侯雨雷， 汪 毅， 井國(guó)寧， 曾達(dá)幸， 邱雪松， 李慧劍

(1. 燕山大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué) 河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004)

含間隙RU-RPR解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)混沌與沖擊現(xiàn)象

侯雨雷1， 汪 毅1， 井國(guó)寧1， 曾達(dá)幸1， 邱雪松1， 李慧劍2

(1. 燕山大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué) 河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004)

針對(duì)含間隙機(jī)構(gòu)中的混沌與沖擊現(xiàn)象，以自主提出的RU-RPR(R為轉(zhuǎn)動(dòng)副，U為虎克鉸，P為移動(dòng)副)兩轉(zhuǎn)動(dòng)解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，考慮運(yùn)動(dòng)副間隙，結(jié)合Lankarani-Nikravesh接觸力模型與拉格朗日方程建立間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，分析不同的驅(qū)動(dòng)速度和摩擦因數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)中混沌現(xiàn)象與沖擊的影響，同時(shí)探討機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性與沖擊現(xiàn)象的關(guān)系，并分析增設(shè)彈簧對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響。研究結(jié)果表明，改變驅(qū)動(dòng)速度與摩擦因數(shù)時(shí)，沖擊現(xiàn)象仍然存在，而機(jī)構(gòu)可以由混沌運(yùn)動(dòng)變?yōu)橹芷谶\(yùn)動(dòng)，穩(wěn)定性增強(qiáng)；機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性與沖擊現(xiàn)象并沒有必然的聯(lián)系，且增加彈簧可以顯著的減弱機(jī)構(gòu)中的沖擊程度。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)；間隙；動(dòng)力學(xué)；混沌；沖擊

隨著機(jī)械產(chǎn)品日益朝著高速、重載、高精度的目標(biāo)發(fā)展，對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能的要求也越來(lái)越高，而不可避免的運(yùn)動(dòng)副間隙的影響愈發(fā)引起眾多學(xué)者和工程界的重視。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)及其廣泛應(yīng)用已為業(yè)界認(rèn)可，作為多維的強(qiáng)非線性系統(tǒng)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)包含著豐富的動(dòng)力學(xué)特性，其能否適應(yīng)更高的作業(yè)條件要求而繼續(xù)得以應(yīng)用并發(fā)展，將取決于動(dòng)力學(xué)這一關(guān)鍵問(wèn)題的解決程度。

目前，很多學(xué)者對(duì)含間隙機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模[1-2]、動(dòng)態(tài)特性[3-6]、混沌現(xiàn)象[7-10]、實(shí)驗(yàn)分析[11]等，已經(jīng)進(jìn)行了深入而廣泛的研究。時(shí)兵等[12]針對(duì)大型重載機(jī)構(gòu)虛擬樣機(jī)中的間隙旋轉(zhuǎn)鉸，基于間隙矢量模型對(duì)一汽輪機(jī)閥門機(jī)構(gòu)進(jìn)行仿真計(jì)算，分析鉸間隙、制造和裝配誤差等因素對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響。BAI等[13]采用一種混合接觸力模型分析含間隙機(jī)構(gòu)的磨損。RAHMANIAN等[8]繪制了含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)隨間隙尺寸變化的分岔圖。魏曉輝等[14]分析了裝配間隙對(duì)起落架收放機(jī)構(gòu)的影響，并提出了改進(jìn)設(shè)計(jì)。余躍慶等[15]針對(duì)運(yùn)動(dòng)副間隙引起的并聯(lián)機(jī)器人定位誤差，探討了運(yùn)動(dòng)副間隙誤差引起的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)誤差的變化規(guī)律，并提出優(yōu)化補(bǔ)償方法。趙剛練等[16]研究了含空間圓柱副間隙的動(dòng)力學(xué)建模方法，并分析了圓柱副間隙對(duì)其他構(gòu)件的動(dòng)態(tài)特性的影響。王庚祥等[17]對(duì)含空間球面副間隙對(duì)新型減振平臺(tái)4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能影響進(jìn)行研究，分析球面副間隙對(duì)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)特性及驅(qū)動(dòng)力的影響。趙寬等[18]分析了含間隙的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)在考慮運(yùn)動(dòng)副間隙、摩擦力及系統(tǒng)參數(shù)具有隨機(jī)性時(shí)的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題。

