尚慧琳， 張 濤， 文永蓬

(1. 上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 201418； 2. 上海工程技術(shù)大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院，上海 201620)

參數(shù)激勵(lì)驅(qū)動(dòng)微陀螺系統(tǒng)的非線性振動(dòng)特性研究

尚慧琳1， 張 濤1， 文永蓬2

(1. 上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 201418； 2. 上海工程技術(shù)大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院，上海 201620)

對于一類典型的切向梳齒驅(qū)動(dòng)型微陀螺,建立兩自由度、具有剛度立方非線性和參數(shù)激勵(lì)驅(qū)動(dòng)的微陀螺系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型?？紤]主參數(shù)共振和1∶1內(nèi)共振的情況，利用多尺度法獲得周期解的解析形式，并利用分岔理論，得到Hopf分岔?xiàng)l件，結(jié)合數(shù)值模擬系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，揭示系統(tǒng)參數(shù)對驅(qū)動(dòng)和檢測模態(tài)振幅和分岔行為的影響機(jī)制。研究結(jié)果表明，在1∶1內(nèi)共振和較大的載體角速度下，激勵(lì)頻率的變化容易引起微陀螺振動(dòng)系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)解、振幅跳躍現(xiàn)象和概周期響應(yīng)等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。

微陀螺；靜電力；主參數(shù)共振；多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象；振幅跳躍現(xiàn)象

靜電驅(qū)動(dòng)微陀螺是建立在微納米技術(shù)基礎(chǔ)上的靜電微慣性傳感器，是微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)的重要器件, 也是目前發(fā)展最快的MEMS產(chǎn)品之一[1-2]。其功能是測量運(yùn)動(dòng)物體的旋轉(zhuǎn)速度或旋轉(zhuǎn)角以應(yīng)用于慣性導(dǎo)航，驅(qū)動(dòng)和檢測方式分別為MEMS領(lǐng)域廣泛采用的靜電驅(qū)動(dòng)和電容檢測，具有廣泛的應(yīng)用前景[3]。

從20世紀(jì)80 年代后期開始，全世界各國相繼開展了對靜電驅(qū)動(dòng)微陀螺的研究，熱點(diǎn)集中在微陀螺的穩(wěn)定性和高精度方向[4-5]。早期采用的靜電驅(qū)動(dòng)微陀螺動(dòng)力學(xué)模型為集總參數(shù)系統(tǒng)模型，即兩自由度線性振動(dòng)系統(tǒng)模型，考慮線性阻尼和剛度，以及簡諧激勵(lì)靜電力，通過直接求解線性常微分方程研究微陀螺振動(dòng)特性。然而，微尺度效應(yīng)使得靜電驅(qū)動(dòng)微陀螺出現(xiàn)了許多宏觀機(jī)械結(jié)構(gòu)不具備的新的物理現(xiàn)象和特征，如力的非線性(靜電力[6-8]、彈性力和粘性力)，阻尼和剛度非線性、以及多場耦合等因素[9]。在設(shè)計(jì)中采用忽略這些非線性因素的系統(tǒng)模型，容易因無法準(zhǔn)確描述微慣性傳感器的振動(dòng)特性而造成微陀螺檢測的不準(zhǔn)確[10]。為此，越來越多的國內(nèi)外學(xué)者開始關(guān)注微陀螺的建模和非線性振動(dòng)特性研究[11-16]。羅躍生[11]考慮靜電吸引力和干擾力對硅微型梳狀線振動(dòng)驅(qū)動(dòng)式陀螺儀建立了活動(dòng)質(zhì)量中心在動(dòng)系中運(yùn)動(dòng)的兩自由度微分方程模型。KENIG等[12]考慮剛度非線性和參數(shù)激勵(lì)靜電力，建立了微陀螺兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)，數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在高維混沌。FRANCESCO等[13]針對一類音叉振動(dòng)式微機(jī)械陀螺的振動(dòng)模態(tài)建立了具有非線性壓膜阻尼，立方非線性剛度的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，通過數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)隨著驅(qū)動(dòng)電壓的變化，驅(qū)動(dòng)模態(tài)會(huì)發(fā)生概周期振動(dòng)和多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。李欣業(yè)等[14]建立了簡諧激勵(lì)靜電力、驅(qū)動(dòng)和檢測方向均具有三次剛度非線性的微陀螺系統(tǒng)，分析了主共振解的穩(wěn)定性,數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，并提出利用時(shí)滯反饋的方法來抑制系統(tǒng)Hopf分岔。盛平等[15]針對一類梳齒驅(qū)動(dòng)型微陀螺建立了具有三次剛度非線性和參數(shù)激勵(lì)靜電力的單自由度驅(qū)動(dòng)模態(tài)振動(dòng)系統(tǒng)模型，發(fā)現(xiàn)梳齒電容非線性因素會(huì)造成諧振頻率的漂移。文永蓬等[16]研究驅(qū)動(dòng)和檢測微彈性梁的非線性剛度對微陀螺輸出的影響，發(fā)現(xiàn)微陀螺振動(dòng)系統(tǒng)的檢測靈敏度和帶寬呈反比關(guān)系；微彈性梁的非線性剛度會(huì)使得載體角速度與檢測輸出呈非線性關(guān)系。

