孫 霽 Alain Content 孫 沛

（1清華大學(xué)心理學(xué)系，北京 100084；2安順學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院，安順 561000；3比利時布魯塞爾自由大學(xué)，布魯塞爾 B-1050）

數(shù)量表征和韋伯—費希納定律：應(yīng)用及發(fā)展

孫 霽1，2Alain Content3孫 沛1

（1清華大學(xué)心理學(xué)系，北京 100084；2安順學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院，安順 561000；3比利時布魯塞爾自由大學(xué)，布魯塞爾 B-1050）

數(shù)量表征是人類與動物最重要的認(rèn)知能力之一。長期以來對于數(shù)量表征的模式存在爭論，部分研究者認(rèn)為人類表征數(shù)量的方式具有符號的、離散的性質(zhì)；而另一些研究者則認(rèn)為，數(shù)量表征同其他物理刺激的表征一樣，具有類比的、連續(xù)的性質(zhì)。該研究從心理物理學(xué)角度考察該問題，提出數(shù)量表征在行為表現(xiàn)上遵循韋伯—費希納定律；不同發(fā)展階段中個體的數(shù)量表征行為均遵循韋伯定律；在神經(jīng)表達(dá)上表現(xiàn)為具有韋伯—費希納定律特征的對數(shù)或線性模型。通過總結(jié)已有研究結(jié)果，該研究有力地支持?jǐn)?shù)量表征具有連續(xù)的性質(zhì)。這也為研究其它類似性質(zhì)的高階認(rèn)知表征提供了一種新的研究思路。

數(shù)量表征；韋伯—費希納定律；感知覺表征

數(shù)量表征（numerical representation）是與特定數(shù)量相聯(lián)系的心理表征，它是人類與動物所共有的能力［1］。 作為核心知識系統(tǒng)之一［2］，數(shù)量表征對于個體生存具有至關(guān)重要的作用，是進(jìn)化過程保留下來的重要認(rèn)知能力。數(shù)量表征已成為當(dāng)前心理學(xué)研究領(lǐng)域的熱點，其中研究者最為關(guān)注的問題之一是，數(shù)量是如何被個體表征的，也即數(shù)量表征的性質(zhì)問題。不少研究者相繼對這一基本問題進(jìn)行了探討。

1 數(shù)量表征性質(zhì)問題研究概況

研究者將表征的類型分為兩種：連續(xù)型表征（continuous representations） 和離散型表征（discrete representations）［3］。 對于數(shù)量表征而言，一些研究者認(rèn)為數(shù)量表征是離散型表征，具有語言的抽象性，在大腦中的表征應(yīng)該保留著語言的離散性質(zhì)［4］。例如，對嬰兒數(shù)量表征的研究發(fā)現(xiàn)，不論刺激集合（set）的具體內(nèi)容是什么，他們往往使用一個標(biāo)記來表示擁有一個刺激元素的集合，如“■”；而用“■■”表示擁有兩個刺激元素的集合，其他數(shù)量集合依此類推。Leslie，Gallistel和Gelman認(rèn)為這是由于個體生來就具有一個對應(yīng)于整數(shù)1的內(nèi)部符號，并能通過先天的后繼函數(shù)（successor function）將其擴(kuò)展至其他正整數(shù)［4］。也有研究者據(jù)此提出了數(shù)量表征的累積器模型，認(rèn)為嬰兒會對集合中的每一個元素進(jìn)行標(biāo)記，并以脈沖的形式在累積器中進(jìn)行疊加，雖然存在誤差，但最終累積器中的數(shù)量與集合中的元素總量近似相等［5］。另一些研究者支持?jǐn)?shù)量表征具有連續(xù)性質(zhì)，是獨立于語言的心理量級系統(tǒng)［6，7］。 Wynn 對嬰兒的數(shù)量表征研究發(fā)現(xiàn)，嬰兒是在對數(shù)量的連續(xù)性表征基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，其表現(xiàn)在對包含兩個元素的集合和三個元素的集合進(jìn)行反應(yīng)時會出現(xiàn)延遲現(xiàn)象，而在對一個元素的集合和兩個元素集合進(jìn)行反應(yīng)時則沒有延遲的現(xiàn)象［6］。

