◇胡重光

方程的定義辨析

◇胡重光

方程的本質(zhì)屬性是“等式”和“含有未知數(shù)”?！暗仁健辈坏韧凇坝械忍柕氖阶印?，字母不等同于“未知數(shù)”。對這兩個概念進(jìn)行深入分析的結(jié)果表明，“含有未知數(shù)的等式叫作方程”是科學(xué)的定義。

一、問題的提出

關(guān)于方程定義的討論，多年來持續(xù)不斷，至今仍無定論。方程的傳統(tǒng)定義是：含有未知數(shù)的等式叫方程。多年來，這一定義一直受到詬病。主要原因是，人們認(rèn)為，有許多含有未知數(shù)的等式不是方程，例如：

（1）表示各種運算定律的式子，如加法交換律a＋b＝b＋a，等等；

（2）各種公式，如a2－b2＝（a＋b）（a－b），等等；

（4）各種函數(shù)式，如f（x）＝x2＋1，等等。

也就是說，雖然可以說“方程是含有未知數(shù)的等式”，但不能說“含有未知數(shù)的等式是方程”。這樣說來，這個定義可以說是不科學(xué)的。

此外還有一個看起來非常簡單又長期未能解決的問題：“x＝1”之類是方程的解還是方程？大多數(shù)教師都經(jīng)常用“方程x－1＝0的解是x＝1”之類的表述，大量的出版物也都用這類寫法，但按照方程的傳統(tǒng)定義，x＝1是不折不扣的方程。方程的解與方程當(dāng)然是兩回事，而傳統(tǒng)定義不能區(qū)分它們。

那么，我們是否應(yīng)該拋棄傳統(tǒng)定義呢？筆者認(rèn)為，不能這樣簡單地下結(jié)論。本文擬做一個較深入的分析。

二、方程的本質(zhì)屬性

要定義一個概念，一定要弄清它的本質(zhì)屬性。方程有哪些本質(zhì)屬性呢？

首先，方程是一個等式。最鮮明地體現(xiàn)這一點的是，解方程的法則就是根據(jù)等式的性質(zhì)得到的：去分母和把未知數(shù)的系數(shù)化成1，是根據(jù)等式的兩邊都乘或除以同一個不為0的數(shù)，等式仍然成立；移項是根據(jù)等式的兩邊都加上或減去同一個數(shù)，等式仍然成立。這些變化叫作“方程的同解變形”。對于一元一次方程，運用同解變形，把方程變成x＝a這種最簡單的形式，方程的解就求出來了。由此我們知道，“等式”是方程的本質(zhì)屬性之一。

方程的另一個本質(zhì)屬性是“含有未知數(shù)”。用字母表示未知數(shù)，并且未知數(shù)也參與運算，這是方程的代數(shù)思想的體現(xiàn)，是與算術(shù)方法的本質(zhì)區(qū)別。

三、等式的意義和類別

方程的本質(zhì)屬性之一是“等式”，為了正本清源，我們從等式談起。等式的意義就是表示兩個數(shù)或量相等的式子（代數(shù)式的值也是數(shù)或量）。但是，人們在討論方程的意義時，首先就默認(rèn)了一個觀點：凡含有等號的式子就是等式。然而，恰好是這一觀點有問題。前面我們列出的帶有等號的四種式子中，（3）和（4）這兩類其實都不是等式。S＝ah表示三角形面積的計算方法，即面積是怎樣求的。事實上，我們把這個式子叫“公式”，而不叫“等式”。我們把三角形的底和高的值代入公式求面積，等同于求代數(shù)式的值，而不是解方程。f（x）＝x2＋1表示函數(shù)的對應(yīng)法則。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，一般表示為：f：x→x2＋1，并不使用等號。因此f（x）＝x2＋1也不是本來意義上的等式。這樣，（3）和（4）這兩類式子就自然地被排除在方程之外了。

（1）和（2）這兩類確實是等式，但它們有一個特點：這些等式中的字母取任意值時等式都成立，即它們是恒等式。恒等式中的字母并不是未知數(shù)。所謂未知數(shù)，是我們不知道其取值的字母，而對于恒等式，我們知道其中的字母可以取任意值。用字母來表示已知的數(shù)或量在代數(shù)中是常見的事。方程中的未知數(shù)與恒等式中的字母不同，只有當(dāng)它們?nèi)∧承┪粗闹禃r，作為方程的等式才成立，即方程是條件等式。

