王永亮， 崔 穎， 韓 聿， 曾之祿

(1.大連海事大學(xué) 輪機(jī)工程學(xué)院，大連 116026； 2.中核集團(tuán)中核核電運(yùn)行管理有限公司，海鹽 314300)

轉(zhuǎn)子-滑動(dòng)軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)相似性研究

王永亮1， 崔 穎1， 韓 聿1， 曾之祿2

(1.大連海事大學(xué) 輪機(jī)工程學(xué)院，大連 116026； 2.中核集團(tuán)中核核電運(yùn)行管理有限公司，海鹽 314300)

針對(duì)轉(zhuǎn)子-滑動(dòng)軸承系統(tǒng)縮比模型與原型是否滿足動(dòng)力學(xué)相似的問(wèn)題，采用量綱分析法建立了考慮陀螺力矩和滑動(dòng)軸承非線性油膜力的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)相似準(zhǔn)則，確立了模型與原型各物理量相似比。理論研究表明，通過(guò)采用?；D(zhuǎn)子滑動(dòng)軸承靜載荷補(bǔ)償措施，可使轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)滿足動(dòng)力學(xué)相似要求。補(bǔ)償處理后的模型和原型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速、失穩(wěn)轉(zhuǎn)速、不平衡響應(yīng)均具有相似性。并通過(guò)算例對(duì)比分析轉(zhuǎn)子幾何比、材料密度?；群蛷椥阅Ａ磕；葘?duì)軸系不平衡響應(yīng)特性相似性的影響規(guī)律，驗(yàn)證了所推導(dǎo)的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)相似準(zhǔn)則的正確性。

動(dòng)力學(xué)相似；轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)；陀螺效應(yīng)；滑動(dòng)軸承；非線性油膜力

轉(zhuǎn)子是大型汽輪發(fā)電機(jī)組、給水泵、風(fēng)機(jī)、重型燃?xì)廨啓C(jī)等旋轉(zhuǎn)機(jī)械的核心部件，其動(dòng)力學(xué)行為關(guān)系到設(shè)備運(yùn)行穩(wěn)定性和安全性。轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)的理論分析和數(shù)值仿真方面的研究已經(jīng)取得了大量有意義的成果，但由于某些聯(lián)接件動(dòng)力學(xué)特性的復(fù)雜性和非線性，模型實(shí)驗(yàn)成為揭示轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象的科學(xué)規(guī)律和定性分析動(dòng)力學(xué)特性的必不可少的手段[1-3]。對(duì)于實(shí)際大型旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，如果能夠通過(guò)縮比模型實(shí)驗(yàn)定量反映原型的動(dòng)力學(xué)特性，將對(duì)其動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)和故障分析的實(shí)踐具有重要意義。

對(duì)于如何建立縮比轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)和原型動(dòng)力學(xué)特性之間定量關(guān)系的問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外公開(kāi)發(fā)表的相關(guān)理論方法和分析方面的資料均不多見(jiàn)。胡培民[4]理論分析了轉(zhuǎn)子彎曲振動(dòng)的試驗(yàn)相似律，研究表明，轉(zhuǎn)子相似模型固有頻率與其幾何相似比成反比關(guān)系。文獻(xiàn)[5]通過(guò)對(duì)燃?xì)廨啓C(jī)模塊式氦冷反應(yīng)堆(GT-MHR)軸系縮比模型進(jìn)行試驗(yàn)，分析其支撐電磁軸承在整個(gè)工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的冗余特性和在線維護(hù)功能。WU[6]根據(jù)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)橫向運(yùn)動(dòng)方程，推導(dǎo)了縮比模型和原型轉(zhuǎn)子之間相似參數(shù)的比例，以及動(dòng)力學(xué)相似比。羅忠等[7]基于相似理論，結(jié)合量綱分析和方程分析法，建立了轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)相似關(guān)系，求解了相似因子，通過(guò)有限元法數(shù)值驗(yàn)證了相似關(guān)系，考察了軸承參數(shù)對(duì)固有頻率和振幅的影響。陳廣凱等[8]采用方程分析法，建立了考慮轉(zhuǎn)子非線性剛度和局部碰摩的Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩故障特性相似關(guān)系，對(duì)比分析了模型和原型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔特性，研究結(jié)果表明，兩相似轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分岔圖趨勢(shì)一致。

