李錦旭

北京市數(shù)學(xué)特級(jí)教師，現(xiàn)任教于北京市十一學(xué)校。承擔(dān)“數(shù)學(xué)模型解題法”等6項(xiàng)國(guó)家級(jí)課題，出版?zhèn)€人專著《高考數(shù)學(xué)壓軸題破題36計(jì)》等8部，在《數(shù)學(xué)通報(bào)》《數(shù)學(xué)教學(xué)》等省級(jí)以上刊物中發(fā)表教研論文100余篇，其中多篇被中國(guó)人民大學(xué)資料中心收錄。

“學(xué)科核心素養(yǎng)”是時(shí)下談?wù)撦^多的一個(gè)詞，如何在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)是一個(gè)我們需要關(guān)注的問(wèn)題。一個(gè)具有一定造詣的教師，已然形成自己獨(dú)特的教學(xué)風(fēng)格，其課堂教學(xué)具有自然的“藝術(shù)性”，能讓聽過(guò)其課的師生無(wú)一不被其人格魅力和教學(xué)藝術(shù)所震撼與熏染。細(xì)加剖析，這其中的原因是多方面的，僅就“核心素養(yǎng)”的角度考慮，是其對(duì)學(xué)生“核心素養(yǎng)”的培養(yǎng)落實(shí)得到位。具體而言，其含義有二：一是幫助學(xué)生把陳述性知識(shí)變成程序性知識(shí)，即讓學(xué)生掌握了分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維方法，培養(yǎng)了學(xué)生可以遷移的自主學(xué)習(xí)能力；二是在師生共同的活動(dòng)過(guò)程中，讓學(xué)生充分體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的快樂(lè)，有效地鍛煉了學(xué)生的開拓進(jìn)取、知難而進(jìn)的意志品質(zhì)。

其實(shí)，關(guān)鍵是“如何教”的問(wèn)題。這是一個(gè)極為現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題，也是討論太多的問(wèn)題，似乎沒(méi)有定型的答案，沒(méi)有固定的課堂教學(xué)模式可供遵循。還是魏書生先生說(shuō)的好，若你善于講，就發(fā)揮講的優(yōu)勢(shì)，若你善于啟發(fā)學(xué)生自學(xué)，就教給學(xué)生自學(xué)的方法，總之，尋求你所擅長(zhǎng)的高效做法。這篇文章里，我從常規(guī)的生態(tài)課堂教學(xué)入手，主要從分層設(shè)計(jì)、課堂操作、過(guò)程評(píng)價(jià)三個(gè)方面作一點(diǎn)說(shuō)明，供大家參考。

一、分層設(shè)計(jì)

《禮記·學(xué)記》提出“學(xué)不躐等”，其含義有二：一是不同學(xué)生已有的知識(shí)層次和水平有差異；二是處于同一層次（水平）的學(xué)生在不同成長(zhǎng)階段需要施以不同的教學(xué)內(nèi)容和不同的教學(xué)方法。因此，我們需要充分了解不同學(xué)生和同一學(xué)生在不同階段所處的層次，再有針對(duì)性地進(jìn)行分層設(shè)計(jì)。

十一學(xué)校的做法是：第一，以入校前測(cè)的結(jié)果指導(dǎo)分層，印發(fā)《選課指導(dǎo)手冊(cè)》，提出選課建議，實(shí)施“小班化”教學(xué)；第二，在起始年級(jí)配備導(dǎo)師，進(jìn)行有針對(duì)性的個(gè)別指導(dǎo)—發(fā)現(xiàn)那棵樹，即關(guān)注個(gè)體、張揚(yáng)其個(gè)性。導(dǎo)師的三個(gè)基本功能是：學(xué)業(yè)指導(dǎo)、心理疏導(dǎo)、人生引導(dǎo)。