混沌是非線性動(dòng)力系統(tǒng)所特有的且普遍存在的現(xiàn)象，混沌現(xiàn)象在有些情況下于機(jī)構(gòu)性能有利，而在有些情況下將產(chǎn)生不良的影響，導(dǎo)致本來(lái)認(rèn)為無(wú)論如何是安全和穩(wěn)定的系統(tǒng)失靈，為工程系統(tǒng)的響應(yīng)和可靠性增加了不確定因素。對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行混沌現(xiàn)象辨識(shí)，進(jìn)而體現(xiàn)于動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)中并實(shí)現(xiàn)有效的控制，對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的優(yōu)劣具有關(guān)鍵性的作用。

在間隙機(jī)構(gòu)中，運(yùn)動(dòng)副元素之間的分離碰撞將產(chǎn)生沖擊現(xiàn)象，嚴(yán)重的沖擊會(huì)導(dǎo)致機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度降低，加劇磨損，對(duì)機(jī)構(gòu)產(chǎn)生破壞，降低機(jī)構(gòu)的使用壽命?，F(xiàn)有的文獻(xiàn)中，含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能的分析已經(jīng)比較普遍，而針對(duì)引起間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能惡化的沖擊現(xiàn)象卻鮮有學(xué)者進(jìn)行深入的研究。

機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性是指機(jī)構(gòu)保持原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的能力。當(dāng)給定機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)為周期性時(shí)，如果機(jī)構(gòu)處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，則機(jī)構(gòu)是穩(wěn)定的，而如果機(jī)構(gòu)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，則機(jī)構(gòu)是不穩(wěn)定的。運(yùn)動(dòng)副的間隙會(huì)造成機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的不確定性，機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性在某種條件下會(huì)劇烈地變化，而且呈現(xiàn)出混沌特性[19]。OLYAEI等[19]通過(guò)某種控制方法使機(jī)構(gòu)由混沌狀態(tài)變成不混沌狀態(tài)，從而使機(jī)構(gòu)由不穩(wěn)定狀態(tài)變成穩(wěn)定狀態(tài)。ZHANG等[4]對(duì)含多間隙的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，分析了載荷、運(yùn)動(dòng)速度和運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)機(jī)構(gòu)穩(wěn)定性的影響。王威等[20]以平面四桿機(jī)構(gòu)為例研究了間隙與干摩擦對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)行穩(wěn)定的影響。

本文即在此背景下，以含間隙RU-RPR解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)[21]為研究對(duì)象，利用Lankarani-Nikravesh接觸力模型計(jì)算法向接觸力，將修正的Coulomb摩擦力法則嵌入到切向接觸力的計(jì)算過(guò)程中，應(yīng)用拉格朗日方程建立間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，采用變步長(zhǎng)四階龍格庫(kù)塔法予以數(shù)值求解，辨識(shí)解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)中的混沌現(xiàn)象，分析不同的因素對(duì)機(jī)構(gòu)中混沌與沖擊現(xiàn)象的影響，探討機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性與混沌現(xiàn)象間關(guān)系，并分析增設(shè)彈簧對(duì)機(jī)構(gòu)沖擊現(xiàn)象的影響，以期對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究有所深化，為研制高效、高速和穩(wěn)定的并聯(lián)裝備提供理論依據(jù)與技術(shù)支撐。

1 轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙中的接觸力分析

(1)

其單位矢量為

n=e/e

(2)

圖1 轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙模型Fig.1 Gap model of the rotation pair

(3)

式中:Ri、Rj分別為軸承與軸的半徑。

式(3)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得碰撞點(diǎn)速度為

(4)

將碰撞點(diǎn)的相對(duì)速度投影到碰撞平面的切向和法向平面，可得相對(duì)的法向速度vn和切向速度vt，其標(biāo)量形式為

(5)

式中:切向矢量t可以通過(guò)將n逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°獲得。

軸承和軸的穿透深度為

δ=e-c

(6)