然而以上轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)相似研究中均未考慮陀螺力矩對(duì)臨界轉(zhuǎn)速和響應(yīng)特性等的影響。從動(dòng)力學(xué)方程角度看，轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)與結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程的主要區(qū)別在于：①轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程中包含隨轉(zhuǎn)速變化的陀螺力矩陣；②轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡質(zhì)量力隨轉(zhuǎn)速變化；③轉(zhuǎn)子支撐剛度和阻尼系數(shù)可能隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化(對(duì)于滑動(dòng)軸承來(lái)說(shuō))。由此引出兩個(gè)問(wèn)題：一是陀螺效應(yīng)和隨轉(zhuǎn)速變化的不平衡質(zhì)量力對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速和響應(yīng)特性相似性的影響;二是相似理論是否適用于滑動(dòng)軸承支撐的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性分析。

本文針對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行探討，分析考慮陀螺力矩和滑動(dòng)軸承非線性油膜力的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)相似規(guī)律。利用Timoshenko梁理論和短圓瓦滑動(dòng)軸承非線性力模型，建立轉(zhuǎn)子-滑動(dòng)軸承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。采用量綱分析法導(dǎo)出考慮陀螺力矩和非線性油膜力的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)相似準(zhǔn)則，給出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型與原型各個(gè)物理量相似比。通過(guò)對(duì)一實(shí)際實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)子-圓柱瓦滑動(dòng)軸承系統(tǒng)進(jìn)行原型和不同?；认履Ｐ偷膭?dòng)力學(xué)特性數(shù)值仿真，對(duì)比分析幅頻特性和分岔特性，驗(yàn)證所給出的考慮陀螺效應(yīng)和滑動(dòng)軸承非線性油膜力的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)相似準(zhǔn)則的正確性。

1 轉(zhuǎn)子-滑動(dòng)軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 轉(zhuǎn)子模型

目前，有限元法已廣泛被應(yīng)用于轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)建模中，其中的二維軸對(duì)稱準(zhǔn)三維單元和三維實(shí)體單元已被應(yīng)用于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速和振型分析中[9-10]，而一維梁?jiǎn)卧哂辛W(xué)概念清晰、建模方便，總自由度相對(duì)較少，在以往轉(zhuǎn)子-系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速和振型分析、線性或非線性響應(yīng)特性研究中占據(jù)著主導(dǎo)地位。本文在對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行有限元離散后，采用考慮了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量效應(yīng)和橫截面剪切變形影響的Timoshenko梁?jiǎn)卧獙?duì)軸段進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模[11]，并將輪盤(pán)作為剛體進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，得到整個(gè)軸系的動(dòng)力學(xué)模型如下：

(1)

式中：[M]、[C]、[J]、[K]分別為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、陀螺力矩陣和剛度矩陣，均為4N*4N矩陣，N為節(jié)點(diǎn)數(shù)。{G}、{Q(t)}、{Fb}分別為各節(jié)點(diǎn)重力分量、質(zhì)量偏心產(chǎn)生的不平衡力和滑動(dòng)軸承支撐油膜力。Ω為轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)速度。

廣義位移向量為：

xi,yi,-θxi,θyi表示軸段第i節(jié)點(diǎn)橫截面水平和豎直方向的位移和轉(zhuǎn)角。

重力為：

不平衡質(zhì)量力為：

{Q(t)}=[{m}eΩ2sin(Ωt),{m}eΩ2cos(Ωt)]T，其中{m}={m1,0,m2,0,…,mN,0}。

質(zhì)量矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣形式如下[12]：

式中:mi、Jdi和Jpi分別為第i節(jié)點(diǎn)附加質(zhì)量、附加直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。[M1]為整體質(zhì)量矩陣，其具體形式如圖1所示，為2N*2N階對(duì)稱帶狀矩陣。矩陣[J1]和[K1]的形式和[M1]的形式類似，對(duì)于[J1]來(lái)說(shuō)，用[J11]s(i)、[J12]s(i)、[J21]s(i)和[J22]s(i)替換圖中[m11]s(i)、[m12]s(i)、[m21]s(i)和[m22]s(i)，并將[Md](i)改為[Gd](i)即可；而對(duì)于[K1]來(lái)說(shuō)，用[k11]s(i)、[k12]s(i)、[k21]s(i)和[k22]s(i)替換圖中[m11]s(i)、[m12]s(i)、[m21]s(i)和[m22]s(i)，并令[Md](i)=[0]即可。