二、課堂操作

每一節(jié)課都要給學(xué)生自學(xué)方法的示范；各學(xué)科都要設(shè)計(jì)能讓師生有共同收獲、共同成長(zhǎng)的活動(dòng)。例如，在數(shù)學(xué)課堂上，可以為學(xué)生構(gòu)建一個(gè)研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路，即通過(guò)設(shè)計(jì)系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷“事實(shí)—概念—性質(zhì)（關(guān)系）—結(jié)構(gòu)（聯(lián)系）—應(yīng)用”的完整過(guò)程（以此為教學(xué)內(nèi)容的明線），使學(xué)生完成“事實(shí)—方法—方法論—數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)觀”的超越（以此為暗線）。從數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)角度看，若要從事實(shí)到概念皆融“數(shù)學(xué)抽象”于其中，可通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境讓學(xué)生盡快進(jìn)入狀態(tài)，激發(fā)學(xué)生的探究欲；從理解概念到明了性質(zhì)，這一過(guò)程應(yīng)使學(xué)生得到“數(shù)學(xué)推理”的基本訓(xùn)練，包括通過(guò)歸納推理發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，通過(guò)（邏輯）演繹推理證明性質(zhì)；從明了性質(zhì)到形成結(jié)構(gòu)主要也是“數(shù)學(xué)推理”，因?yàn)檫@是建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系、形成結(jié)構(gòu)功能良好、遷移能力強(qiáng)大的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程；從理解概念、明了性質(zhì)、形成結(jié)構(gòu)到實(shí)踐應(yīng)用，在這一過(guò)程中，教師應(yīng)隨時(shí)注重指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問(wèn)題，使學(xué)生得到“數(shù)學(xué)建?！钡挠行?/p>

訓(xùn)練。

在上述幾個(gè)步驟的關(guān)鍵處，應(yīng)注意適時(shí)引導(dǎo)，加強(qiáng)“一般觀念”的指導(dǎo)作用，如“如何思考”“如何發(fā)現(xiàn)”“從什么角度觀察”；觀察結(jié)構(gòu)特征可從“數(shù)”“形”兩個(gè)角度（靜態(tài)）入手，若從動(dòng)態(tài)角度入手，可改變目前問(wèn)題的形式，進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化后再讓學(xué)生觀察，進(jìn)行必要的模式識(shí)別，學(xué)生往往會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)，這時(shí)學(xué)生又可得到“直觀想象”“數(shù)據(jù)分析”的訓(xùn)練。

我以課題《空間角的計(jì)算》的同課異構(gòu)課型為例來(lái)具體說(shuō)明。

【教師甲】

直接給出異面直線所成角、線面角、二面角的定義，稍加解釋后引入空間向量方法，然后教師用課堂三分之二的時(shí)間進(jìn)行例題講解、題組練習(xí)，重點(diǎn)訓(xùn)練學(xué)生對(duì)于用向量方法求解三種空間角的能力。學(xué)生不感到難，接受情況好，聽課老師也普遍反映課堂效果好。

【教師乙】

1.創(chuàng)設(shè)情境（事實(shí)）

首先投影，給出四個(gè)畫面讓學(xué)生觀察：縱橫交錯(cuò)的高速公路（異面直線所成的角）、兩條電線短路放電的瞬間（異面直線的距離）、比薩斜塔傾斜度的測(cè)量（線面角）、蝴蝶展翅（飛翔）來(lái)回扇動(dòng)翅膀的過(guò)程（二面角的大?。?/p>

2.引入概念（數(shù)學(xué)抽象）

演示從平面到空間的變化過(guò)程，從而抽象出概念的本質(zhì)屬性。如異面直線可看成兩條相交直線（就地取材，權(quán)且用兩根粉筆取代），其中一條不動(dòng)，另一條在空間向上（或向下）平行移動(dòng)而成；還可看成兩條平行直線，其中一條不動(dòng)，另一條繞其上一點(diǎn)在空間轉(zhuǎn)動(dòng)而成。這種演示，可以有效地啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)表征異面直線的兩個(gè)要素：異面直線所成的角與距離，同時(shí)也能為學(xué)生進(jìn)一步抽象出異面直線的定義提供直觀的形象載體。

3.求法研究（即性質(zhì)、結(jié)構(gòu)的探究）

圖形均為空間圖形，難以直接測(cè)量，其求法應(yīng)當(dāng)考慮轉(zhuǎn)化與化歸到平面上，用平面角來(lái)表示，即尋找一個(gè)典型的截面。如上述演示，回歸即可引出作表征異面直線所成角用平面角的想法。這既分析了空間線面關(guān)系，又給出了求異面直線所成角的基本方法，即在具體圖形中過(guò)某定點(diǎn)（最好選在這兩條線上某個(gè)固定的點(diǎn)）作其中一條的平行線，將題設(shè)相關(guān)條件有效轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，解此三角形即可。

