趙 慧， 賴 強(qiáng)

(1.南昌理工學(xué)院 電子與信息學(xué)院， 南昌 330044； 2.江西科技師范大學(xué) 通信電子學(xué)院， 南昌 330013； 3.華東交通大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院， 南昌 330013)

新三維混沌系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)分析

趙 慧1，2， 賴 強(qiáng)3*

(1.南昌理工學(xué)院 電子與信息學(xué)院， 南昌 330044； 2.江西科技師范大學(xué) 通信電子學(xué)院， 南昌 330013； 3.華東交通大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院， 南昌 330013)

提出了一個(gè)含立方項(xiàng)的新三維連續(xù)混沌系統(tǒng).分析了該系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.運(yùn)用分岔圖、Lyapunov 指數(shù)譜、相平面圖等數(shù)值仿真研究了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.對(duì)不同的參數(shù)值條件，系統(tǒng)將呈現(xiàn)出單穩(wěn)定性、單周期、單混沌狀態(tài).對(duì)不同的參數(shù)值和初值，系統(tǒng)存在雙穩(wěn)定性、雙周期以及雙混沌吸引子現(xiàn)象.

混沌系統(tǒng)； 平衡點(diǎn)； 分岔圖； Lyapunov 指數(shù)

混沌是一類非常重要的物理現(xiàn)象，具有遍歷性、有界性、初值敏感性等典型特征，可被應(yīng)用于工程技術(shù)的諸多領(lǐng)域，如保密通信、天氣預(yù)測(cè)、故障診斷等.自經(jīng)典的Lorenz混沌吸引子被發(fā)現(xiàn)以來[1]，學(xué)者們對(duì)混沌開展了大量的研究工作.各種類型的混沌系統(tǒng)被廣泛提出，如Chen系統(tǒng)[2]、Lyu系統(tǒng)[3]、Sprott系統(tǒng)[4]、無平衡點(diǎn)混沌系統(tǒng)[5]、指數(shù)型混沌系統(tǒng)[6]、多渦卷和多翅膀混沌系統(tǒng)[7]等.近年來，隨著研究的逐步深入，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)一些具有簡(jiǎn)單方程組合的連續(xù)混沌系統(tǒng)往往能夠表現(xiàn)出多個(gè)混沌吸引子共存的現(xiàn)象.這些混沌吸引子具有各自獨(dú)立的吸引域，它們的產(chǎn)生并不簡(jiǎn)單依賴于系統(tǒng)參數(shù)，而且與系統(tǒng)初始條件有密切聯(lián)系.Li和Sprott提出了一個(gè)連續(xù)三維自治混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)能夠同時(shí)存在一個(gè)周期吸引子、兩個(gè)點(diǎn)吸引子和兩個(gè)奇怪吸引子[8].Guan等人提出了一個(gè)新混沌系統(tǒng)，運(yùn)用理論分析和數(shù)值仿真充分展示了系統(tǒng)中的多共存吸引子現(xiàn)象[9].Kengne等人對(duì)只含一個(gè)立方非線性項(xiàng)的Jerk系統(tǒng)進(jìn)行了研究，指出系統(tǒng)在相平面空間中同時(shí)存在兩個(gè)周期吸引子和兩個(gè)混沌吸引子[10].Wei等人研究了廣義超混沌Rabinovich系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)具有隱藏吸引子和多周期吸引子[11].Zarei提出了只含一個(gè)平衡點(diǎn)的五維超混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)有四翼混沌吸引子和多共存吸引子[12].盡管目前已有部分關(guān)于含多個(gè)吸引子的混沌系統(tǒng)的研究工作，但總體來說該類研究還處在初步階段，仍需要深入展開.此外，構(gòu)造一些新的具有不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和復(fù)雜動(dòng)態(tài)行為的混沌系統(tǒng)仍然是混沌研究的一個(gè)重要且有挑戰(zhàn)的研究課題，能夠?yàn)榛煦鐟?yīng)用提供更多的可能.

基于上述考慮，本文提出了一個(gè)新的三維混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)具有如下幾個(gè)方面特點(diǎn)：1) 有立方項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)；2) 對(duì)不同的參數(shù)條件，系統(tǒng)分別對(duì)應(yīng)有一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)、兩個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)和一個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)、三個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)；3) 系統(tǒng)有豐富的動(dòng)力學(xué)行為，對(duì)不同的參數(shù)和初值條件，系統(tǒng)表現(xiàn)出單穩(wěn)定性和雙穩(wěn)定性、單周期和雙周期、單混沌和雙混沌吸引子.理論和仿真分析了系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為.