圖1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)質(zhì)量矩陣[M1]Fig.1 Mass matrix of rotor

轉(zhuǎn)子第i個(gè)軸段的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、陀螺力矩陣表達(dá)式為[13]：

ρ、A、l、E、I、G分別為密度、橫截面面積、軸段長(zhǎng)度、彈性模量、截面慣性矩、剪切模量。

對(duì)于橫截面為圓或圓環(huán)的轉(zhuǎn)軸，剪切校正因子為[14]：

而轉(zhuǎn)軸阻尼矩陣[C]采用經(jīng)典的Rayleigh阻尼模型。其表達(dá)式如下：

[C]=α[M]+β[K]

式中：ω1、ω2分別為轉(zhuǎn)子的第1、2階固有頻率；ξ1、ξ2分別為第1、2階模態(tài)的阻尼系數(shù)。

1.2 滑動(dòng)軸承非線性油膜力模型

圓瓦徑向滑動(dòng)軸承非線性油膜力求解方法有數(shù)值求解雷諾方程，通過(guò)數(shù)值積分油膜壓力得到油膜力、油膜力數(shù)據(jù)庫(kù)法、變分法模型、長(zhǎng)軸承模型、短軸承模型、有限長(zhǎng)軸承模型等[15]?？紤]到本文研究的重點(diǎn)在于轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)相似性理論及其驗(yàn)證，因此，采用計(jì)算快速簡(jiǎn)便、已被廣泛應(yīng)用于非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象分析的短軸承模型[16]，其模型表達(dá)式為：

式中：

2 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)相似關(guān)系

針對(duì)轉(zhuǎn)子-滑動(dòng)軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程(1)，本節(jié)通過(guò)量綱理論建立各物理量間相似關(guān)系，分析其相似特性。

根據(jù)相似性理論[17]和轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論，式(1)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中各物理量共有12個(gè)，分別為彈性模量E、材料密度ρ、幾何尺寸l、泊松比ν，重力G、潤(rùn)滑油粘度μ，時(shí)間t、阻尼比ξ、固有頻率ωn、位移響應(yīng)u、轉(zhuǎn)速Ω和特征轉(zhuǎn)速(臨界轉(zhuǎn)速、油膜失穩(wěn)轉(zhuǎn)速)Ωcha，對(duì)于線彈性范圍轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)，各物理量間的關(guān)系可表達(dá)為：

D(E,ρ,l,ν,G,μ,t,ξ,ωn,u,Ω,Ωcha)=0

(2)

選擇力[F]、長(zhǎng)度[L]和時(shí)間[T]作為基本量綱，根據(jù)相似理論，獨(dú)立π準(zhǔn)則的數(shù)量為9個(gè)。由相似第二定理可將式(2)轉(zhuǎn)化為無(wú)因次的相似準(zhǔn)則π1、π2、…、π9之間的函數(shù)：

f(π1,π2,π3,π4,π5,π6,π7,π8,π9)=0

(3)

用a1、a2、…、a12分別代表物理量E、ρ、l、ν、G、μ、t、ξ、ωn、u、Ω和Ωcha中的指數(shù)，則πi的形式為：

(4)

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各物理量間量綱矩陣可表示為：

表1 各物理量間量綱矩陣

根據(jù)量綱矩陣，可得以下三個(gè)線性齊次代數(shù)方程：

量綱[F]：

a1+a2+a5+a6=0

(5)

量綱[L]：

-2a1-4a2+a3-2a6+a10=0

(6)

量綱[T]：

2a2+a6+a7-a9-a11-a12=0

(7)

3個(gè)方程無(wú)法解出12個(gè)未知數(shù)，將未知數(shù)中的a1、a2、a3表達(dá)為a4、a5、…、a12的函數(shù)，則有：