同理，線面角轉(zhuǎn)化為斜線與其在平面上射影的夾角，二面角則用垂直于棱的平面所截的兩條射線夾角來(lái)表示，但在具體解題中不實(shí)用，可這樣引導(dǎo)：仿照線面角的尋找方法來(lái)找二面角，即先過(guò)其中一個(gè)半平面上一點(diǎn)P（不在棱上）向另一個(gè)半平面引垂線，過(guò)垂足H向棱引垂線，垂足為A，連結(jié)PA（易得AP垂直于棱），則角PAH就是二面角的平面角，或過(guò)點(diǎn)P分別向棱和另一半平面引垂線，垂足分別為A、H，連結(jié)AH（易得AH垂直于棱），則角PAH就是二面角的平面角，解三角形PAH即可。

再啟發(fā)：還有什么比較好的方法可以求這些角嗎？引入空間向量，介紹向量方法。引導(dǎo)學(xué)生：對(duì)于直角結(jié)構(gòu)明顯的空間圖形，可建立坐標(biāo)系，用向量坐標(biāo)法解決，而直角結(jié)構(gòu)不太明顯者，可酌情考慮選一組基底，用向量幾何法解決，或化斜為直，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量坐標(biāo)法解決。

4.應(yīng)用（例題講解、題組練習(xí)）

到此，課堂時(shí)間過(guò)去近四分之三，當(dāng)然，用向量法求空間角的訓(xùn)練不夠充分。

教師甲（蘇步青獎(jiǎng)獲得者）將本節(jié)課定位于用向量坐標(biāo)法求空間角，主要時(shí)間用于訓(xùn)練空間角的求法及其各種變式，學(xué)生當(dāng)堂就能較為熟練地掌握空間角的向量求法，符合最新課改理念：將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決，弱化對(duì)于空間線面關(guān)系的抽象分析；同時(shí)也符合學(xué)校教學(xué)實(shí)際情況：課時(shí)緊，任務(wù)重，只能揀“干”的來(lái)。

教師乙則定位于核心概念教學(xué)，重點(diǎn)放在引導(dǎo)空間角（三種）概念的抽象、性質(zhì)結(jié)構(gòu)（即核心概念的內(nèi)涵與外延以及這三種角的內(nèi)在聯(lián)系）的探究，求法也不局限于只用向量法，而且，即使用向量法，教師也還有向量幾何法的引導(dǎo)。本節(jié)課易被詬病的地方是：在傳統(tǒng)幾何法方面用時(shí)過(guò)多，向量法也訓(xùn)練不充分，教學(xué)環(huán)節(jié)不完整，沒(méi)有很好地完成教學(xué)任務(wù)。從教師乙的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)來(lái)看，我們需要注意以下幾點(diǎn)：

1.核心概念本身即蘊(yùn)涵著思維訓(xùn)練價(jià)值，蘊(yùn)含著分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維方法，教學(xué)中不宜輕輕滑過(guò)。

2.注意引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)三種角之間的有機(jī)聯(lián)系，尤其是在新授課之初，否則在其他課上更沒(méi)有時(shí)間分析。

3.數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)觀念在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中具有居高臨下的指導(dǎo)作用，如本例中用類比與化歸思想分析問(wèn)題，容易探究到角的本質(zhì)，實(shí)在而直接，不能因誤認(rèn)為其虛泛而掠過(guò)。

4.新課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容側(cè)重點(diǎn)的轉(zhuǎn)型研究：新課標(biāo)在此處的著力點(diǎn)已經(jīng)由空間想象力轉(zhuǎn)移到量化處理（幾何問(wèn)題代數(shù)化）能力，教師甲的處理符合新課改理念，因此得到許多教師和專家的肯定，但我認(rèn)為還有值得商榷之處。

開設(shè)立體幾何課的主要目的不是用空間向量法解決立體幾何的問(wèn)題（即幾何問(wèn)題代數(shù)化），因?yàn)閹缀螁?wèn)題代數(shù)化的思維方法在解析幾何中體現(xiàn)得更為充分，沒(méi)有必要再在立體幾何課中重復(fù)這一理念。開設(shè)立體幾何課的主要目的是發(fā)展空間想象力，宏觀上將視角由平面（二維）拓展到空間（三維），力求還原三維空間事物的本來(lái)面目，微觀上則需要將視角集中于一個(gè)固定的空間圖形，剖析還原，細(xì)致地分析空間圖形的線面關(guān)系，這樣才能有效地訓(xùn)練學(xué)生空間的聯(lián)想和想象力，發(fā)展空間想象能力。而向量坐標(biāo)法訓(xùn)練得再熟練，也無(wú)法達(dá)到通過(guò)分析空間線面關(guān)系來(lái)發(fā)展空間想象力的效果。事實(shí)上，現(xiàn)實(shí)的教學(xué)已經(jīng)證明：理科學(xué)生在立體幾何方面的推理能力甚至弱于文科生，主要原因是大多數(shù)省份的文科生不學(xué)空間向量，只能用傳統(tǒng)的幾何法分析解決問(wèn)題，而理科學(xué)生自從學(xué)了空間向量法以后，甚至于連空間內(nèi)一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的三維坐標(biāo)都難以準(zhǔn)確寫出。這是將在2017年實(shí)行的最新一輪的課程改革需要面對(duì)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，因?yàn)槲覀円呀?jīng)不止一次地研討過(guò)新出臺(tái)的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，其對(duì)于立體幾何問(wèn)題主要是用空間向量法處理，對(duì)于用傳統(tǒng)幾何法是弱化的，而且也不再有《幾何證明選講》之類的選修課程。

