáng)，我們說數(shù)商越高；反之，這種能力越弱，數(shù)商就越低。數(shù)商對學(xué)生學(xué)習(xí)，未來生活規(guī)劃和一般人的日程生活及工作管理都有重要作用。數(shù)商與智商有共性也有不同；跟情商配合運(yùn)用能有效獲得學(xué)習(xí)、生活和工作的成功。數(shù)商的另一個顯著特點(diǎn)是可從小培養(yǎng)，可終生訓(xùn)練。

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