式中:c為半徑間隙，且c=Ri-Rj。當(dāng)δ為正值時(shí)，軸承與軸接觸，反之，軸承與軸沒有接觸。

碰撞過(guò)程中必然產(chǎn)生碰撞力，導(dǎo)致一定的沖擊、振動(dòng)，從而對(duì)機(jī)構(gòu)的性能造成不利影響。因此，采用一種合適的接觸力模型來(lái)估算碰撞過(guò)程中的碰撞力非常重要。本文選用Lankarani-Nikravesh接觸力模型[22]，該模型既考慮了碰撞過(guò)程中的能量損失，又較全面地考慮了碰撞體的材料屬性、局部彈性變形以及碰撞速度等信息[23]，廣泛用于含間隙機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析。軸對(duì)軸承的法向接觸力的表達(dá)式為

(8)

(9)

式中:cf為摩擦因數(shù)；v0、v1為給定的速度界限。

該法則可以防止切向接觸力的方向突變，從而有利于數(shù)值積分的穩(wěn)定。

軸對(duì)軸承的碰撞力可表示為

(10)

式中: fix、fiy分別為軸對(duì)軸承的碰撞力在X方向和Y方向上的分量。

2 含間隙RU-RPR解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

2.1 RU-RPR解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)組成

RU-RPR兩轉(zhuǎn)動(dòng)解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖2所示，該機(jī)構(gòu)由定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)以及連接兩平臺(tái)的兩條支鏈組成，從定平臺(tái)到動(dòng)平臺(tái)，第一條分支鏈依次由轉(zhuǎn)動(dòng)副和虎克鉸相連，第二條分支鏈依次由轉(zhuǎn)動(dòng)副、移動(dòng)副和轉(zhuǎn)動(dòng)副相連。其中，第二條分支中移動(dòng)副的移動(dòng)方向垂直于該分支兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線，兩分支中與固定平臺(tái)相連的兩轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線相互平行且與虎克鉸的一條軸線平行，虎克鉸的另一條軸線與第二分支中與動(dòng)平臺(tái)相連的轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線重合。

圖2 RU-RPR兩轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)組成示意圖Fig.2 Composition schematic of RU-RPR 2-DOF rotational parallel mechanism

在定平臺(tái)上固連定坐標(biāo)系O-XYZ，其中，坐標(biāo)原點(diǎn)O為與連線中點(diǎn)在定平臺(tái)平面的投影，Z軸豎直向上，Y軸與和定平臺(tái)相連的兩轉(zhuǎn)動(dòng)副A、D軸線垂直并指向A；在動(dòng)平臺(tái)上固連動(dòng)坐標(biāo)系o-xyz，其中，坐標(biāo)原點(diǎn)o建立在動(dòng)平臺(tái)幾何中心，y軸和分支2中與動(dòng)平臺(tái)相連的轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線共線，方向指向虎克鉸，z軸與動(dòng)平臺(tái)平面垂直，方向向上。機(jī)構(gòu)處于初始位置時(shí)，AB與BC共線。

以RU-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)第一分支的轉(zhuǎn)動(dòng)副A和第二分支與動(dòng)平臺(tái)相連的轉(zhuǎn)動(dòng)副C作為主動(dòng)副，θ與γ分別表示轉(zhuǎn)動(dòng)副A、轉(zhuǎn)動(dòng)副C的旋轉(zhuǎn)角度；α與β分別表示動(dòng)平臺(tái)繞動(dòng)坐標(biāo)系的z軸和y旋轉(zhuǎn)角度。

θ、γ為輸入角度，而α和β為輸出角度。顯見，θ與α一一對(duì)應(yīng)，而γ與β也是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以，RU-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)繞y軸和z軸的兩轉(zhuǎn)動(dòng)自由度即兩轉(zhuǎn)動(dòng)互不影響。因此，在研究轉(zhuǎn)動(dòng)副D處的間隙時(shí)，可暫不考慮機(jī)構(gòu)繞y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，而只考慮動(dòng)平臺(tái)繞z軸(鉛垂方向)的轉(zhuǎn)動(dòng)，故可將RU-RPR解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)視作一個(gè)平面四桿機(jī)構(gòu)，其等效機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖3所示。

