王雪純

【摘 要】三角函數(shù)是一種重要的數(shù)學(xué)工具，其數(shù)形結(jié)合的思想使某些問題的解決大大簡化，利用其基本函數(shù)之間的巧妙關(guān)系所得到的結(jié)果往往令人驚嘆。從三角函數(shù)的一般內(nèi)涵和基本特性出發(fā)，可以分析得到幾種常見的三角函數(shù)類型；再由純數(shù)學(xué)問題延伸到具體工程問題，由此體現(xiàn)三角函數(shù)問題在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)；數(shù)形結(jié)合；應(yīng)用

科學(xué)源于實(shí)踐，亦將指導(dǎo)實(shí)踐。數(shù)學(xué)也是科學(xué)，任何一種數(shù)學(xué)方法都有它的實(shí)際應(yīng)用場合，三角函數(shù)作為一種常用的初等函數(shù)，應(yīng)用更是廣泛，而熟練應(yīng)用某種數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)在于首先掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)理論。從我們學(xué)生的角度而言，既要看到數(shù)學(xué)方法的實(shí)用性，更要懂得百煉方能成鋼的道理。

一、三角函數(shù)概述

（一）基本內(nèi)涵

眾所周知的是，三角函數(shù)為6大基本初等函數(shù)之一，在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，其基礎(chǔ)性和重要性不言而喻。一般認(rèn)為，三角函數(shù)包括正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，實(shí)際上從本質(zhì)上來看，要表示直角三角形三條邊長度的比例關(guān)系，基礎(chǔ)表達(dá)式只需要一個：正弦，另外五個都可依據(jù)正弦值進(jìn)行簡單的運(yùn)算而推導(dǎo)出來。如果考慮到任意角的三角函數(shù)，那需要兩個基礎(chǔ)表達(dá)式：正弦和余弦，以確定該角度對應(yīng)的終邊在哪個象限。在應(yīng)用三角函數(shù)解決問題時，合理利用不同三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，是其最基本的方法之一。

（二）函數(shù)特性

三角函數(shù)的多個基礎(chǔ)表達(dá)式之間可以靈活變換，這既是其基本內(nèi)涵，也是其函數(shù)特性之一。將某個三角函數(shù)單獨(dú)拿出來看，還可以挖掘更多的特性。

第一，周期性。無論正弦余弦、正切余切，還是正割余割，都是周期函數(shù)，這一特性是將三角函數(shù)拓展延伸的基礎(chǔ)。將函數(shù)圖像沿著坐標(biāo)橫軸平移，會產(chǎn)生相位的變化，這在物理學(xué)上對波的研究有重要意義。第二，三角函數(shù)表達(dá)式的三個基本特征量是：幅值、頻率、相位。抓住了這三個特征量，就抓住了分析三角函數(shù)的入口。第三，特定的定義域和值域。六個三角函數(shù)都有自己特定的定義域和值域，在求解三角函數(shù)問題時，需要特別關(guān)注其定義域和值域的限制。

二、三角函數(shù)問題的常見類型

（一）周期性及特征值問題

比較四個數(shù)的大小：

（二）表達(dá)式化簡問題

化簡表達(dá)式y(tǒng)=4+8sinxcosx+8cos2x-8cos4x。

這道化簡題并不難，但其原本的表達(dá)式很難直觀地看出該函數(shù)的性質(zhì)，為了便于分析，需要先進(jìn)行函數(shù)化簡。

y=4+4sin2x+8cos2x（1-cos2x）

=4+4sin2x+8cos2xsin2x

=4+4sin2x+2sin22x

=2（1+sin2x）2+2

經(jīng)過化簡，函數(shù)表達(dá)式變得異常簡單，十分容易在腦海中聯(lián)想出函數(shù)特性。

（三）極值問題

以上一題為例，求其極值。

sin2x的的值域是[-1，1]，帶入化簡后的表達(dá)式中，很容易得到函數(shù)y的極大值為2*（1+1）2+2=10，，極小值為2*（1-1）2+2=2.

（四）三角函數(shù)表達(dá)式構(gòu)建問題

如圖，要把一個圓形截面的木材切成矩形的，問怎樣切才能充分利用材料，使矩形截面積最大？

三、應(yīng)用延伸

前文說到對純數(shù)學(xué)問題的掌握是實(shí)際應(yīng)用的基礎(chǔ)，事實(shí)上，實(shí)際問題不僅僅在難度上更有挑戰(zhàn)性，在問題的條件取舍上也更有講究，沒有所謂的理想情況，但適當(dāng)?shù)暮喕瘲l件是有必要的，這不僅僅是針對于三角函數(shù)問題，所有的理論運(yùn)用于實(shí)踐時都需要經(jīng)過這樣的調(diào)整。

（一）建筑面積規(guī)劃

如圖是一塊正方形空地，邊長100米，扇形部分是一塊綠化地，半徑為90米，要在剩余空間中取一矩形部分作為停車區(qū)域，并使停車區(qū)域的一個邊界點(diǎn)落在扇形圓弧上，相鄰兩邊落在DC、BC邊上，問如何規(guī)劃可使停車區(qū)域面積最大？

得S=10000-9000t+8100*（t2-1）/2=4050（t-10/9）2+950，當(dāng)t=時，S取最大值，即當(dāng)？茲=？仔/4時，停車區(qū)域面積最大。

（二）力學(xué)問題

如圖，地面有一根30厘米長的木棒，其頂端受到一個水平向右的恒力T，可繞其下端C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，木棒左邊有個長20厘米的彈簧與木棒連接于A點(diǎn)，彈簧的另一端固定于地面，如果要使彈簧所受拉力最小，應(yīng)如何選取A點(diǎn)？

這兩個實(shí)際問題的應(yīng)用，都是將實(shí)際問題簡化后提取一個數(shù)學(xué)模型，并利用三角函數(shù)構(gòu)建表達(dá)式，然后在分析函數(shù)特性，求解其極值。

結(jié)論

關(guān)于三角函數(shù)的知識從初中起便已進(jìn)入課堂，在高中數(shù)學(xué)中得到進(jìn)一步加深和鞏固，其圖像和代數(shù)之間的神奇聯(lián)系經(jīng)常讓我沉醉。在實(shí)際生活中，三角函數(shù)問題無處不在，小到一條線段長度的計算，大到跨江大橋、摩天大樓的設(shè)計，都有它的身影。經(jīng)過大量的練習(xí)，在我眼里sin和cos仿佛太極圖里的陰陽兩極，憑借周期性的函數(shù)映射關(guān)系、特定的定義域與值域，經(jīng)過有效的變換，使復(fù)雜的問題迎刃而解。

參考文獻(xiàn)：

[1]王紅曉.三角函數(shù)在物理力學(xué)中的運(yùn)用[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)習(xí)研究），2016，05：39+3.