(8)

(9)

a3=-2a5-a6-a7+a9-a10+a11+a12

(10)

轉(zhuǎn)子各物理量指數(shù)可以由π矩陣來(lái)表示，根據(jù)式(8)～(10)將各個(gè)物理量指數(shù)列成表的形式，如表2所示。

由表2的π矩陣，每一行代表無(wú)量綱乘積的一組指數(shù)，因此可建立各獨(dú)立的9個(gè)π準(zhǔn)則，如下所示：

根據(jù)相似定理，縮比模型與原型相似，則兩者的各相似指標(biāo)為1。

表2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的π矩陣

Tab.2 π matrix of rotor system

a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12EρlνGμtξωnuΩΩchaπ1000100000000π2-10-2010000000π3-1/2-1/2-1001000000π41/2-1/2-1000100000π5000000010000π6-1/21/21000001000π700-1000000100π8-1/21/21000000010π9-1/21/21000000001

設(shè)模型與原型的E、ρ、l、ν、G、μ、t、ξ、ωn、u、Ω和Ωcha的相似比分別為：CE、Cρ、Cl、Cν、CG、Cμ、Ct、Cξ、Cu、CΩ、CΩcha。根據(jù)相似定理，縮比模型與原型相似，則兩者的各相似指標(biāo)為1，可得：

(11)

對(duì)于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型設(shè)計(jì)，如果已知幾何相似比Cl、密度相似比Cρ、彈性模量相似比CE，則其它物理量相似比可表示為：

由于重力加速度g無(wú)法進(jìn)行模化，由此導(dǎo)致實(shí)際模化轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程中重力項(xiàng)不滿足表3中重力相似比要求。對(duì)于轉(zhuǎn)子-滑動(dòng)軸承系統(tǒng)，重力與滑動(dòng)軸承靜載荷相關(guān)，直接影響著軸承的剛度阻尼特性，重力不滿足相似比要求意味著該軸系模型和原型不具有動(dòng)力學(xué)相似性。

表3 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型與原型各個(gè)物理量相似比

然而可通過(guò)在?；D(zhuǎn)子豎直方向上施加額外的補(bǔ)償力(如通過(guò)?；D(zhuǎn)子軸線傾斜使轉(zhuǎn)軸在軸承上分力匹配，或通過(guò)電磁力等實(shí)現(xiàn)補(bǔ)償)，使得滑動(dòng)軸承的靜載荷滿足相似比要求。

設(shè)原型的重力向量為：

{Gp}={m}g

根據(jù)表3中的重力相似比，?；D(zhuǎn)子重力向量應(yīng)該為：

然而實(shí)際模化轉(zhuǎn)子重力值為：

兩者之間差即為補(bǔ)償力：

載荷補(bǔ)償處理后的?；D(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程可表達(dá)為如下形式：

通過(guò)補(bǔ)償處理，原型和模型參數(shù)滿足了相似比要求。由表3可知，在幾何、密度和彈性模量相似比確定的情況下，固有頻率和轉(zhuǎn)速相似比相等，即模型在ΩCΩ轉(zhuǎn)速下固有頻率等于原型在Ω轉(zhuǎn)速下固有頻率的Cωn(即CΩ)倍，模型的特征轉(zhuǎn)速(臨界轉(zhuǎn)速、失穩(wěn)轉(zhuǎn)速等)必然為原型的Cωn(或CΩ)倍。

3 實(shí)例驗(yàn)證

以文獻(xiàn)[18]中實(shí)際實(shí)驗(yàn)臺(tái)轉(zhuǎn)子為例，對(duì)比分析?；瘏?shù)比對(duì)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性影響規(guī)律，以驗(yàn)證所建立的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)相似律。

3.1 轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)參數(shù)

圖2為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，該轉(zhuǎn)子四個(gè)輪盤(pán)通過(guò)錐套套裝在轉(zhuǎn)軸上，總長(zhǎng)0.993 m，跨距0.738 m，總質(zhì)量約168 kg。

圖2 實(shí)驗(yàn)臺(tái)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)參數(shù)Fig.2 Configuration of the rotor