圖3 含間隙RU-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)等效機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.3 Schematic diagram of equivalent agencies of RU-RPR parallel mechanism with clearance

2.2 含間隙RU-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析

如圖3所示，針對(duì)等效的含間隙RU-RPR解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)建立平面坐標(biāo)系X′O′Y′，并對(duì)后續(xù)動(dòng)力學(xué)分析所需相關(guān)參數(shù)定義如下：l1、θ1、J1分別表示桿AB的長(zhǎng)度、轉(zhuǎn)角以及對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)連接副A的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；l2、ls2、θ2、m2、Js2分別表示桿BC的長(zhǎng)度、質(zhì)心B0距運(yùn)動(dòng)副B的距離、轉(zhuǎn)角(與X′軸正向的夾角)、質(zhì)量以及對(duì)自身質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m3、ls3、Js3分別表示桿CE的質(zhì)量、質(zhì)心C0與C之間的距離以及對(duì)自身質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m4、ls4、Js4分別表示桿DE的質(zhì)量、質(zhì)心D0距運(yùn)動(dòng)副E的距離以及對(duì)自身質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；l表示CD之間的距離，l5表示機(jī)架的長(zhǎng)度；x,y分別表示間隙(圖中小圓表示軸，大圓表示軸承)的橫向、縱向分量，即軸和軸承間的橫向、縱向相對(duì)位移分量。

由于間隙的存在，此時(shí)該四桿機(jī)構(gòu)有三個(gè)自由度。設(shè)定機(jī)構(gòu)的廣義坐標(biāo)為：桿AB的轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ1，軸銷與軸承橫向相對(duì)位移x，軸銷與軸承的縱向相對(duì)位移y。通過(guò)引進(jìn)擾動(dòng)坐標(biāo)，建立含間隙解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

對(duì)無(wú)間隙四桿機(jī)構(gòu)，有如下的封閉方程

(11)

式中:θ20為無(wú)間隙機(jī)構(gòu)中BC桿轉(zhuǎn)角，l0為無(wú)間隙機(jī)構(gòu)中CD桿的長(zhǎng)度，cθ1=cosθ1，sθ1=sinθ1，其余類似。

對(duì)D處含一個(gè)間隙的四桿機(jī)構(gòu)，有如下封閉方程

(12)

利用擾動(dòng)坐標(biāo)法，含間隙機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)角均由無(wú)間隙機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)角加上一個(gè)小擾動(dòng)角構(gòu)成，桿長(zhǎng)度由無(wú)間隙機(jī)構(gòu)的長(zhǎng)度加上一個(gè)小的擾動(dòng)長(zhǎng)度構(gòu)成。于是有

(13)

將式(13)代入式(12)中，根據(jù)三角公式和等價(jià)無(wú)窮小概念化簡(jiǎn)，可得

(14)

聯(lián)立式(11)和式(14)，得

(15)

則式(15)可簡(jiǎn)化為

(16)

整個(gè)RU-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)能T及勢(shì)能V分別為

(17)

式中:F=Js2+m2ls22+Js3+m3l22+Js4+m3ls32+m4ls42，G=m3l1l2+m2l1ls2。

拉格朗日函數(shù)為

L=T-V

(18)

進(jìn)而，拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程可表示為

(19)

式中:Qj表示非保守系統(tǒng)中對(duì)應(yīng)廣義坐標(biāo)qj的廣義力，可以表示為

(20)

式中:Fi和Mi分別為作用在物體i質(zhì)心的外力、外力矩，ri、φi分別為物體i質(zhì)心的移動(dòng)位移和轉(zhuǎn)動(dòng)角度。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，需要加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)課程的策略改革，創(chuàng)新教學(xué)方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生積極進(jìn)行學(xué)習(xí)活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)能力的培養(yǎng)。

由式(20)，廣義力可以表示為

(21)

將式(18)、式(21)代入式(19)，可得

(22)

(23)

式中:

3 含間隙RU-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)數(shù)值仿真

機(jī)構(gòu)中軸承與軸之間存在碰撞與非碰撞兩種狀態(tài)，而在分析每次碰撞的初始碰撞速度及碰撞面的方向時(shí)，精確的檢測(cè)出碰撞點(diǎn)至關(guān)重要。已知軸承與軸發(fā)生碰撞的條件為

δ(tn)δ(tn+1)≤0

(24)

則在時(shí)間間隔tn與tn+1之間至少發(fā)生一次碰撞。碰撞時(shí)間非常短暫，故為保證計(jì)算效率與精度，采用變步長(zhǎng)四階龍格庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值積分，當(dāng)碰撞深度大于積分誤差時(shí)，積分步長(zhǎng)設(shè)定為前一個(gè)步長(zhǎng)的一半，重新計(jì)算直至滿足誤差要求，本文借鑒文獻(xiàn)[25]中的方法來(lái)控制步長(zhǎng)。

式(23)包含兩個(gè)二階非線性方程，采用變步長(zhǎng)四階龍格庫(kù)塔法予以求解。機(jī)構(gòu)桿件形狀參見圖2，多選用長(zhǎng)方形和圓柱形，其材料為45鋼，則可得到RU-RPR機(jī)構(gòu)相關(guān)參數(shù)如下：

l1=130 mm，l2=308 mm，ls2=154 mm，ls3=80 mm，ls4=54 mm，l5=524 mm，J1=7.351×10-3kg·mm3，Js2=6.160×10-2kg·mm3，Js3=5.772×10-3kg·mm3，Js4=3.008×10-3kg·mm3，m2=8.516 kg，m3=1.161 kg，m4=1.405 kg。

機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真參數(shù)如表1所示，機(jī)構(gòu)初始時(shí)桿OB與桿BC共線，機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)角速度為ω=10π rad/s。選取計(jì)算了2個(gè)周期的仿真結(jié)果，機(jī)構(gòu)碰撞深度、接觸力和軸心軌跡分別如圖4(a)、圖4(b)和圖4(c)所示；圖4(d)為機(jī)構(gòu)Poincare映射圖，計(jì)算了500個(gè)映射點(diǎn)。Poincare映射[8]可以方便地進(jìn)行混沌辨識(shí)。Poincare映射上的一個(gè)點(diǎn)及少數(shù)離散點(diǎn)、閉合曲線、成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點(diǎn)分別表示系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)、擬周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)。

圖4(a)為軸承與軸之間的穿透深度，由圖4(a)可知，軸與軸承在分離和碰撞之間不斷變換，并非處于連續(xù)接觸的狀態(tài)。圖4(c)中軸心軌跡圖也可體現(xiàn)該特點(diǎn)(其中虛線圓表示軸承邊界，該圓以軸承為中心為圓心，以軸承半徑為半徑)。軸與軸承在不斷的分離與碰撞過(guò)程中，必然產(chǎn)生沖擊現(xiàn)象，而圖4(b)中高頻振蕩的接觸力曲線也印證了此現(xiàn)象，且圖4(a)中穿透深度振蕩的時(shí)間點(diǎn)與圖4(b)中接觸力振蕩的時(shí)間點(diǎn)是一致的。圖4(d)中間隙處相對(duì)位移x與相對(duì)位移y的Poincare映射為具有一定的規(guī)律的密集點(diǎn)，表現(xiàn)為混沌狀態(tài)。

表1 RU-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真參數(shù)

圖4 含間隙RU-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)Fig.4 Dynamic responses of RU-RPR parallel mechanism with clearance

4 RU-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性參數(shù)影響分析

驅(qū)動(dòng)速度以及摩擦因數(shù)是影響機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能的重要因素。如下將根據(jù)接觸力、軸心軌跡以及Poincare映射分析不同的驅(qū)動(dòng)速度及不同的摩擦因數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)中沖擊現(xiàn)象的影響，同時(shí)探討機(jī)構(gòu)穩(wěn)定性與沖擊現(xiàn)象的相互關(guān)系。

首先依據(jù)表1所列參數(shù)，參照前述仿真方法，依次取驅(qū)動(dòng)速度為2π rad/s、8π rad/s、20π rad/s、40π rad/s，所得相應(yīng)的機(jī)構(gòu)接觸力、軸心軌跡及Poincare映射分別如圖5～圖7所示。