然而，以上研究大多采用的靜電力模型仍為簡諧力激勵(lì),也少見關(guān)于振幅跳躍現(xiàn)象機(jī)制的研究報(bào)道。事實(shí)上，無論平行板電容型靜電驅(qū)動(dòng)還是切向梳齒驅(qū)動(dòng)，其靜電力都分別與動(dòng)、靜極板的間距或交疊面積有關(guān)，因此應(yīng)主要體現(xiàn)為參數(shù)激勵(lì)驅(qū)動(dòng)。此外，振幅跳躍現(xiàn)象在宏觀結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)中非常常見，相關(guān)機(jī)理研究較多[17-21]，如研究Duffing系統(tǒng)中振幅跳躍現(xiàn)象的機(jī)制[18-19]和振幅跳躍現(xiàn)象在雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)的應(yīng)用[20-21]，而在微陀螺振動(dòng)系統(tǒng)中其行為機(jī)制卻未被深入理解。事實(shí)上，振幅跳躍現(xiàn)象對微陀螺的穩(wěn)定性和精度有著不容忽視的影響：振幅跳躍現(xiàn)象的出現(xiàn)意味著載體角速度稍有變動(dòng)，微陀螺檢測模態(tài)就會(huì)發(fā)生振幅突變，這是一種全局失穩(wěn)行為，對應(yīng)載體角速度和檢測模態(tài)振幅之間的線性關(guān)系不復(fù)存在，即微陀螺的測量穩(wěn)定性和精度遭到破壞。因此本文針對一類切向梳齒驅(qū)動(dòng)型振動(dòng)式微陀螺建立參數(shù)激勵(lì)振動(dòng)系統(tǒng)模型，分析設(shè)計(jì)參數(shù)和驅(qū)動(dòng)參數(shù)對驅(qū)動(dòng)和檢測模態(tài)響應(yīng)的影響規(guī)律，尤其是引起振幅跳躍和概周期振動(dòng)等復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的機(jī)制，從而為靜電驅(qū)動(dòng)微陀螺的設(shè)計(jì)和應(yīng)用提供一定的理論依據(jù)。

1 動(dòng)力學(xué)建模

圖1 切向梳齒驅(qū)動(dòng)型振動(dòng)式微陀螺結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of a non-interdigitated comb-finger actuated vibratory micro-gyroscope

圖2 切向梳齒驅(qū)動(dòng)型振動(dòng)式微陀螺簡化模型Fig.2 Simplified model of a non-interdigitated comb-finger actuated vibratory micro-gyroscope

當(dāng)微陀螺的載體繞Z軸以恒定角速度Ωz轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，考慮彈性元件自身的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于振動(dòng)元件質(zhì)量m，忽略不計(jì)，可采用兩自由度集總參數(shù)系統(tǒng)模型來描述微陀螺在X-Y平面內(nèi)的振動(dòng)特性?？紤]圖1中微陀螺的真空封裝環(huán)境，空氣阻尼與真空度有關(guān)，因此空氣阻尼相對較小，其非線性因素可以被忽略，可假設(shè)驅(qū)動(dòng)和檢測方向阻尼均為線性，Cx,Cy分別為驅(qū)動(dòng)和檢測方向的線性阻尼系數(shù)；為充分考慮微梁剛度的非線性，設(shè)Kx1,Ky1分別為驅(qū)動(dòng)和檢測方向的線性剛度系數(shù)，Kx3,Ky3分別為驅(qū)動(dòng)和檢測方向的立方非線性剛度系數(shù)。利用拉格朗日方程，可建立常見的微陀螺分析模型：