對(duì)圖2轉(zhuǎn)子進(jìn)行有限元離散，圖3為轉(zhuǎn)子有限元模型示意圖，表4為軸端劃分?jǐn)?shù)據(jù)列表，共分為11個(gè)軸段，12個(gè)節(jié)點(diǎn)，四個(gè)剛性輪盤(pán)的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量作為附加質(zhì)量加入動(dòng)力學(xué)方程中，3號(hào)節(jié)點(diǎn)和10號(hào)節(jié)點(diǎn)分別為#1和#2圓瓦滑動(dòng)軸承支撐位置。表5為圓瓦滑動(dòng)軸承參數(shù)列表。

圖3 模化轉(zhuǎn)子節(jié)點(diǎn)劃分示意圖Fig.3 Structure sketch of finite element model of the rotor bearing system

Tab.4 Finite element model of rotor modeling data list

段號(hào)段長(zhǎng)/m外徑/m段重/kg節(jié)點(diǎn)編號(hào)附加質(zhì)量/kg節(jié)點(diǎn)總質(zhì)量/kg附加直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量/(kg·m2)支撐10.0630.03800.6054100.3025020.0620.04000.6116200.6085030.0650.04000.6412300.62650*40.1000.04461.2264400.8905050.1400.04551.7869539.140.4800.3960.1280.04571.6482639.140.6390.3970.1400.04551.7869739.140.6390.3980.1000.04461.2263839.140.4800.3990.0650.04000.6412900.89050100.0620.04000.61161000.62650*110.0680.03800.60541100.608501200.30250sum0.993168.257

表5 圓瓦滑動(dòng)軸承參數(shù)

3.2 不平衡響應(yīng)仿真結(jié)果

采用1轉(zhuǎn)子-滑動(dòng)軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型相關(guān)理論對(duì)上述實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模。其中前兩階模態(tài)阻尼系數(shù)取ξ1=0.02，ξ2=0.05，設(shè)定#3輪盤(pán)處存在大小為203.195(g·cm)的不平衡質(zhì)量。

采用Newmark法[19]在整個(gè)時(shí)間域內(nèi)對(duì)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程(1)進(jìn)行逐步積分求解，獲取系統(tǒng)各個(gè)時(shí)刻的響應(yīng)數(shù)據(jù)。數(shù)值求解過(guò)程中，計(jì)算轉(zhuǎn)速為1 000～6 000 r/min, 各轉(zhuǎn)速下計(jì)算200個(gè)周期，計(jì)算步長(zhǎng)為每轉(zhuǎn)速周期均分160 000個(gè)計(jì)算點(diǎn)，每個(gè)周期輸出1 000個(gè)計(jì)算點(diǎn)，取后50個(gè)周期作為分析數(shù)據(jù)，Newmark程序迭代過(guò)程中采用前后兩次迭代計(jì)算方程右端力相對(duì)偏差作為收斂判據(jù)，收斂偏差標(biāo)準(zhǔn)為1E-006。

對(duì)獲得的各時(shí)刻動(dòng)力學(xué)響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理分析，利用幅頻特性曲線、分岔圖、三維譜圖、頻譜圖和軸心軌跡圖來(lái)分析軸系的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性和穩(wěn)定性。

圖4為#1軸承處(節(jié)點(diǎn)3)軸頸x向振動(dòng)圖譜。

圖4 #1軸承處軸頸x方向振動(dòng)圖譜Fig.4 Variation of the vibration of the rotor with the journal angular velocity

由圖4(a)可知，圓瓦滑動(dòng)軸承支撐下，軸系臨界轉(zhuǎn)速為2 070 r/min(同時(shí)在1 800 r/min時(shí)出現(xiàn)小幅度峰值，可能是由于軸承x向和y向主剛度的差異及交叉剛度引起的)。當(dāng)轉(zhuǎn)速超過(guò)5 150 r/min后，振幅突增。從分岔圖可明顯看出，分岔點(diǎn)約為5 050 r/min，該轉(zhuǎn)速以前軸系處于周期1運(yùn)動(dòng)，當(dāng)轉(zhuǎn)速大于5 050后，系統(tǒng)失去了原有動(dòng)力穩(wěn)定性，軸系運(yùn)動(dòng)變的復(fù)雜。從圖4(c)三維譜圖可以看出，5 050 r/min以前軸系振動(dòng)只有基頻，而轉(zhuǎn)速升至5 050后，開(kāi)始出現(xiàn)明顯低頻分量，且振動(dòng)幅值急劇增大，之后低頻振動(dòng)頻率基本鎖定在系統(tǒng)一階彎曲固有頻率值，即發(fā)生鎖頻現(xiàn)象。