四、方程的定義

根據(jù)以上分析，我們可以得出以下一組定義：

定義1：表示兩個代數(shù)式（包括數(shù)或量）相等的符號叫等號，等號用符號“＝”表示。

定義2：把兩個相等的代數(shù)式（包括數(shù)和量）用等號連接起來，所得到的式子叫等式。

這一定義不僅排除了前面（3）和（4）這兩類式子，還排除了x＋1＝x＋2這類“偽等式”，因為在這種“等式”中，等號連接的不是兩個相等的代數(shù)式。這樣，也就排除了一類“偽方程”。

定義3：含有字母，且對字母的任意取值都成立的等式叫恒等式。

有人舉出0x＝0、x－x＝0之類的等式來質(zhì)疑方程的傳統(tǒng)定義，認(rèn)為它們也是含有未知數(shù)的等式。但是，由于其中的x可以取任意值，所以并非未知數(shù)，這些等式屬于恒等式?？傊荒芸匆姷仁街杏衳就說它含有未知數(shù)。

定義4：含有字母，僅對字母的某些值成立的等式叫條件等式。

這一定義中的字母由于只能取某些未知的值，所以稱為“未知數(shù)”。因此定義4也可以寫成：

定義4′：含有未知數(shù)的等式叫條件等式。

有了以上定義作基礎(chǔ)，我們可以順理成章地為方程下定義：

定義5：含有未知數(shù)的等式叫作方程。

有了以上一系列定義，現(xiàn)在我們不但可以說方程是含有未知數(shù)的等式，也可以說含有未知數(shù)的等式都是方程。也就是說，傳統(tǒng)的方程定義是完全正確的。

從以上定義可以看出，方程就是條件等式。實際上，西方數(shù)學(xué)中與“方程”一詞對應(yīng)的英語是“equation”，意思就是“等式”。“方程”一詞來源于我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，這本書的第八章的標(biāo)題就是“方程”，而這一章的主要內(nèi)容是解多元一次方程組和不定方程。因此，我國清代著名數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯西方的數(shù)學(xué)著作時，就把“equation”譯作“方程”。

五、方程的解

最后我們來談?wù)劮匠痰慕?。方程的解?yīng)該說是一個很簡單的概念，我國人教版初中數(shù)學(xué)教材和各種數(shù)學(xué)詞典中也都有明確的定義，大意是：使方程中等號兩邊相等的未知數(shù)的值叫作方程的解。按這一定義，方程的解是一個數(shù)，因此“x＝1”不能作為方程的解，因為它是一個式子?！胺匠蘹－1＝0的解是x＝1”是一個病句，但由于用得太久、太廣泛，已經(jīng)習(xí)慣成自然，沒有人想去深究它了。如果我們把眼光放遠(yuǎn)一點就會發(fā)現(xiàn)，這種說法并不是“放之四海而皆準(zhǔn)”的——美國加州的小學(xué)數(shù)學(xué)教材就不用“方程的解是x＝1”這種說法，而是用“方程的解是1”這種說法（見這套教材的五年級下冊，作者為Mary Behr Altieri等）。數(shù)學(xué)中使用病句看起來很奇怪，但小學(xué)數(shù)學(xué)中至少還有一例——“按比例分配”也是一個使用多年并且現(xiàn)在仍在使用的病句。

把方程或方程組的解寫成數(shù)或數(shù)組的形式還有一個重要的意義：便于用集合表示。使用集合的語言，方程或方程組的解是一個解集，須寫成集合的形式，如{a}、{（a，b）}。集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，必將成為中小學(xué)數(shù)學(xué)發(fā)展的方向，我們將不得不習(xí)慣于解的集合寫法。

以上分析表明，認(rèn)識一個數(shù)學(xué)概念不能只看表面形式，而要透過形式看實質(zhì)，形式常常會迷惑人。概念的實質(zhì)就是概念的本質(zhì)屬性，理解了概念的本質(zhì)屬性，就真正理解了概念，形式是次要的，甚至形式不夠嚴(yán)謹(jǐn)也是允許的，特別是對于中小學(xué)數(shù)學(xué)。陳重穆先生就說過：淡化形式，注重實質(zhì)。[1]這八個字可以作為中小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一條基本原則。

[1]陳重穆，宋乃慶.淡化形式，注重實質(zhì)——兼論《九年義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，1993，2（2）。

（作者單位：湖南第一師范學(xué)院）

湖南省高等學(xué)校哲學(xué)社會科學(xué)重點研究基地“小學(xué)教師教育研究基地”（湘教通[2012]311號）】