1系統(tǒng)描述

本文提出的新三維混沌系統(tǒng)可用如下微分方程描述

(1)

其中，a，b，c，d均為大于零的實(shí)數(shù).當(dāng)a=4，b=9，c=4，d=4時(shí)，系統(tǒng) (1) 有一個(gè)混沌吸引子，如圖 1 所示.圖 1(a)-1(c) 分別為系統(tǒng) (1) 的三維相圖、x-y平面投影和x-z平面投影.圖 1(d)-1(f) 為系統(tǒng) (1)的時(shí)間序列、Lyapunov指數(shù)、Poincaré截面.此時(shí)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為L1=1.7729，L2=0，L3=-7.5949，對(duì)應(yīng)的Lyapunov維數(shù)為DL=2-L1/L3=2.2334.系統(tǒng) (1) 是分?jǐn)?shù)維的，且有正的Lyapunov指數(shù)，故系統(tǒng)存在混沌吸引子.

-c，λ2=a-b，λ3=0，有實(shí)部為0的根，故平衡點(diǎn)O是非雙曲平衡點(diǎn)，其穩(wěn)定性可由中心流行定理判定.

系統(tǒng) (1) 在平衡點(diǎn)O1，O2處有相同的特征方程

λ3+p1λ2+p2λ+p3=0，

其中，

當(dāng)a=4，b=9，c=4，d=4，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為O(0，0，1)，O1(2.828，1.886，6)，O2(-2.828，-1.886，6)，其中O對(duì)應(yīng)的特征值為λ1=-4，λ2=-8.9226，λ3=3.9226，O1，O2對(duì)應(yīng)的特征值為λ1=-10.9162，λ2，3=2.6248±6.0895i.顯然O，O1，O2都為不穩(wěn)定鞍點(diǎn).

2動(dòng)態(tài)行為分析

取系統(tǒng)參數(shù)a=4，b=9，c=4，初值為x0=(1，1，1)，可得系統(tǒng) (1) 隨參數(shù)d變化的分岔圖和Lyapunov指數(shù)如圖 2 所示.從圖 2 可知，參數(shù)d從5增加到25的過程中，系統(tǒng) (1) 分別經(jīng)歷了混沌、周期以及穩(wěn)定狀態(tài).當(dāng)d=6或d=9時(shí)，系統(tǒng) (1) 有一個(gè)混沌吸引子如圖 3(a) 和 3(a) 所示.當(dāng)d=18時(shí)，系統(tǒng)有一個(gè)周期吸引子如圖 3(c) 所示.當(dāng)d=19時(shí)，系統(tǒng) (1) 有3個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，此時(shí)可以觀察到系統(tǒng) (1) 從兩個(gè)不同初值x0=(1，1，1)(實(shí)線) 和x′0=(-1，-1，1)(虛線) 出發(fā)的軌線最終趨于不同的周期狀態(tài)，即系統(tǒng) (1) 同時(shí)存在兩個(gè)周期吸引子，如圖 3(d) 所示.當(dāng)d=20，系統(tǒng) (1) 有一個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)O(0，0，5)和兩個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)O1(1，2/3，6)，O2(-1，-2/3，6). 仿真可得系統(tǒng) (1) 有兩個(gè)不同的穩(wěn)定狀態(tài)分別對(duì)應(yīng)于初值x0(實(shí)線) 和x′0(虛線)，如圖 3(e) 所示.當(dāng)d=25時(shí)，系統(tǒng) (1) 只有一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)O(0，0，25/4)， 此時(shí)系統(tǒng) (1) 從初值x0，x′0，x1=(0.5，0.5，1)，x′1=(-0.5，-0.5，1)出發(fā)的軌線最終漸近趨于平衡點(diǎn)O，如圖 3(f) 所示.

取系統(tǒng)參數(shù)a=2，b=8，d=4，初值為x0=(1，1，1)，可得系統(tǒng) (1) 隨參數(shù)c變化的分岔圖和Lyapunov指數(shù)如圖 4 所示.對(duì)于不同的參數(shù)值c，系統(tǒng) (1) 將出現(xiàn)不同的穩(wěn)定狀態(tài)、周期狀態(tài)以及混沌狀態(tài).當(dāng)c=1時(shí)，系統(tǒng) (1) 只有一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)O(0，0，4)，從不同初值出發(fā)的軌線最終都將趨于該平衡點(diǎn)，系統(tǒng)(1) 是穩(wěn)定的.當(dāng)c=1.2時(shí)，系統(tǒng) (1) 有一個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)和兩個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn).仿真可得系統(tǒng) (1) 有兩個(gè)不同的穩(wěn)定狀態(tài)分別對(duì)應(yīng)于初值x0=(1，1，1)(實(shí)線) 和x′0=(-1，-1，1)(虛線)，如圖 5 所示.當(dāng)c=1.5時(shí)，系統(tǒng) (1) 有存在兩個(gè)周期吸引子分別對(duì)應(yīng)于初值條件x0，x′0， 如圖 6 所示.當(dāng)c=2時(shí)，系統(tǒng)只含有一個(gè)周期吸引子，如圖 7 所示.當(dāng)c=2.9時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)不同的混沌吸引子分別對(duì)應(yīng)于初值x0，x′0，如圖 8 所示.當(dāng)c=6時(shí)，系統(tǒng)有一個(gè)混沌吸引子，如圖 9 所示.