Fa(X,t)=-(r1X+r3X3)V2(t)

(2)

式中:r1和r3分別為線性和非線性靜電常數(shù)，與驅(qū)動(dòng)梳齒電容的設(shè)計(jì)參數(shù)，如齒數(shù)和幾何分布直接相關(guān)；V(t)為驅(qū)動(dòng)電壓，為時(shí)間t的函數(shù)，為了方便研究參數(shù)激勵(lì)的影響，并充分考慮交流電壓的作用，這里將驅(qū)動(dòng)電壓表示為

(3)

式中:VA為交流電壓幅值，ω0為頻率。

為了簡化動(dòng)力學(xué)模型(1)，設(shè)

(4)

對式(1)進(jìn)行整理，得到

(5)

考慮在驅(qū)動(dòng)和檢測方向上Ky3=Kx3,Cy=Cx，則系統(tǒng)式(5)成為

(6)

其物理參數(shù)取值如表1所示[6]。

表1 微陀螺物理參數(shù)值

2 動(dòng)力學(xué)分析

本節(jié)主要求解和分析系統(tǒng)(6)的周期響應(yīng)。首先，考慮系統(tǒng)的主參數(shù)共振和1∶1內(nèi)共振情況，設(shè)

(7)

式中:σ1和σ2分別為驅(qū)動(dòng)和檢測方向的調(diào)諧參數(shù)，0<ε?1。對變量重新標(biāo)度如下：

(8)

則系統(tǒng)(6)成為

X″+X=ε2γ2X+2εγY′-εμX′-εkX3-εσ1X+
(εβ1X+εβ3X3)(1+cos(2T))

Y″+Y=ε2γ2Y-2εγX′-εμY′-εkY3-εσ2Y

(9)

為得到系統(tǒng)(9)的近似周期響應(yīng)，設(shè)方程的攝動(dòng)解形式為

式中:T0=T為快變時(shí)間尺度，T1=εT為慢變時(shí)間尺度。采用多尺度法對系統(tǒng)進(jìn)行攝動(dòng)，為使驅(qū)動(dòng)和檢測模態(tài)位移解不出現(xiàn)久期項(xiàng)，對比(ε0)和(ε1)系數(shù)，得到

(11)

和

(12)

對應(yīng)式(12)右側(cè)為零，可得到關(guān)于驅(qū)動(dòng)和檢測模態(tài)振幅a1,b1和相位角ψ1,ψ2的方程

(13)

消去式(13)中的ψ1和ψ2，可得到微陀螺系統(tǒng)關(guān)于振幅a1和b1的分岔方程

(14)

由式(11)和(14)即可確定系統(tǒng)(9)的近似周期解。以下分析解的穩(wěn)定性。若周期解對應(yīng)的特征方程

λ4+2μλ3+g2λ2+g1λ+g0=0

(15)

具有正實(shí)部的根，則該周期解不穩(wěn)定，其中

(16)

因此，周期解產(chǎn)生Hopf分岔的臨界條件為式(15)有一對純虛根。在此設(shè)這對純虛根λ=±iφ，代入(15)式，分離實(shí)虛部并化簡，得到：

φ4-g2φ2+g0=0, -2μφ2+g1=0

(17)

由式(17)消去φ，則得到周期解產(chǎn)生Hopf分岔的系統(tǒng)參數(shù)條件，即

(18)

3 系統(tǒng)參數(shù)對響應(yīng)的影響

本節(jié)主要討論各系統(tǒng)參數(shù)對微陀螺振動(dòng)系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)和檢測模態(tài)響應(yīng)的影響。根據(jù)上節(jié)的式(10)和(13)可得到各系統(tǒng)參數(shù)所引起驅(qū)動(dòng)和檢測模態(tài)的響應(yīng)曲線，其中周期解支的穩(wěn)定性判斷可根據(jù)式(15)和(16)，Hopf分岔點(diǎn)由(18)式得到。解析分析結(jié)果由數(shù)值模擬系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行驗(yàn)證。