總體來說，不管是數(shù)量表征具有離散性質(zhì)還是連續(xù)性質(zhì)的觀點都有相應(yīng)的證據(jù)支持，雖然已有不同領(lǐng)域的研究對此問題進(jìn)行了探討［8-10］，但尚無定論。而且已有研究多從實證研究的角度出發(fā)，從理論出發(fā)對已有研究證據(jù)進(jìn)行提煉和總結(jié)的還較少。

2 心理物理法和數(shù)量表征性質(zhì)問題

心理物理學(xué)的核心概念之一就是 “比例加工”（proportional processing）機(jī)制［11］。不管人類還是動物最為基本的能力是對物理刺激進(jìn)行感知覺加工和比較，其遵循的基本原則正是比例加工機(jī)制，也即依賴于刺激間的相對差異，而非刺激間的絕對差異。例如，如果小孩想偷偷拿走盤中的一塊餅干，他會選擇在餅干數(shù)量多的盤子里拿，這樣做不易被發(fā)現(xiàn)。在動物界也能找到相應(yīng)的例子，如杜鵑鳥具有孵卵寄生性，在挑選寄生鳥巢時往往傾向于選擇鳥蛋多的巢穴，這樣做杜鵑鳥蛋就不易被發(fā)現(xiàn)［11］。

在心理物理學(xué)中，反映比例加工機(jī)制的是著名的韋伯—費希納定律（以下簡稱：韋伯定律）。其表達(dá)式為S＝KlgR，其中S是感覺強(qiáng)度，R是刺激強(qiáng)度，K是常數(shù)，其表明心理量是刺激量的對數(shù)函數(shù)，即當(dāng)刺激強(qiáng)度以幾何級數(shù)增加時，感覺的強(qiáng)度應(yīng)該以算術(shù)級數(shù)增加。對于大部分感知覺刺激來說，其行為表現(xiàn)均遵循韋伯定律［12，13］。韋伯定律的性質(zhì)決定其描述的是物理量與心理量之間對應(yīng)關(guān)系的連續(xù)變化［14］。因此，一般情況下，如果個體某種感覺系統(tǒng)符合韋伯定律，則對該感覺刺激的表征一定是連續(xù)的。

盡管數(shù)量表征過程屬于高階認(rèn)知加工［15］，但在某種程度上仍具有感知覺的性質(zhì)［7］，其相關(guān)腦區(qū)也涉及初級感知覺皮層［16］，因此可以通過將數(shù)量表征與感知覺表征的性質(zhì)進(jìn)行類推來解決上述問題。對數(shù)量表征連續(xù)性的探討，可以轉(zhuǎn)化為是否遵循韋伯定律的探討。

當(dāng)然，回答這一問題的關(guān)鍵在于如何提供全面的證據(jù)［11］。借鑒 Portugal和 Svaiter的研究思路［17］，可以假設(shè)：首先，從行為層面上看，數(shù)量表征的外部行為表現(xiàn)應(yīng)該遵循韋伯定律；其次，在個體發(fā)展的不同階段，其行為遵循韋伯定律，反過來，韋伯系數(shù)也能反映個體的發(fā)展水平；第三，數(shù)量表征在大腦中的神經(jīng)表達(dá)應(yīng)該遵循韋伯定律。如果上述三方面證據(jù)得到滿足，在某種程度上就可以支持?jǐn)?shù)量表征遵循韋伯定律，具有連續(xù)性質(zhì)的觀點。因此，為了探討數(shù)量表征的性質(zhì)，可以從上述三個角度對數(shù)量表征的已有研究進(jìn)行梳理和總結(jié)，嘗試說明數(shù)量表征與韋伯—費希納定律之間的關(guān)系。