三、建立科學(xué)高效的過(guò)程評(píng)價(jià)體系

評(píng)價(jià)起著導(dǎo)向和激勵(lì)作用。針對(duì)不同層次的學(xué)生，面對(duì)不同的課型，其評(píng)價(jià)指標(biāo)和權(quán)重都有所不同。研發(fā)評(píng)價(jià)系統(tǒng)是任何一所學(xué)校都極為重視的工作，這需要學(xué)校結(jié)合自身實(shí)際，注重導(dǎo)向性、激勵(lì)性、有效性（時(shí)效與長(zhǎng)效有機(jī)結(jié)合）、針對(duì)性等原則。過(guò)程評(píng)價(jià)主要為學(xué)生提供日常學(xué)習(xí)的參考數(shù)據(jù)，為其調(diào)整日常學(xué)習(xí)的效率提供決策依據(jù)。

十一學(xué)校對(duì)于學(xué)生日常學(xué)習(xí)的過(guò)程性評(píng)價(jià)的基本做法是：每位教師都及時(shí)將所教學(xué)生的常規(guī)表現(xiàn)納入過(guò)程評(píng)價(jià)系統(tǒng)，設(shè)立考勤、課堂表現(xiàn)（積極主動(dòng)參與課堂互動(dòng)、發(fā)言、創(chuàng)意等）、作業(yè)、前測(cè)與章節(jié)過(guò)關(guān)測(cè)驗(yàn)等幾項(xiàng)，每項(xiàng)以分?jǐn)?shù)多少作為參與度或質(zhì)量指標(biāo)，每次過(guò)評(píng)的滿分為40分。學(xué)生每天登錄平臺(tái)，就能看見自己前一天（或前幾天）的過(guò)評(píng)數(shù)據(jù)，可以及時(shí)調(diào)整自己的學(xué)習(xí)狀態(tài)和方式方法。

教師還可以借助過(guò)程性評(píng)價(jià)管理系統(tǒng)的平臺(tái)對(duì)學(xué)生進(jìn)行個(gè)別化指導(dǎo)，如通過(guò)留言或鼓勵(lì)其進(jìn)步，或激發(fā)其創(chuàng)意，或提醒、指出其待改進(jìn)處，或共擬未來(lái)一段時(shí)間的讀書、自學(xué)具體計(jì)劃……

總之，課堂是師生交流的主渠道，是創(chuàng)意生成的有效時(shí)空載體。其實(shí)，學(xué)生的創(chuàng)意、創(chuàng)造遠(yuǎn)不止于課堂，只要教師敢于放手，有意引導(dǎo)、并創(chuàng)設(shè)自由平等的氛圍，學(xué)生可能會(huì)隨時(shí)給你意想不到的驚喜。正如陶行知先生所言：“處處是創(chuàng)造之地，天天是創(chuàng)造之時(shí)，人人是創(chuàng)造之人。”

“建國(guó)君民，教學(xué)為先”。古人已經(jīng)把教學(xué)的重要性提升到強(qiáng)盛國(guó)家管理百姓的高度。教育為百年大計(jì)，新時(shí)代對(duì)教師的素養(yǎng)提出了很高的要求：既要有精深的專業(yè)素養(yǎng)、強(qiáng)烈的人文情懷、開放的觀念與宏闊的視野，又要與時(shí)俱進(jìn)、不斷學(xué)習(xí)，因?yàn)橹挥羞@樣，教師才有可能培養(yǎng)出志遠(yuǎn)意誠(chéng)、思方行圓，同時(shí)具有國(guó)際視野和世界眼光的民族脊梁和國(guó)家棟梁。

責(zé)任編輯：肖佳曉

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