3結(jié)論

本文提出了一個(gè)新三維連續(xù)自治混沌，分析了該系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.通過數(shù)值仿真展示了系統(tǒng)的復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.研究結(jié)果顯示，當(dāng)取不同的參數(shù)值時(shí)，系統(tǒng)分別出現(xiàn)單穩(wěn)定狀態(tài)、單周期狀態(tài)和單混沌狀態(tài).對(duì)不同的系統(tǒng)初值，系統(tǒng)還存在多共存吸引子現(xiàn)象，包括雙穩(wěn)定性、雙周期以及雙混沌吸引子.

[1] LORENZ E N. Deterministic non-periodic flow[J]. J Atmos Sci， 1963， 20(2): 130-141．

[2] CHEN G， UETA T. Yet another chaotic attractor[J]. Int J Bifur Chaos， 1999， 9(7): 1465-1466．

[3] LU J， CHEN G. A new chaotic attractor coined[J]. Int J Bifur Chaos， 2002， 12(3): 659-661．

[4] SPROTT J C. Simple chaotic systems and circuits[J]. Am J Phys， 2000， 68(8): 758-763．

[5] JAFARI S， SPROTT J C， GOLPAYEGAN S M. Elementary quadratic chaotic flows with no equilibria[J]. Phys Lett A， 2013， 377(9): 699-702．

[6] 高智中. 一個(gè)含指數(shù)項(xiàng)的新自治混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析[J]. 華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)， 2013， 47(3): 312-315．

[7] LAI Q， GUAN Z H， WU Y， et al. Generation of multi-wing chaotic attractors from a Lorenz-like system[J]. Int J Bifur Chaos， 2013， 23(9): 1350152(1-10)．

[8] LI C B， SPROTT J C. Multistability in a butterfly flow[J]. Int J Bifur Chaos， 2013， 23(12): 1294-1296．

[9] GUAN Z H， LAI Q， CHI M， et al. Analysis of a new three-dimensional system with multiple chaotic attractors[J]. Nonlinear Dyn.， 2014， 75(1): 331-343．

[10] KENGEN J， NJITACKE Z T， FOTSIN H B. Dynamical analysis of a simple autonomous jerk system with multiple attractors[J]. Nonlinear Dyn， 2016， 83(1): 751-761.

[11] WEI Z， YU P， ZHANG W， et al. Study of hidden attractors， multiple limit cycles from Hopf bifurcation and boundedness of motion in the generalized hyperchaotic Rabinovich system[J]. Nonlinear Dyn， 2015， 82(1): 131-141．

[12] ZAREI A. Complex dynamics in a 5-D hyper-chaotic attractor with four-wing， one equilibrium and multiple chaotic attractors[J]. Nonlinear Dyn， 2015， 81(1): 585-605．

Complex dynamics of a new three-dimensional chaotic system

ZHAO Hui1，2， LAI Qiang3

(1.School of Electronic & Information， Nanchang Institute of Technology， Nanchang 330044； 2.College of Communication and Electronic， Jiangxi Science & Technology Normal University， Nanchang， 330013； 3.School of Electrical and Automation Engineering， East China Jiaotong University， Nanchang 330013)

This paper presents a new three-dimensional continuous chaotic system with cubic nonlinearity. The stability of equilibrium point of the system is analyzed. By using numerical simulations such as bifurcation diagram， Lyapunov exponent spectrum and phase portrait， the dynamical behaviors of the system are investigated. For different parameter values， the system performs mono-stability， mono-cycle and single chaotic state. For different parameter values and initial values， the system performs bi-stability， bi-periodicity and two chaotic attractors．

chaotic system; equilibrium point; bifurcation diagram; Lyapunov exponent

2016-09-17.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61603137)．

1000-1190(2017)02-0155-07

O415.5

A

*通訊聯(lián)系人. E-mail: laiqiang87@126.com.