2．1 數(shù)量表征行為表現(xiàn)遵循韋伯定律

早期研究者發(fā)現(xiàn)，個體的數(shù)量表征表現(xiàn)出與感覺系統(tǒng)一樣的典型心理物理特征：距離效應(yīng)（distance effect，數(shù)量間距離越大，數(shù)量比較的反應(yīng)時越短、正確率越高）和大小效應(yīng)（size effect，數(shù)量間距離相等的情況下，數(shù)量越小，數(shù)量比較的反應(yīng)時越短、正確率越高）［18］。這表明個體進(jìn)行數(shù)量比較的正確率受數(shù)量間的比例所調(diào)節(jié)，遵循韋伯定律。后續(xù)研究者在不同的語言環(huán)境和數(shù)字形式條件下均重復(fù)得到了這兩種效應(yīng)［19，20］。其中最為有力的證據(jù)來自對語言系統(tǒng)中數(shù)量詞較少的原始部落人群的數(shù)量表征能力的研究［21，22］。 如，巴西本土的毗拉哈人（the Piraha）的語言中只有表示“一”“二”和“許多”（many）的詞語，并且不懂?dāng)?shù)學(xué)計算，但在進(jìn)行數(shù)量匹配任務(wù)時，其行為正確率很高，而且表現(xiàn)出了距離效應(yīng)和大小效應(yīng)。研究者據(jù)此提出人類的數(shù)量表征不依賴于語言，并遵循韋伯定律。研究者在動物研究中得到了相似的結(jié)果。Flombaum等人對未經(jīng)過訓(xùn)練的猴子進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)猴子只能對大集合進(jìn)行加法運(yùn)算，并且在刺激與其增量達(dá)到一定比率的條件下才能意識到數(shù)量的差異［23］。而Cantlon和Brannon將動物和人類的數(shù)量表征能力進(jìn)行了比較［24］。他們讓猴子和成人被試做相同的數(shù)量比較任務(wù)，在實驗的每一個試次中，要求被試在同時呈現(xiàn)的兩個點陣列中選出數(shù)量最少的那一個，同時控制材料的非數(shù)量物理特征，如點的大小和陣列的密度。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，成人被試與動物被試的行為表現(xiàn)驚人的相似，其正確率與反應(yīng)時間都受到兩個點陣列數(shù)量值之間比率的影響。在動物與人類的數(shù)量表征任務(wù)研究中取得的相似結(jié)果意味著人類與動物可能有著共同的數(shù)量表征模式，其特征是依賴于刺激間的比例并遵循韋伯定律。

上述研究從不同的角度表明數(shù)量表征在行為表現(xiàn)上符合韋伯定律，但是這些行為層面的發(fā)現(xiàn)并不構(gòu)成判斷數(shù)量為連續(xù)表征的充分條件，還需要有其它方面的證據(jù)，尤其是發(fā)生和發(fā)展層面上的實驗證據(jù)。

2．2 數(shù)量表征能力的發(fā)展遵循韋伯定律

大量的研究表明，嬰兒在人生的第一年里就能表征數(shù)量，而且其行為表現(xiàn)遵循韋伯定律。如，Xu和Spelke使用視覺抑制范式研究嬰兒的數(shù)量表征能力［25］。他們給6個月大的嬰兒重復(fù)呈現(xiàn)一系列圖片，其中包含數(shù)量相同的物體，直至嬰兒注視圖片的時間顯著減少。然后向嬰兒呈現(xiàn)一系列新的圖片，可能包含相同數(shù)量的物體或不同數(shù)量的物體。當(dāng)新圖片的數(shù)量與舊圖片的數(shù)量呈一定比例時，嬰兒會花更長的時間看新圖片。后續(xù)研究發(fā)現(xiàn)，隨著個體的成長，其數(shù)量辨別的能力得以提高，以韋伯系數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)能夠有效地觀測出這一變化。6個月大嬰兒能分辨1∶2比例下的數(shù)量差別。9個月大嬰兒能分辨2∶3比例下的數(shù)量差別［26，27］。 3 歲、4 歲、5 歲、6 歲兒童及成人的數(shù)量表征的韋伯系數(shù)也不同［28］?？傮w看來，數(shù)量表征敏銳度在嬰兒和幼兒期發(fā)展迅速，之后會緩慢增長直至30歲［29］。用韋伯系數(shù)作為數(shù)量表征能力標(biāo)準(zhǔn)還得到了相關(guān)研究的支持。很多研究者發(fā)現(xiàn)使用韋伯系數(shù)作為指標(biāo)，可以有效檢驗數(shù)量表征能力與個體數(shù)學(xué)表現(xiàn)的關(guān)系［30，31］。后續(xù)元分析研究也得到了積極結(jié)果，認(rèn)為韋伯系數(shù)與個體數(shù)學(xué)成績有關(guān)，并且在控制非數(shù)量表征因素（如IQ、空間能力和工作記憶等）之后相關(guān)仍然存在［32］。