圖5 不同驅(qū)動(dòng)速度下RU-RPR機(jī)構(gòu)的接觸力Fig.5 Contact forces of RU-RPR mechanism at different driving speeds

由圖5可看出，隨著驅(qū)動(dòng)速度的增加，接觸力曲線的峰值增大，意味著隨著驅(qū)動(dòng)速度的增大，軸與軸承之間的穿透深度更大，軸與軸承之間的沖擊現(xiàn)象更嚴(yán)重，圖6也體現(xiàn)了該特點(diǎn)。

圖6 不同驅(qū)動(dòng)速度下RU-RPR機(jī)構(gòu)的軸心軌跡圖Fig.6 Axle center trajectory diagrams of RU-RPR mechanism at different driving speeds

圖7表明，隨著驅(qū)動(dòng)速度的增大，機(jī)構(gòu)中的混沌現(xiàn)象減弱，甚至形成周期運(yùn)動(dòng)，機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性增強(qiáng)。而圖6顯示出在各種驅(qū)動(dòng)速度下，軸與軸承之間始終無(wú)法在整個(gè)運(yùn)動(dòng)階段連續(xù)接觸，即沖擊現(xiàn)象依然存在。由此說(shuō)明機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性與沖擊現(xiàn)象并沒有必然的聯(lián)系。

其次，令驅(qū)動(dòng)速度為5πrad/s，按摩擦系數(shù)依次取0.01、0.02、0.05、0.1四種情況，分析機(jī)構(gòu)接觸力、軸心軌跡及Poincare映射分別如圖8～圖10所示。

圖7 不同驅(qū)動(dòng)速度下RU-RPR機(jī)構(gòu)的Poincare映射Fig.7 Poincare mapping diagrams of RU-RPR mechanism at different driving speeds

圖8 不同摩擦系數(shù)下RU-RPR機(jī)構(gòu)的接觸力Fig.8 Contact forces of RU-RPR mechanism at different friction coefficients

由圖8可知，當(dāng)摩擦系數(shù)比較小時(shí)，接觸力的峰值隨著摩擦系數(shù)的增大而增大，沖擊現(xiàn)象更為嚴(yán)重；而當(dāng)摩擦系數(shù)較大時(shí)，隨著摩擦系數(shù)增大，接觸力的峰值幾乎不變，沖擊現(xiàn)象的程度基本保持穩(wěn)定。

圖10表明，摩擦系數(shù)越大，機(jī)構(gòu)中的混沌現(xiàn)象越弱，機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性增強(qiáng)；但是軸與軸承之間的沖擊碰撞依然存在(參見圖9)，也再次說(shuō)明機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性與沖擊現(xiàn)象間并不存在必然的聯(lián)系。

圖9 不同摩擦系數(shù)下RU-RPR機(jī)構(gòu)的軸心軌跡圖Fig.9 Axle center trajectory diagrams of RU-RPR mechanism at different friction coefficients

圖10 不同摩擦系數(shù)下RU-RPR機(jī)構(gòu)的Poincare映射Fig.10 Poincare mapping diagrams of RU-RPR mechanism at different friction coefficients

5 RU-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)間隙影響的控制

根據(jù)RU-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性參數(shù)影響分析，隨著驅(qū)動(dòng)速度或摩擦系數(shù)的增大，機(jī)構(gòu)中的混沌現(xiàn)象減弱，機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性增強(qiáng)，但軸與軸承之間始終無(wú)法連續(xù)接觸，沖擊現(xiàn)象依然存在，甚至更加嚴(yán)重，而這必將降低機(jī)構(gòu)的精度、壽命等，影響其正常工作。

故此，為減少軸與軸承之間的沖擊，考慮在桿DE的質(zhì)心與機(jī)架OD的幾何中心之間增加一個(gè)彈簧，如圖11所示。設(shè)彈簧原長(zhǎng)為L(zhǎng)s0，剛度系數(shù)為ks，伸長(zhǎng)后彈簧長(zhǎng)度為L(zhǎng)s，則增加彈簧后RU-RPR機(jī)構(gòu)的勢(shì)能為

