浦敘德

從1+1=2走向1+1>2
——談初中數學教材課時局部解讀

浦敘德

從“教材解讀”到“教學設計”，再到“課堂實踐”，是一線數學教師追求課堂教學長效、達成數學學科核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標的有效途徑。其中，教材解讀是起點和基礎，教學設計是支點和關鍵，課堂實踐是終點和歸宿。從中可以看出，課堂教學成敗的源頭在教材解讀。事實上，每一課時的教學素材都是由幾個相關聯(lián)的素材組成的，從系統(tǒng)論角度看，整體素材可以用分解的方式進行局部解讀，通過對局部素材的深度解讀，最終達成超預期的整體實踐效果。如果把課時整體解讀效果看作1+1=2，那么課時局部解讀力圖達成的目標就是1+1＞2。下面，筆者就按照蘇科版教材一個課時中素材出現的先后次序，針對每一板塊來談談進行局部解讀的有效方法。

一、知識產生情境素材的解讀

每一課時的開始，教材一般會給出“知識產生的情境素材”。情境是一種以激發(fā)學生問題意識為價值取向的、刺激性的數據材料和背景信息，是讓學生從事數學活動的環(huán)境、產生數學行為的條件。情境素材主要有兩類，一類是基于學生“生活現實”的生活情境，一類是基于學生“數學現實”的數學情境。生活情境素材既有數學的成分，又有非數學的信息，主要的解讀方法就是從情境中先提取數學信息，后提出有價值的數學問題，把“應用型初始問題”作為課堂教學知識形成和發(fā)展的“敲門磚”，體現“生活實際問題，抽象數學知識，演繹數學知識，解決實際問題”中“抽象”的基本思想，又體現“生活—數學—生活”中“數學來源于生活”的基本規(guī)律，即“生活情境素材要數學問題化”。數學情境素材的主要解讀方法，就是找到新知的源頭，把“結構型初始問題”作為邏輯起點，體現“數學知識之間存在邏輯順序、數學知識之間存在著實質性的聯(lián)系”的知識關聯(lián)，即“數學情境素材要邏輯關聯(lián)化”。

知識產生情境素材的解讀，本質要指向“會用數學的眼光觀察現實世界”這一數學學科核心素養(yǎng)。如七（上）第2章有理數中“2.6有理數的乘法與除法”（蘇科版，以下素材全部出自蘇科版國標教材，不再一一注明），開篇就采用“在水文觀測中，常遇到水位的上升與下降問題”的生活情境。學生對于這個情境，一是有日常的生活經驗，二是有前面正數與負數意義的數學現實，所以，很容易形成基于生活現實就可以解決的系列問題。解讀第一步，生活問題經驗解決：“如果水位每天上升4cm，那么1天后、2天后、3天后……，水位上升了多少cm？3天后的水位比今天高/低多少cm？1天前、2天前、3天前……，水位比今天高/低多少cm？”“如果水位每天下降4cm……”“你還能提出什么問題？”解讀第二步：生活問題數學抽象化?！耙?guī)定水位上升為正，水位下降為負，幾天后為正？幾天前為負？”解讀第三步，數學問題指向主題：有了這些數學規(guī)定，可以解決很多數學問題，在眾多問題中，最后指向本課研究的有理數乘法問題。

二、知識形成發(fā)展素材的解讀

在每一課時的中段，教材一般會給出“知識形成發(fā)展素材”。這些素材包括概念、法則、公式、性質、定理等基礎知識，它們組成了數學這座大廈的基本框架。這些數學知識在教材中或隱或顯，從解讀的視角看，首先要讀出顯性的數學知識，其次要找到這些知識隱性的數學本質，最后要將已有知識、新學知識與將學知識形成知識體系和邏輯結構。在知識形成、發(fā)展素材中，教材也會設置一些引導學生“做數學”的欄目，如“數學實驗室”“數學活動”“課題學習”“議一議”“想一想”“試一試”“做一做”“讀一讀”等，其目的是引導學生通過“做”，感受數學，探索知識，解決問題。這些素材和呈現方式主要是讓學生親身經歷知識的產生、形成、發(fā)展過程。因為數學學習是一個不斷獲得學習經驗，不斷進行思維投入、知識建構的過程，只有“活動”與“過程”才能促進學生理解數學知識、獲得思想方法、積累活動經驗，從而形成數學學科核心素養(yǎng)。一句話概括就是，“知識形成發(fā)展素材要數學問題化、問題活動化、活動過程化”。

知識形成發(fā)展素材的解讀，本質要指向“會用數學的思維思考現實世界”這一數學學科核心素養(yǎng)。如八（上）第4章實數中“4.1平方根”，教材呈現了“格點矩形計算對角線長的情境，從中析出的數學問題就是已知冪與指數求底數的問題；進而抽象出平方根的概念及內涵解析；在引出開平方概念后，利用開平方求平方根”三部分素材。該如何解讀教材上這個知識的形成發(fā)展過程呢？教師直接利用教材的數學情境引入未嘗不可，但沒有體現知識產生的源頭和知識之間的關聯(lián)?？紤]到“平方根、開平方”處于整個知識鏈實數中“數”與“運算”的中段位置，可以用“數的發(fā)展”與“運算完備”作為引入問題，在此基礎上，教師通過生活與數學的例子，先解決已知底數和指數求冪的乘方問題，因為學生已學乘方，因此可以全部解決；再展示生活與數學中已知冪和指數求底數的問題，發(fā)現特殊的冪（完全平方數）和特殊的指數2可以求出底數（正負兩個），而一般的冪（不是完全平方數）和指數2無法求出底數，引起學生認識沖突，感受學習新知的必要性。在此基礎上，通過特殊到一般的歸納，引出平方根的定義，并解析出平方根有正負兩個的內涵，一旦平方根概念形成，開平方概念的形成和發(fā)展就水到渠成了。