除正常人群外，研究者發(fā)現(xiàn)有計算障礙等異常心理現(xiàn)象的個體行為表現(xiàn)也遵循韋伯定律，只是其韋伯系數(shù)與正常人有顯著差異［33］。Piazza等發(fā)現(xiàn)正常兒童的數(shù)量表征敏銳度會隨年齡增加而提高，但有計算障礙的兒童的數(shù)量表征敏銳度則遠(yuǎn)低于正常兒童的水平，而且在數(shù)量表征敏銳度上的損傷程度還能夠預(yù)測個體在符號數(shù)學(xué)運(yùn)算中的成績［34］。通過對韋伯系數(shù)的測量，可以幫助家長、老師等盡早識別出數(shù)量能力發(fā)展異常的個體，及時給予相應(yīng)的訓(xùn)練和指導(dǎo)，幫助他們提升自身的能力。

上述有關(guān)數(shù)量表征的發(fā)展心理學(xué)研究從另外一個層面支持了數(shù)量表征遵循韋伯定律的判斷，但作為行為結(jié)果同樣不夠充分，因此應(yīng)該從神經(jīng)表達(dá)層面尋找更為直接的證據(jù)。

2．3 數(shù)量表征的神經(jīng)表達(dá)遵循韋伯定律

低階感知覺連續(xù)表征的一個重要的生理基礎(chǔ)是在外周水平上廣泛存在的各類感受器，對于數(shù)量表征，尋找類似于初級感受器的神經(jīng)表達(dá)就成為判斷其是否為連續(xù)表征的關(guān)鍵證據(jù)。數(shù)量表征神經(jīng)生理基礎(chǔ)的突破性成果來自于2002年。Nieder以受過訓(xùn)練的猴子為對象，通過單細(xì)胞記錄方式研究動物的數(shù)量認(rèn)知，發(fā)現(xiàn)大腦聯(lián)合皮層（association cortices）存在一組特異神經(jīng)元［35］，后來研究者將這類神經(jīng)元稱為“數(shù)字神經(jīng)元（number neuron）”［36］。 Piazza 等在后續(xù)研究中發(fā)現(xiàn)人腦的頂內(nèi)溝水平區(qū)域 （the horizontal segment of the intraparietal sulcus， hIPS）和額區(qū)（frontal regions）中也存在數(shù)字神經(jīng)元［37］。

數(shù)字神經(jīng)元的發(fā)現(xiàn)促使研究者進(jìn)一步探討數(shù)字神經(jīng)元神經(jīng)表達(dá)的特點。Nieder和Miller發(fā)現(xiàn)動物單個數(shù)字神經(jīng)元的激活與呈現(xiàn)的視覺刺激數(shù)量有一致性，即神經(jīng)元會對某個“偏好數(shù)量（preferred numerosity）”表現(xiàn)出最大的激活［15］。 當(dāng)刺激數(shù)量離偏好數(shù)量越來越遠(yuǎn)時，神經(jīng)元的激活會逐漸降低。這一神經(jīng)反應(yīng)過程可用對數(shù)定律或冪定律擬合，而且最重要的是，改變刺激的外在物理屬性并不會影響數(shù)字神經(jīng)元的活動。研究者由此推論猴子的數(shù)量表征可能與感知覺表征一樣遵循心理物理學(xué)定律。在動物研究的基礎(chǔ)上，研究者對人類與動物的數(shù)量表征進(jìn)行對比研究，發(fā)現(xiàn)成人與動物的數(shù)量表征反應(yīng)十分接近，也遵循韋伯定律［38，39］。除了來自單個神經(jīng)元的實驗結(jié)果外，同樣的結(jié)果也可以表現(xiàn)在群體神經(jīng)元水平上［40，41］。