給定載體的角速度，取ε=0.01，則驅(qū)動(dòng)和檢測方向的幅頻響應(yīng)如圖3和圖4所示。由圖3和4可知，系統(tǒng)在共振點(diǎn)附近響應(yīng)幅值較大，對應(yīng)輸出信號會(huì)比較明顯，有利于檢測。其中虛線部分代表近似周期解的失穩(wěn)區(qū)域，很明顯，失穩(wěn)區(qū)域是幅頻特性曲線上多解情況的中間解支，即幅頻特性曲線上兩個(gè)垂直切線點(diǎn)之間的虛曲線部分。在圖3中，當(dāng)σ1在2.40～3.08區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)出現(xiàn)多解和跳躍現(xiàn)象；在圖4中，當(dāng)σ2在-2.47～-1.13區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)出現(xiàn)多穩(wěn)態(tài)解和跳躍現(xiàn)象，數(shù)值模擬也驗(yàn)證了該現(xiàn)象，從圖上可以看出一次近似解與數(shù)值模擬結(jié)果非常吻合。根據(jù)圖3和4，當(dāng)σ1>0和σ2<0時(shí)，即主參數(shù)共振條件下，當(dāng)驅(qū)動(dòng)模態(tài)固有頻率ω1，激勵(lì)頻率ω0和檢測模態(tài)固有頻率ω2滿足ω1>ω0/2>ω2時(shí)，系統(tǒng)可能出現(xiàn)多穩(wěn)態(tài)解和振幅跳躍現(xiàn)象。另外，在系統(tǒng)參數(shù)引起振幅跳躍現(xiàn)象之前，驅(qū)動(dòng)模態(tài)固有頻率的設(shè)計(jì)對檢測模態(tài)振幅影響非常微弱(見圖3(b))；類似地，檢測模態(tài)固有頻率對驅(qū)動(dòng)模態(tài)振幅的影響也非常微小(見圖4(a))。

圖3 σ2=-1,γ=0.18時(shí)系統(tǒng)(9)的幅頻響應(yīng) Fig.3 Amplitude-frequency responses of the system (9) for σ2=-1 and γ=0.18

圖4 σ1=2,γ=0.18時(shí)系統(tǒng)(9)的幅頻響應(yīng)Fig.4 Amplitude-frequency responses of the system (9) for σ1=2 and γ=0.18

圖5 σ1=2和σ2=-1時(shí)載體角速度對振動(dòng)響應(yīng)的影響Fig.5 Effects of the angular rate of substrate on the vibrating responses for σ1=2 and σ2=-1

載體角速度對微陀螺振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)的影響如圖5和圖6所示。根據(jù)圖5，對應(yīng)較小的載體角速度下(即0<γ<0.110)，驅(qū)動(dòng)模態(tài)振幅受載體角速度影響較小(見圖5(a))，且檢測模態(tài)振幅與載體角速度呈線性關(guān)系，斜率為2.41(見圖5(b))，這一點(diǎn)完全符合微陀螺的工作原理；但當(dāng)載體角速度繼續(xù)增大時(shí)(0.110≤γ≤0.153)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)多穩(wěn)態(tài)解和振幅跳躍現(xiàn)象。在一個(gè)正的驅(qū)動(dòng)方向調(diào)諧參數(shù)下，不同載體角速度對應(yīng)的系統(tǒng)(9)的幅頻曲線如圖6所示，由圖6，在主參數(shù)共振情況下，在較小的載體角速度下系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線是連續(xù)的，如圖6(a)中γ=0.05和γ=0.08兩條曲線，不出現(xiàn)多解和振幅跳躍現(xiàn)象；載體角速度較大時(shí)才會(huì)產(chǎn)生多解和振幅跳躍現(xiàn)象，這與圖5得到的結(jié)論相吻合，也與工程實(shí)際情況相一致。綜合圖5和圖6，微陀螺正常工作存在一定的載體角速度范圍，超出這個(gè)范圍，即使微陀螺振動(dòng)系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)和檢測模態(tài)有周期響應(yīng)，仍會(huì)出現(xiàn)振幅跳躍現(xiàn)象。