圖5和6分別為不同轉(zhuǎn)速時(shí)#1軸承處軸頸振動(dòng)頻譜圖和軸心軌跡圖。

由圖可知，轉(zhuǎn)速為5 000 r/min時(shí)，軸系以基頻振動(dòng)為主，軸心軌跡為橢圓，軸心處于第四象限。當(dāng)轉(zhuǎn)速升至5 150 r/min時(shí)，出現(xiàn)明顯低頻分量，軸心軌跡為概周期運(yùn)動(dòng)。轉(zhuǎn)速超過(guò)5 250 r/min后(發(fā)生油膜振蕩的轉(zhuǎn)速)，低頻振動(dòng)幅值超過(guò)基頻振動(dòng)振幅，開(kāi)始占具主導(dǎo)地位，轉(zhuǎn)速為5 950 r/min時(shí)，軸心軌跡近似為圓形，此時(shí)軸系運(yùn)動(dòng)為周期2運(yùn)動(dòng)。

圖5 不同轉(zhuǎn)速下#1軸承處軸頸處x方向頻譜圖(橫坐標(biāo)為倍頻數(shù)；縱坐標(biāo)為振動(dòng)幅值，單位μm)Fig.5Frequency spectrum of bearing #1 in x direction for different journal angular velocity (The horizontal direction is normalized frequency, and vertical is amplitude/μm)

圖6 不同轉(zhuǎn)速下#1軸承處軸頸軸心軌跡圖(單位μm)Fig.6 Orbit for different journal angular velocity of bearing #1 (unit: μm)

3.3 ?；瘏?shù)對(duì)動(dòng)力學(xué)特性影響

表6給出了6個(gè)不同轉(zhuǎn)子材料密度比、彈性模量比和幾何比的數(shù)值仿真方案，獲取各方案下轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的響應(yīng)特性，分析?；葘?duì)軸系幅頻特性和分岔特性的影響規(guī)律，驗(yàn)證所推導(dǎo)的考慮陀螺力矩和非線性油膜力的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)相似性準(zhǔn)則的正確性。

數(shù)值仿真中初始位移、滑動(dòng)軸承參數(shù)、轉(zhuǎn)子幾何參數(shù)等均按照表3中?；瘻?zhǔn)則計(jì)算，數(shù)值積分迭代參數(shù)與3.2一致。

表6 不同參數(shù)?；鹊姆桨噶斜?/p>

圖7為不同物理參數(shù)?；认罗D(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的幅頻特性曲線，圖8為對(duì)應(yīng)的振動(dòng)分岔特性隨轉(zhuǎn)速變化圖。

圖7 不同方案下#1軸承處軸頸x向幅頻特性(橫坐標(biāo)為轉(zhuǎn)速，單位r/min；縱坐標(biāo)為通頻振動(dòng)幅值，單位μm)Fig.7 Amplitude frequency characteristics of bearing #1 in x direction with different scale ratio (The horizontal direction represents speed/r/min, and vertical is amplitude/μm)

由圖可知，各方案下幅頻特性和分岔特性隨轉(zhuǎn)速變化趨勢(shì)相似，臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)轉(zhuǎn)速相似，各轉(zhuǎn)速下振動(dòng)幅值相似。表7為各方案下轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速、過(guò)臨界時(shí)振動(dòng)幅值、發(fā)生油膜振蕩轉(zhuǎn)速和振幅對(duì)比，可以看出，模型與原型的特征參數(shù)比與密度、彈性模量和幾何比例相關(guān)，各參數(shù)?；认罗D(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速與通過(guò)原型推算出的臨界轉(zhuǎn)速誤差最大為4.8‰，過(guò)臨界時(shí)振動(dòng)幅值誤差最大為0.037‰，發(fā)生油膜振動(dòng)轉(zhuǎn)速和振幅最大誤差分別為0.014‰和0.251‰。