關(guān)于數(shù)量為連續(xù)表征最直接的證據(jù)來自于近期的人類大腦成像研究。Harvey等通過fMRI技術(shù)研究人類頂葉皮層上數(shù)量表征的結(jié)構(gòu)，采用連續(xù)刺激實驗范式，發(fā)現(xiàn)數(shù)量表征在大腦頂葉皮層上表現(xiàn)出按大小順序排列的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，這一結(jié)果在很大程度上支持?jǐn)?shù)字線理論，也即數(shù)量表征為連續(xù)性表達(dá)的觀點［16］。

盡管數(shù)量表征的神經(jīng)表達(dá)還有很多尚未清楚的機(jī)制等待研究者探索，但就目前所得到的研究結(jié)果來看，大多數(shù)研究者認(rèn)為數(shù)量表征作為一種高階認(rèn)知表征，在大腦中的表征具有連續(xù)性的特征，與外部物理世界之間存在連續(xù)的映射關(guān)系，很大程度上遵循韋伯定律。

3 總結(jié)與展望

有關(guān)數(shù)量表征模式的研究對理解人類數(shù)學(xué)能力的發(fā)展和教育干預(yù)有重要的作用。以往研究多以實驗研究為主，其支持證據(jù)散見于多種論著中。從心理物理學(xué)的角度出發(fā)，可以提出支持?jǐn)?shù)量表征與韋伯定律關(guān)系的有效證據(jù)：數(shù)量表征在行為層面上遵循韋伯定律；在發(fā)展層面上，不同發(fā)展階段中個體的數(shù)量表征行為均遵循韋伯定律；在神經(jīng)表達(dá)上，數(shù)量信息在大腦中表征是連續(xù)性的，其神經(jīng)表達(dá)遵循韋伯定律?；谏鲜鲎C據(jù)，可以支持?jǐn)?shù)量表征遵循韋伯定律，具有連續(xù)性質(zhì)的觀點。這與以往研究的觀點是一致的。如，Akre和Johnsen認(rèn)為，從生物進(jìn)化觀點看，韋伯定律所反映的生理機(jī)制具有適應(yīng)性意義，能夠促進(jìn)個體相應(yīng)行為的進(jìn)化［11］。作為人類與動物所共有的基本認(rèn)知能力，數(shù)量表征遵循韋伯定律有利于個體的進(jìn)化和繁衍。

當(dāng)前，研究者的興趣正從低階感知覺領(lǐng)域轉(zhuǎn)向高階認(rèn)知領(lǐng)域，但對高階認(rèn)知性質(zhì)的研究仍缺乏有效的手段，許多研究者試圖通過韋伯定律解決高階認(rèn)知表征性質(zhì)的問題，如，時間認(rèn)知［42］、價值認(rèn)知［43］等，上述總結(jié)正是這種思路的體現(xiàn)。盡管從心理物理學(xué)定律的角度研究高階認(rèn)知表征，并不能完全了解高階認(rèn)知表征的特性，但它提供一種嶄新的視角去探索高階認(rèn)知表征性質(zhì)，及其與低階感知覺表征的關(guān)系問題，這為以后的研究提供了一種新的思路。

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Abstract：Numerical representation is one of the most important cognitive abilities for human and animals．How the numerical representation is represented is unknown，with some researchers believe that numerical representation， mainly based on symbolic system， is discrete； In contrast， others argue that numerical representation， originated from continuous physical quantity， is continuous．This article summarizes earlier and recent findings that numerical representation follows Weber-Fechner Law from three aspects，namely in terms of behavioral， developmental and neural representation．These findings suggest that numerical representation obeys Weber-Fechner Law and is continuous，and broaden horizons of researching on other similar high-level cognitive representations．

Key words：numerical representation； Weber-Fechner Law； sense-perceptive representation

Studying Numerical Representation by Weber-Fechner Law

Sun Ji1，2， Alain Content3， Sun Pei1
（1 Department of Psychology， Tsinghua University， Beijing 100084； 2 School of Education Science，Anshun University， Anshun 561000； 3 Université Libre de Bruxelles， Bruxelles B-1050）

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孫沛，男，副教授，博士。 Email：peisun@tsinghua．edu．cn