圖6 σ1=2時(shí)不同載體角速度下系統(tǒng)(9)的幅頻響應(yīng)Fig.6 Amplitude-frequency responses of the system (9) under different values of angular rate of substrate when σ1=2

另外，考慮載體角速度較大、驅(qū)動(dòng)模態(tài)固有頻率偏離共振點(diǎn)，且頻率關(guān)系仍滿足ω1>ω0/2>ω2的情況。如當(dāng)σ1=15,σ2=-1和γ=0.18時(shí)，系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)和檢測模態(tài)響應(yīng)見圖7。由時(shí)間歷程圖可知，系統(tǒng)發(fā)生了概周期振動(dòng)。

圖7 系統(tǒng)(1)的復(fù)雜響應(yīng)Fig.7 Complex response of the system (1)

4 結(jié) 論

以一類典型的切向梳齒驅(qū)動(dòng)型振動(dòng)式微陀螺為研究對象，建立兩自由度、具有剛度立方非線性和參數(shù)激勵(lì)的振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，運(yùn)用多尺度法和分岔理論，結(jié)合數(shù)值驗(yàn)證，分析系統(tǒng)各參數(shù)對微陀螺驅(qū)動(dòng)和檢測模態(tài)的影響。得到以下主要結(jié)論：

(1)主參數(shù)共振和1∶1內(nèi)共振情況下，驅(qū)動(dòng)模態(tài)振幅較大，輸出信號較明顯，便于檢測。

(2)在系統(tǒng)參數(shù)引起多穩(wěn)態(tài)和振動(dòng)跳躍現(xiàn)象前，驅(qū)動(dòng)模態(tài)固有頻率對檢測模態(tài)振幅的影響，以及檢測模態(tài)固有頻率對驅(qū)動(dòng)模態(tài)振幅的影響都非常微弱。

(3)主參數(shù)共振和1∶1內(nèi)共振的情況下，即微陀螺的驅(qū)動(dòng)模態(tài)固有頻率ω1，檢測模態(tài)固有頻率ω2和激勵(lì)頻率ω0之比接近1∶1∶2時(shí)，若滿足ω1>ω0/2>ω2，那么在較大的載體角速度下，微陀螺系統(tǒng)容易出現(xiàn)多穩(wěn)態(tài)解和振幅跳躍現(xiàn)象；而在較小的旋轉(zhuǎn)載體角速度下，系統(tǒng)不發(fā)生多解和振幅跳躍現(xiàn)象，且檢測模態(tài)振幅與載體角速度呈線性關(guān)系，微陀螺檢測精度較高。

(4)當(dāng)驅(qū)動(dòng)模態(tài)固有頻率偏離主參數(shù)共振點(diǎn)，載體角速度的增大容易引起微陀螺振動(dòng)系統(tǒng)的概周期響應(yīng)。

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Nonlinear vibration behaviors of a micro-gyroscope system actuated by a parametric excitation

SHANG Huilin1, ZHANG Tao1, WEN Yongpeng2

(1.School of Mechanical Engineering, Shanghai Institute of Technology, Shanghai 201418, China;2.College of Urban Railway Transportation, Shanghai University of EngineeringTechnology, Shanghai 201620, China)

For a typical non-interdigitated comb-finger actuated micro-gyroscope, a 2-DOF dynamic model with cubic nonlinear stiffness and parametric excitation was established. For the principal parametric resonance case and 1:1 internal resonance, the periodic solutions were obtained with the multi-scale method. Conditions of Hopf bifurcation of the periodic solutions were derived according to the theory of bifurcation. Then the dynamic responses of the system were simulated. Finally, the effect mechanism of the system’s parameters on the modal amplitudes and bifurcation behaviors was analyzed. It was shown that the variation of the excitation frequency is easy to cause various complex dynamic behaviors of the microgyroscope vibrating system, such as, multi-stable solution, amplitude jump phenomena and quasi-periodic responses under a large angular speed of the carrier and 1:1 internal resonance.

micro-gyroscope; electrostatic force; principal parametric resonance; multi-stable solution; amplitude jump phenomenon

國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(11472176);上海市自然科學(xué)基金(15ZR1419200)

2016-01-13 修改稿收到日期：2016-05-10

尚慧琳 女，副教授，1983年3月生

TH113.1; O327

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.01.015