因此，考慮陀螺力矩和滑動(dòng)軸承非線性油膜力的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在對(duì)重力進(jìn)行相似性處理后，其動(dòng)力學(xué)特性滿足相似律，具有表3所示的相似關(guān)系。

圖8 不同方案下#1軸承處軸頸x向分岔圖(橫坐標(biāo)為轉(zhuǎn)速，單位r/min；縱坐標(biāo)為振幅，單位μm)Fig.8 Bifurcation diagram of bearing #1 in x direction with different scale ratio (The horizontal direction represents speed(r/min, and vertical is amplitude μm)

方案各方案下特征參數(shù)(與通過(guò)原型推算出的特征參數(shù)誤差千分比/‰)臨界轉(zhuǎn)速過(guò)臨界振幅油膜振蕩轉(zhuǎn)速油膜振蕩振幅12575(4.8)19.14(0.002)6562.5(0.000)36.95(0.016)21030(1.9)47.85(0.006)2625(0.000)92.36(0.046)3927(1.7)47.85(0.006)2362.5(0.000)92.36(0.046)41133(2.1)47.85(0.006)2887.5(0.000)92.36(0.046)51144(2.3)47.77(0.037)2916.7(0.013)91.83(0.251)6936(1.9)47.77(0.037)2386.4(0.014)91.84(0.247)

4 結(jié) 論

(1)采用量綱分析法推導(dǎo)了考慮陀螺效應(yīng)和非線性油膜力的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)相似準(zhǔn)則，確立了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型與原型各個(gè)參數(shù)相似比。

(2)對(duì)于轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)，轉(zhuǎn)軸的重力對(duì)滑動(dòng)軸承動(dòng)特性有著重要的影響，由于重力加速度不滿足相似性?；螅率罐D(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)方程理論上不滿足相似性要求。

(3)可通過(guò)采取對(duì)?；D(zhuǎn)子在軸承處施加外力，或改變軸系傾角等措施，使得?；瑒?dòng)軸承靜載荷滿足相似性要求，進(jìn)而使得轉(zhuǎn)子-滑動(dòng)軸承系統(tǒng)和處理后的?；D(zhuǎn)子與原型具有動(dòng)力學(xué)相似性，其臨界轉(zhuǎn)速、失穩(wěn)轉(zhuǎn)速、不平衡響應(yīng)等特性參數(shù)之比均具有相似性關(guān)系。

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Dynamic similarity of rotor-sliding bearing systems

WANG Yongliang1, CUI Ying1, HAN Yu1, ZENG Zhilu2

(1. Marine Engineering College, Dalian Maritime University, Dalian 116026, China;2.CNNC Nuclear Power Operation Management Co, Ltd. Haiyan 314300, China)

Are dynamic characteristics of a rotor-sliding bearing system scaled model similar to those of the original system? To answer this problem, dynamic similarity criteria for rotor-sliding bearing systems considering gyroscopic moment and nonlinear oil film force were derived by using the dimensional analysis method, and the similarity ratios of physical variables of the scaled model to those of the original system were obtained. The theoretical study showed that the dynamic similarity requirements of rotor-sliding bearing systems can be met by using the static load compensation measures of sliding journal bearings of the scaled rotor system; the critical speed, stability threshold speed and imbalance response of the scaled system after compensation and those of the original system have a similarity; the correctness of dynamic similarity criteria of rotor systems proposed here is verified using comparative analysis for imbalance response characteristics of the scaled system model and those of the original system with different rotor geometric ratios, material density ratios and elastic modulus ratios.

dynamic similarity; rotor dynamics; gyroscopic effect; sliding bearing; nonlinear oil film force

國(guó)家自然科學(xué)基金(51606023;51436002)；遼寧省自然科學(xué)基金(2015020130)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助(3132016016)

2015-11-05 修改稿收到日期：2016-02-02

王永亮 男，博士，講師，1983年10月生

TH133.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.01.023