三、知識運用應用素材的解讀

在每一課時的后段，教材一般會給出“知識運用應用素材”。教材中每節(jié)教學內容里面，一定會有相應的例題和習題。這些素材包括運用數學知識解決數學問題和應用數學知識解決實際問題，有的應用素材放在最后幾課時組成的一條知識鏈中，集中呈現。例題和習題等素材是數學課堂教學的一個重要組成部分，是學生鞏固基礎知識、形成基本技能、發(fā)展思維能力、形成應用意識的重要途徑。教師在解讀知識、運用素材時，除了解讀出必知的基礎知識和必備的基本技能以外，更重要的是以此為素材進行二度開發(fā)，對例題、習題進行適當的變式、引申、拓展，挖掘出這些資源的潛能，解讀出解決這些數學問題的思想方法，并通過問題解決培養(yǎng)學生的思維能力，從而提高學生的數學學科核心素養(yǎng)。

無論是對放在每一課時最后的應用素材，還是對新知形成發(fā)展后集中放在一起的應用素材，教師在解讀時都要注意：解決實際問題本身是目的，但更重要的，目光應放在解決實際問題的過程中，運用數學知識，建立數學模型，發(fā)現數學規(guī)律，形成數學方法，尋找數學本質，從而完成“數學從生活中來，再回到生活中去”的循環(huán)，培養(yǎng)學生的模型思想，進而讓學生形成必要的應用意識和創(chuàng)新意識。一句話概括就是，“知識運用應用素材要方法化、模型化”。

知識運用應用素材的解讀，本質要指向“會用數學的語言表達現實世界”這一數學學科核心素養(yǎng)。如七（下）第10章二元一次方程組中“10.5用二元一次方程組解決問題”，就屬于集中應用素材呈現的情況。教材呈現了“問題1.國慶長假期間，某旅行社接待1日游和3日游的旅客共2200人，收旅游費200萬元，其中1日游每人收費200元，3日游每人收費1500元。該旅行社接待的1日游和3日游旅客各有多少人？”這個問題。實際上，代數類“用……解決問題”的每一課時的素材，都是一個實際問題。一些教師往往會選擇增加同類的2～3個例子這樣的簡單化操作，作為整課教學素材的解讀，這實際上是題海戰(zhàn)術思想的具體體現，非常不可取。因為就算選擇再多的例子，也無非是同一水平線上的重復，必要的反復是強調，過分的反復是多余，題目的疊加并不會提高學生的建模水平和解決問題的能力。而正確的材料解讀方法應該是以這個問題為基本研究素材：1.提取問題中已知的數學信息（總人數2200人、總費用200萬元、1日游每人200元、3日游每人1500元）和未知（1日游的人數、3日游的人數），找到已知量與未知量之間的數量關系（1日游的人數+3日游的人數=2200人，1日游的費用+3日游的費用=2000000元），未知量用字母（x、y）來表示，找到對應量的代數式（200x、1500y），把數量關系符號化表示成方程（x+y=2200，200x+1500y=2000000），最后是解方程（x=1000，y=1200）、檢驗和作答。這樣就把一個整體問題分解成若干個局部小問題，實際上也完成了用二元一次方程組解決問題基本步驟的歸納，那就是“審、設、列、解、驗、答”。2.對整個解題過程從宏觀上加以回顧與總結，就可以得到“實際問題—數學化—數學問題（二元一次方程組）—數學的解—檢驗—實際問題的解”的建模過程。3.對原題進行變式，改變題目數據或改變情境素材，加強對解題步驟和建模過程（本質）的理解。4.可以再舉一個“形變而實不變”的例子加以練習和鞏固。5.還可以在上述獲得的二元一次方程組的基礎上，讓學生自己編制符合實際的問題，此時的“百花齊放”才能讓學生真正感悟“數學模型”在解決實際問題過程中的巨大作用。

無論是1+1=2的課時整體解讀，還是1+1＞2的課時局部解讀，都是為了教學設計的最優(yōu)化，進而取得課堂教學優(yōu)效、長效，達成數學教學的最終目標——數學學科核心素養(yǎng)。因為課堂教學是一線教師最應該堅守的永恒陣地，所以教材解讀就必然是一線教師最值得探索的研究領域。愿有更多的數學同仁加入到數學教材解讀研究的行列中來，更希望看到基于教材解讀下的數學課堂教學既有眼前的執(zhí)著，又有“詩”和“遠方”！

本文系江蘇省教育科學“十二五”規(guī)劃專項課題“初中數學教材（點全·線聯(lián)·面融）式課時解讀的實踐研究”研究成果之一（課題立項號E-c/2015/26）