(25)

圖11 增加彈簧后的RU-RPR機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.11 RU-RPR mechanism diagram after adding the spring

為了達(dá)到預(yù)期的效果，使彈簧始終處于拉伸狀態(tài)，且設(shè)定彈簧的原長(zhǎng)為0.15 m，剛度系數(shù)為1 000 N/m，驅(qū)動(dòng)速度ω=10π rad/s，其它動(dòng)力學(xué)參數(shù)參照表1，仿真結(jié)果如圖12所示。由圖12(a)可知，增加彈簧后，軸與軸承之間始終連續(xù)接觸，沒有發(fā)生沖擊現(xiàn)象，圖12(b)、(c)也說(shuō)明該特點(diǎn)。此外，對(duì)比圖12(b)與圖4(b)可知，增加彈簧后，接觸力波動(dòng)趨于平緩，且最大值由6 778降為1 629，降低了76%。圖12(d)則表明增加彈簧后，機(jī)構(gòu)中的混沌現(xiàn)象消失。

圖12 增設(shè)彈簧后RU-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)Fig.12 Dynamic responses of RU-RPR parallel mechanism after adding spring

6 結(jié) 論

(1)利用Lankarani-Nikravesh接觸力模型、修正的Coulomb摩擦力法則和拉格朗日方程建立了含間隙RU-RPR解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，借助變步長(zhǎng)四階龍格庫(kù)塔法予以求解，動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果表明RU-RPR機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)副中間隙的存在使得機(jī)構(gòu)在某種條件下存在混沌和沖擊現(xiàn)象。

(2)當(dāng)含間隙RU-RPR機(jī)構(gòu)中驅(qū)動(dòng)速度、摩擦系數(shù)增大時(shí)，機(jī)構(gòu)由混沌運(yùn)動(dòng)變?yōu)橹芷谶\(yùn)動(dòng)，即機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性提高，而沖擊現(xiàn)象依然存在，說(shuō)明機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性與沖擊現(xiàn)象并沒有必然的聯(lián)系，且通過(guò)增加彈簧并預(yù)緊能夠有效消除機(jī)構(gòu)中的沖擊現(xiàn)象，對(duì)高可靠性并聯(lián)裝備的設(shè)計(jì)與控制具有一定的理論參考意義和實(shí)踐應(yīng)用價(jià)值。

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Chaos andimpact phenomena of a RU-RPR decoupled parallel mechanism containing clearance

HOU Yulei1, WANG Yi1, JING Guoning1, ZENG Daxing1, QIU Xuesong1, LI Huijian2

(1. School of Mechanical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China;2. Key Laboratory of Mechanical Reliability for Heavy Equipments and Large Structures of Hebei Province, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)

For chaos and impact phenomena in a mechanism with clearance, taking a two-rotation decoupled parallel mechanism RU-RPR (R stands for a revolute pair, U stands for a Hooke joint, P stands for a translation pair) proposed independently as a study object, considering clearance existing in a kinematic pair, combining with Lankarani-Nikravesh contact force model and Lagrange equation, the dynamic equation of the mechanism was established, and its chaos and impact phenomena were studied. Then the influences of different driving speeds and friction coefficients on chaos and impact phenomena were analyzed, and the relationship between the stability of the mechanism and impact phenomenon was investigated at the same time. The influences of an additional spring on dynamic characteristics of the mechanism were analyzed. The results showed that when changing drive speed or friction coefficient, the impact phenomenon still exists, while the motion of the mechanism can be changed from chaotic motion to periodic one, the stability of the mechanism is enhanced; there is no necessary relation between the stability of the mechanism and its impact phenomenon, and the impact level can be significantly weakened by adding springs.

parallel mechanism; clearance; dynamics; chaos; impact

國(guó)家自然科學(xué)基金(51205339;51305384)；中國(guó)博士后科學(xué)基金(2013M541199)

2015-08-16 修改稿收到日期：2015-12-30

侯雨雷 男，博士后，教授，博士生導(dǎo)師，1980年生

李慧劍 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1980年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.01.032